计算机中有关数及编码的知识

999．99＝9×102 + 9×101 + 9×100 + 9×10-1 + 9×10-2
其中，每个位权由基数的n次幂来确定。在十进制中，整数的位权是100(个位)、101(十位)、102(百位)等等；小数的位权是10-1(十分位)、10-2(百分位)等等。上式称为按位权展开式。再如：
(2)反码
1．正数的反码表示与其原码相同，即符号位用“０”表示正，数字位为数值本身。例如：[+O]反＝ 0 0000000，[+4]反＝ 0 0000100，[+31]反＝ 0 0011111，[+127]反＝ 0 11111111等。
2．负数的反码是将它的正数按位(包括符号位在内)取反而形成的。例如与上述正数对应的负数的反码表示如下：[-O]反＝ 1 1111111，[-4]反＝ 1 1111011，[-31]反＝ 1 1100000，[+127]反＝ 1 0000000等。
（219)10=2*102+1*101+9*100
（11010)2=1*24+1*23+0*22+1*21+1*20
（273)8=2*82+7*81+3*80
（27AF)16=2*163+7*162+10*161+15*160
(3)十进制数转换任意进制
不过在这里请注意，在模为12的情况下求补数时，还是不可避免地要做减法，因为计算“另—数的负数与其模之和”时，实际上是做减法。但是，当把上述推论应用到二进制运算时，在求2的补码(以后在二进制运算中简称补码)的过程中可以不用减法而由另一途径能很方便地找到，这样，就可以真正实现把二进制减法转换为加法。
结果＝各位二进制码与对应位的十进制值的乘积的累加……
4.数的定点与浮点表示
在计算机中，用二进制表示一个带小数点的数有两种方法，即定点表示和浮点表示。所谓定点表示，就是小数点在数中的位置是固定的；所谓浮点表示，就是小数点在数中的位置是浮动的。相应地，计算机按数的表示方法不同也可以分为定点计算机和浮点计算机两大类。
八进制 0,1,2,3,4,5,6,7 逢八进一 如十进制7，表示为八进制为7，表示为二进制则为111
十六进制 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F 逢十六进一 如十进制15，表示为16进制则为F，表示为二进制则为1111
（2）数的权
不同进制的数，基数不同，每位上代表的值的大小（权）也不相同。例如：999．99这个数可以写为；
(4)任意进制的数转换为十进制
按权值展开:
如:（219)10=2*102+1*101+9*100
（11010)2=1*24+1*23+0*22+1*21+1*20=26
（273)8=2*82+7*81+3*80=187
(7AF)16=7*162+10*161+15*160=1867
(3)补码
微机中都是采用补码表示法，因为用补码法以后，同一加法电路既可以用于有符号数相加，也可以用于无符号数相加，而且减法可用加法来代替，从而使运算逻辑大为简化，速度提高，成本降低。
为了理解补码的意义，先举一个钟表对时的例子。
若标准时间是6点整，而有一只钟停在10点整。要把钟校准到6点整，可以倒拨4格，即10－4＝6，也可以顺拨8格，这是因为时钟顺按时，到12点就从０重新开始计时，相当于自动丢失一个数12，即10十8＝１2(自动丢失)十6＝6。
8位二进制数的反码表示有如下特点：
(1)“０”的反码有两种表示法：00000000表示+0，11111111表示-0。
(2)8位二进制反码所能表示的数值范围为+127D—-127D。
(3)当一个带符号数用反码表示时，最高位为符号位，若符号位为0（即正数）时，后面的7位为数值部分，若符号位为1(即负数）时，一定要注意后面7位表示的并不是此负数的数值，而必须把它们按位取反以后，才得到此7位的二进制数值。例如一个8位二进制反码表示的数10010100B。它是一个负数，但它并不等于-20D，而应先将其数字位按位取反，然后才能得出此二进制数反码所表示的真值。
２）浮点表示
如果数N的阶码可以取不同的数值，称这种表示方法为数的浮点表示法。这种阶码可以浮动的数称为浮点数。这时，
N＝2Ｐ×S
其中，阶码PBiblioteka 二进制整数表示，可为正数和负数。用一位二进制数Pf表示阶码的符号位当Pf＝０时，表示阶码为正，当Pf＝1时．表示阶码为负。尾数Ｓ，用Ｓf表示尾数的符号，Ｓf＝0表示尾数为正；Ｓf＝1表示尾数为负。浮点数在计算机中的表示形式如下：
(1)数的进制与基数
计数的进制不同，则它们的基数也不相同，如表所示。 进制 基数 特点 说明
十进制 0,1,2,...,9 逢十进一 如9+1=10，二进制则为1010,八进制为12，表示为16进制则为A
二进制 0 ,1 逢二进一 如二进制数10111111，表示为八进制为277，表示为16进制为BF
（356)16=（001101010110)2=（1101010110)2
二进制转换为八进制、十六进制的方法则恰好与此相反……
二进制转换为十进制的方法除按权展开式的计算法外还可以用如下方法进行：
二进制： （ １ １ ０ ０ １ １ １ ０ １ ）
对应位的十进制值： ……128 64 32 16 ８ ４ ２ １
现在我们来说明微机中补码的概念。
例如，在字长为8位的二进制数制中，其模为28=256D。若有：
64一10＝64十(-10)＝64十[256-10]＝64十246＝256十54＝54
2.二进制数的运算法则
二进制数运算非常简单，计算机很容易实现，其主要法则是：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1
由于运算简单，电器元件容易实现，所以计算机内部都用二进制编码进行数据的传送和计算。
3.十进制与二进制、八进制、十六进制数之间的相互转换
符号 尾数 S
如假定P＝0，且尾数S为纯小数时，这时定点数只能表示小数。
如假定P＝0，且尾数S为纯整数时，这时定点数只能表示整数。
定点数的两种表示法，在计算机中均有采用。究竟采用哪种方法，均是事先约定的。如用纯小数进行计算时，其运算结果要用适当的比例因子来折算成真实值。在计算机中，数的正负也是用0或1来表示的，“0”表示正，“1”表示负。定点数表示方法如下：假设一个单元可以存放一个8位二进制数，其中最左边第一位留做表示符号，称为符号位，其余七位，可用来表示尾数。
对于八位二进制来说，原码可表示的范围为+(127)D—-(127)D。
原码表示简单易懂，而且与真值的转换很方便，但采用原码表示在计算机中进行加减运算时很麻烦。如进行两数相加，必须先判断两个数的符号是否相同。如果相同，则进行加法，否则就要做减法。做减法时，还必须比较两个数的绝对值的大小，再由大数减小数，差值的符号要和绝对值大的数的符号一致。要设计这种机器是可以的，但要求复杂而缓慢的算术电路使计算机的逻辑电路结构复杂化了。因此，采用简便的补码运算，这就引进了反码与补码。
这个自动丢失的数(12)是一个循环计数系统中所表示的最大数，称之为“模”。由此可以看出，对于一个模数为12的循环计数系统来说，10减4与10加8是等价的，或者说，(-4)与(+8)对模12互为补数。这可以用数学式表示为：
10-4=10+8 (Mod12)
或 —4＝十8 (Mod2)
１）定点表示
通常，对于任意一个二制数总可以表示为纯小数或纯整数与一个2的整数次幂的乘积。例如，二进制数N可写成
N＝2Ｐ×S
其中，S称为数N的尾数；P称为数N的阶码；2称为阶码的底。尾数S表示了数N的全部有效数字，阶码P确定了小数点位置。注意，此处P、S都是用二进制表示的数。当阶码为固定值时，称这种方法为数的定点表示法。这种阶码为固定值的数称为定点数。
具有n位尾数的定点机所能表示的最小止数为：0．0000……1（n-1个0），即为2-n，计算机中小于此数的即为0(机器零)。
因此，n位尾数的定点机所能表不的数N的范围是：
2-n <= N <= 1-2-n。
由此可知，数表示的范围不大，参加运算的数都要小于1，而且运算结果也不应出现大于1或等于1的情况，否则就要产生“溢出”错误。因此．这就需要在用机器解题之前进行必要的加工，选择适当的比例因子，使全部参加运算的数的中间结果都按相应的比例缩小若干倍而变为小于１的数，而计算的结果又必须用相应的比例增大若干倍而变为真实值。
Mod12表示以12为模数。当等式两边同除以模12，它们的余数相同，故上式在数学上称为同余式。和(-4)与(+8)的同余相仿，(一5)与(十7)、(一6)与(十6)、(一7)与(十5)等等也都同余，或互为补数。不难看出，一个负数的补数必等于模加上该负数(或模减去该负数的绝对值)。由此可以推论：对于某一确定的模，某数减去绝对值小于模的另一数，总可以用某数加上“另一数的负数与其模之和”(即补数)来代替。所以，引进了补码以后，减法就可以转换为加法了。
例如，两个8位二进制数-0．1010111和+0．1010111在计算机中的定点表示形式为：11010111和01010111。
具有n位尾数的定点机所能表示的最大正数为0．1111……1（n个1），即为1-2-n。其绝对值比1-2-n大的数，巳超出计算机所能表示的最大范围，则产生所谓的“溢出”错误，迫使计算机停止原有的工作．转入“溢出”错误处理。
Pf阶码尾数Ｓf尾数
如二进制数２+100*0.1011101（相当于十进制数11.625），其浮点数表示为：010001011101