数学文化与数学教学(汪晓勤)

2 一条进路
斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》（1544） 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 … 256 …
• 等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法； • 等差数列中的减法对应于等比数列中的除法； • 等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方； • 等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。
a q a aq aq 2 aq n 2
a qSn 1
a q Sn aq n 1 a aq n Sn q 1 1 q
埃及乘法127
案例 2 昔非今比
《几何原本》第 9 卷命题 35
an 1 a2 a3 a1 a2 an an 1 an a2 a1 a3 a2 a1 a2 an an 1 a1 a2 a1 q 1 a1 a2 an a1 Sn a1 q n 1 q 1
q 1
案例 3 牛刀小试
托勒密 托勒密分别就空气和水、水
和玻璃、玻璃和空气，对光
的入射角和折射角进行测量，
得出入射角与折射角成正比
的错误结论。 C. Ptolemy (85-165)
案例 3 牛刀小试
阿尔· 海森
制作仪器，测量入射角和折 射角，发现托勒密的结论是 错误的，但他自己未能发现 折射定律。 Al-Haitham (965-1038)
子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节； 累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二
尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为
一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由 旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？
案例 2 昔非今比
七极微为一微量， 积微至七为一金尘， 积七金尘为水尘量， 水尘积至七为一兔毛尘，
2 一条进路
为什么要将圆周分成360度？
• 1年＝360天； • 60 进制； • 迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成 30等分； • Hypsicles (c. 180 B.C.) 将黄道圆分成360等 分； • 托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大
成》中使用60进小数，将圆周分成360
案例 2 昔非今比
七兄弟分财产，最小的 兄弟得2，后一个比前一 个多得1/6，问所分财产 共有多少？
数学泥版MS 1844
（约公元前2050年）
案例 2 昔非今比
649539 72171 8019 891 99 数学泥版 M 7857 大麦 麦穗 蚂蚁 鸟 人
（古巴比伦时源自文库）
案例 2 昔非今比
行了攻击。错误的推导怎么
会得出正确的结论呢？直到 24年后的1661年，费马才利 用他的最小时间原理才导出 了折射定律。 P. Fermat (1601-1665)
案例 3 牛刀小试
莱布尼茨（1684） 莱布尼茨在他的第一篇微积分 论文中，小试牛刀，给出了微
分的一个应用：在两种媒质中
分别有点P和Q，光从P出发到
2 一条进路
施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《艺术新作》（1521） 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 … 16
… 65536
• 第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。 • 第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。 • 第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。 • 第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。
案例 3 牛刀小试
维特罗（ca. 1270）
波兰物理学家、自然哲
学家和数学家维特罗在阿
尔· 海森的基础上进一步
研究折射现象，但他仍然 Witelo (ca.1230- ca.1300)
同样未能发现折射定律。
案例 3 牛刀小试
开普勒（1611） 开普勒在《折光》（1611）中给 出：对于两种固定的媒质，当 入射角（i）较小时，入射角和 折射角（r）之间的关系是i = nr，
数学文化与数学教学
汪晓勤 石家庄 2011-10-12
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路 一缕书香 一种视角
案例 1 跨越时空
希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角
边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5
世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其
《几何史》中将该定理归于泰勒斯。
因为他说，泰勒斯证明了如何求出 海上轮船到海岸的距离，其方法中 Thales （前6世纪） 必须用到该定理。”
案例 1 跨越时空
T1: 这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极 性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。 T2: 最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地 体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题， 并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上， 那么学生一定都会喜欢数学课!
案例 1 跨越时空
泰勒斯在海边的塔或高丘上利
F A E
用一种简单的工具进行测量。
直竿 EF 垂直于地面，在其上 有一固定钉子A，另一横杆可 以绕 A 转动，但可以固定在任 一位臵上。将该细竿调准到指 向船的位臵，然后转动EF（保 持与底面垂直），将细竿对准 岸上的某一点C。则根据角边
D
B
C
角定理，DC = DB。
在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。 为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理） 为什么 2 是无理数？（不可公度量的发现）
ab 为什么 ab a 0, b 0 2
？（均值不等式）
为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）
为什么函数 f x ln x 1 x2 是奇函数？
案例 1 跨越时空
上述测量方法广泛使用于 文艺复兴时期。右图是16 世纪意大利数学家贝里 （S. Belli, ?～1575）出版 于1565年的测量著作中的
插图，图中所示的方法与
泰勒斯所用方法相同。
案例 1 跨越时空
有一个故事说，拿破仑军队在 行军途中为一河流所阻，一名 随军工程师用运用泰勒斯的方 法迅速测得河流的宽度，因而
W. Snell(1591-1626)
案例 3 牛刀小试
笛卡儿（1637） 笛卡儿在《折光》（《方法 论》之附录）中发表了折射 定律，但遗憾的是，他的证 明却是错误的！笛卡儿是否 抄袭了斯内尔，学术界尚有 R. Descartes (1596-1650) 争议。
案例 3 牛刀小试
费马
费马对笛卡儿的折射定律进
受到拿破仑的嘉奖。因此，从
古希腊开始，角边角定理在测
量中一直扮演者重要角色。
案例 1 跨越时空
在抗美援朝战争 中，一名志愿军 战士利用泰勒斯
的方法测量敌营
的距离。
案例 1 跨越时空
学生在课上演示泰勒斯的方法
案例 1 跨越时空
A
A
A
B D
C
B
E
C D
B
C D
学生在课上给出的测量全等三角形方案
案例 1 跨越时空
2 一条进路
为什么将幂指数称为“对数”？
许凯（N. Chuquet, 1445-1488）《算学三部》 1 0 2 1 4 2 8 3 16 32 64 128 256 512 … 1048576 4 5 6 7 8 9 … 20
• 4对应的数16自乘，等于8对应的256； • 7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。
• 佛陀年轻时代的故事 7原子=1极微尘 7极微尘=1微尘 7微尘=1尘， …………………… 1里长度中共有717个原子
案例 2 昔非今比
• 《佛本行集经》卷12：
悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，
成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成 一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于
一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥
S1: 所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年 之后故事会永远留在头脑中。
S2: 不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在
我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是 可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角 度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，
当然一定要以正课为主。
（n为常数）。当光线从空气进
入玻璃时，n = 3/2。 J. Kepler(1571-1630)
案例 3 牛刀小试
哈里奥特（1601） 英国数学家哈里奥特发 现了折射定律，但没有
发表。
T. Harriot（1560-1621）
案例 3 牛刀小试
斯内尔（1621） 荷兰数学家斯内尔约于1621年 独立发现折射定律，但没有发 表。哈里奥特和斯内尔都是通 过实验得出该定律的，而没有 给出理论的推导。
案例 2 昔非今比
Adams 《学者算术》 （1801）
妻子问题：
我赴圣地伊夫斯， 路遇一男携七妻； 一妻各把七袋负， 一袋各装七猫咪。 猫咪生仔数又七， 几多同去伊夫斯？
案例 2 昔非今比
莱因得纸草书（约公元前1650年）
1 2 4 2801 5602 11204 19607 房屋 猫 老鼠 麦穗 容积 总数 7 49 343 2401 16807 19607
度，每1度分成60小部分（分），每一 以色列马赛克：黄道十二宫图 （6世纪） 小部分再分为60个小部分（秒），等等。
2 一条进路
阿拉伯译文 1 first small parts 60 1 second small parts 2 60 拉丁译文 partes minutae primae partes minutae secundae 今天 minute second
莱因得纸草上的等比数列问题
案例 2 昔非今比
S5 7 49 343 2301 16807 7 1 7 49 343 2301 7 2801 19607
Sn a aq aq 2 aq n 1
1 2 \4 \8 12 7 14 28 56 84
达Q，界面上入射点O 位于何
处，光用时最短？
G. W. Leibniz(1646-1716)
案例 3 牛刀小试
y P
f x
b d x a x v1 v2
2 2 2
2
a i A x O r b Q d-x B x
sin i v1 sin r v2 f x 1 dx 1 0 2 2 v 2 v 2 a x 1 b d x 2 x
案例 2 昔非今比
• Josse Verniers（1584）
士兵问题：一座房子里有14
个房间，每个房间有里14张
床，每张床上躺着14个士兵，
每个士兵有14支枪，每支枪 里有14颗子弹。问：共有床、 士兵、枪、子弹各多少。
案例 2 昔非今比
• Kamp（1877）
妇女问题：有12个妇女，每人带 有12根棍子，每根棍子上绑有12 根绳子，每根绳子上系有12个袋 子，每个袋子里装有12个盒子， 每个盒子里含有12先令。问：共 有多少先令？
莱布尼茨：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地
处理的一些问题，曾使其他高明的学者百思而不 得其解！”
案例4 史海拾贝
洛必达：《无穷小分析》中的问题
f ( x) c b 2 x 2 a 2 b 2 2ax
数学文化与数学教学
一座宝藏 一条进路
一缕书香
一种视角
2 一条进路
积七兔毛尘为羊毛尘量，
积羊毛尘七为一牛毛尘， 积七牛毛尘为隙游尘量，
隙尘七为虮，
七虮为一虱， 七虱为穬麦，
七麦为指节……
《俱舍论》卷12（玄奘译）
案例 2 昔非今比
• 斐波纳契《计算之书》（1202） “7翁去罗马，每个人牵着7匹骡 子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋 子装7块面包，每块面包配有7把 小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老 翁、骡子、面包、刀、鞘的总数 是多少。”


2 一条进路
为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度 制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为 什么 1 ？
为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分
叫“象限”？
为什么将幂指数称为“对数”？
为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？ 为什么称未知数为“元”？