塑性力学 第五章 梁的弹塑性弯曲

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M
S
yS
I e 2 S S P
yS
式中
I e 2 y 2 b y dy ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩
0
SP
yS
y b y dy
2
h 2
是截面 y y s ~
轴的静矩。
h 一块塑性区对中性 2
如梁的横截面是高为h 、宽为b
b h2 2 SP yS 2 4
第五章
§5-1 §5-2
梁的弹塑性弯曲
弹塑性力学中的边值问题 梁的弯曲
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§5-1
弹塑性力学中的边值问题
由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对 这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线 为双曲线。 设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 qe，则 qe 即为
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在弯矩最大的截面 ( 的值，它可由上式得： bh2 S
qe 3l 2
x0
处 )刚开始进入塑性即 yS h / 2 时
五、极限荷载 q P 当 x 0 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构， 进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这 q 称为极限荷载，用表示 qP 时的 。 qP bh2 S 1.5 。 qP 且 qe 2l 2 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的 荷载，在目前的情形就是极限荷载 q P。在许用应力的设计中， 只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，
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增量理论的边值问题及解法 设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 ij、 ij、ui。 Su 上位移 求在此基础上，给定体力增量 dfi 、ST上面力增量 dfi、 增量 dui 时，物体内部各点的应力增量 d ij 、应变增量 d ij 、 位移增量 dui 。确定这些增量的基本方程组有： 1）d ij,i df j 0 2） d ij
其中 y S是塑性区边缘到对称轴的距离。随着各截面上的弯 矩的不同，y S 也不同，因此 yS 是 x 的函数，即 yS x 。当 yS 0 时，该截面全部进入塑性状态。 现在进一步考察 y S 与M的关系。当 yS h / 2时，即最外层纤 维刚开始屈服，这时的弯矩称为最大弹性弯矩或弹性极限弯 矩 M e 。当 yS 0 时，整个截面都进入塑性状态，在忽略掉 剪应力影响的情况下，这时的弯矩称为极限弯矩 M P。
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 2） ij u i , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
2
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
由截面上的力的合成得：
M b y ydy 2 y b y ydy
h 0 h h
上式建立了曲率 与弯矩 M 之间的关系。给定 可以求出 相应的 M ，但给定 M 反求 时，须视 的形式，如 形 式不是十分简单，则给定 M 不易求 。这可通过绘出 M
s ys
E s y y E Ey s ys ys
h y ys ys y ys ys y h
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s y x ys s sign x
得
2 s s 2 M b y y dy 2 s yb y dy ys 0 ys
M yσ x y by dy
h 2 h 2
σ y by dy 0
x h 2
h 2
FS τ xy y by dy
h 2
h 2
要求截面上的应力分布，还必须借助于变形条件。由于平面
d 2v 假设，当梁处于纯弹性时 x E Ey 2 dx
的矩形，则 I e
2 3 by S ， 3
bh2 S M 4
4 yS 2 1 3 h
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bh2 Me S 6
bh2 MP S 4 ，
MP 1.5 Me
，
四、受有均布荷载的矩形截面简支梁的弹塑性区域的分布
如是受有均布荷载的矩形截面简支梁，材料仍然是理想 弹塑性材料（Mises）。
h
y

ys
s
ys
I e 2 s S p
其中 I e y 2b y dy是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。
0
S p yb y dy 是截面 y ys ~ h 一块塑性区对中性轴的静矩。
ys
h
10
§5-2
梁的弯曲
一、研究对象及基本假设 考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制 成。荷载作用在对称平面 xy 平面内，仍采用材料力学中梁弯 曲理论的一般假设： （1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 vx b、h ； （3）、各层间相互挤压不计； （4）、长度比横向尺寸大得多，因而 xy x 。 材料不可压缩，即取 0.5 梁的位移分量为 u y d v , v vx dx 梁的应变分量为
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也即最大荷载是 qe 。但是当梁中有一小部分进入塑性状态时， 梁的挠度仍受中间弹性区的限制，不会过分增大，梁上荷载 还可以增加，理论上应该可以达到 q P 1.5qe ，也即增加50%。 这样可以充分发挥材料的潜力，节省材料和更合理地使用材 料。但梁是否会因变形过大而影响使用？ 六、梁的挠度 进一步的研究表明，当荷载 q q P 95% 时，也就是在约 束塑性变形阶段，梁的最大挠度小于弹性最大挠度的两倍， 梁的挠度仍然属于弹性量级。
E x x s sign x
x s x s
其中， s 为屈服应变，即应力刚达到屈服应力 s 时的应变。 三、平衡微分方程（不计体力） 略 在 x 求出后，挤压应力 y和横向剪应力 xy 可以根据上 述方程求出。
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四、内力和应力分量 根据上面假设，有 x , z y yz zx 0 满足平衡微分方程及物理方程。 作用在横截面上的内力：弯矩 M和剪力 FS 分别为（FS 0纯 弯、FS 0 横力弯曲）
M x q 2 l x2 2


2
q 2 l x2 2


4 yS 2ql 2 整理后为： 1 2 3 h bh S
x2 1 l 2
2 bh S 4 yS 1 4 3 h 2
曲理论的一般假设：
（1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 vx b、h ； （3）、梁内各点均为单向应力状态，只有 x ； （4）、梁的材料在拉伸和压缩有完全相同的力学性能。
材料不可压缩，即取 0.5
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二、应力分布 设梁受弯矩M 后产生的曲率为 y
1
，由基本假设可知
规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。
因为梁内各点都处于单向应力状态，所以在外载比例增 加的情况下，必然是简单加载，可以使用全量理论，直接建 立应力与应变的物理关系。

y
或
所以只要求出曲率 ，即可确定梁内各点的应力。
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三、 d 2G ij 1 2 d kk d kk E
dSij
0当df 0 d 0当df 0
§5-2
一、研究对象及基本假设
梁的纯弯曲
考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制 成。荷载作用在对称平面x y平面内，仍采用材料力学中梁弯
y S x y yS y yS y yS
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当材料是理想弹塑性材料时，则 S ，继续增加弯 矩，截面上的应力的分布分成三个区域
S y x y S yS S h y yS 2 yS y yS yS y h 2
1 du i, j du j ,i 2
f ij 0
3）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区
d ij d ij 2G

E
d kk ij
4
塑性区
f ij 0
4） d ij li df j 5） dui dui 此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间 断性条件。在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然 后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。 塑性力学中比较简单的问题，包括用平衡微分方程、屈服 条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题， 以及屈服条件为线性的情况，求解时并不需要处理整套方程 （因为其中许多方程已自动满足），需要处理的方程也可用 较简单的数学方法求解。属于这类问题的有纯拉伸、纯弯曲、 纯扭转、平面弯曲、厚壁筒和旋转圆盘等。
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。