正弦定理课件
合集下载
6.4.3 第2课时 正弦定理PPT课件(人教版)
sin
=
sin
cos
=
;
,则角 C=
答案:(1)4 (2)45°
解析:(1)因为
=
,
sin
sin
sin
4
所以
= = =4;
sin
(2)因为sin = sin,又因为sin
=
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.
,
cos
.
课前篇自主预习
一
1
1
2
2
= acsin B= bcsin A.
(3)三角形面积公式的其他形式:
①S△ABC= 4 ,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
1
③S△ABC=2(a+b+c)r,其中 r 为△ABC 的内切圆半径;
2
2 +2 -
-·
2
2
·b=
+2 -2
-·
2
·a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴
a2+b2-c2=0 或 a2=b2.∴a2+b2=c2 或 a=b.故△ABC 为直角三角形或等
腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin
A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径);② = sin , =
课件9：1.1.1 正弦定理
则 AC 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C． 3 【答案】B
D．
3 2
3．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，∠B＝60°，
那么∠A 等于____________． 【解析】根据正弦定理sina A＝sinb B得sin2A＝sin 630°，
所以 sin A＝
2 2.
又因为 a<b，所以∠A<∠B，
2．判断三角形的形状，有两个途径： (1)化角为边； (2)化边为角．灵活运用正弦定理的变形公式进行边角 互化，是解题的关键．
失误防范 (1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另 一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而 这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准 出错．做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行 判断，作出正确的取舍．
2．在△ABC 中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C， 则△ABC 是________三角形．
【解析】由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定 理知 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2.所以△ABC 是直角三 角形． 【答案】直角
探究点 4 正弦定理的综合应用 例 4 已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边分 别是 a，b，c，向量 m＝(1，1－ 3sin A)，n＝(cos A，1)， 且 m⊥n. (1)求∠A； (2)若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋π6)的值．
解：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 代入coas A＝cobs B＝cocs C中， 得2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC，
正弦定理课件.ppt
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导
6.4.3第二课时 正弦定理PPT课件(人教版)
则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
“夯基提能·落实素养”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
Thank You!
第二课时 正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由 正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正 弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推 知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
正弦定理课件
6、归纳小结
问题4：本节课你学到了哪些知识？有什么收获？
1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。
作业：1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、课本P4第1题 ，P10第1题
作高法作高法.mp4
3、逻辑推理 证明猜想
问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法等面积法.mp4
4、定理形成 概念深化
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
（1）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美； 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题3：利用正弦定理解三角形，至少已知几个元素？问题4：正弦定理可以解决那类解三角问题？
第1部分
正弦定理
1、创设情境 提出问题
引入
小王去察尔汗盐湖，他发现在他所在位置北偏东60°方向有一艘采盐船，当他开车向正东方向走了5千米后，发现采盐船在他的北偏西45°的位置。此时，采盐船离小王多远？
A
B
C
实际问题
数学问题
已知 中
BC=5，求AC的长。
2、探寻特例 提出猜想
正弦定理：
（2）解三角形：
例1、已知
中，a=20,A=30°，C=45°解三角形。
∴B=180°﹣(A+C)=105°
由正弦定理b=
=
=40sin（45° +60°）
=
=
；
c=
∴B=105°，
b=
c=
解：∵A=30°，C=45°，
5、范例教学 举一反三
变式1若 中，AC= ,A=45°，C=75°，则:BC=
问题4：本节课你学到了哪些知识？有什么收获？
1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具—正弦定理。
2、正弦定理的证明方法。
3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。
作业：1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、课本P4第1题 ，P10第1题
作高法作高法.mp4
3、逻辑推理 证明猜想
问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法等面积法.mp4
4、定理形成 概念深化
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
（1）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美； 一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题3：利用正弦定理解三角形，至少已知几个元素？问题4：正弦定理可以解决那类解三角问题？
第1部分
正弦定理
1、创设情境 提出问题
引入
小王去察尔汗盐湖，他发现在他所在位置北偏东60°方向有一艘采盐船，当他开车向正东方向走了5千米后，发现采盐船在他的北偏西45°的位置。此时，采盐船离小王多远？
A
B
C
实际问题
数学问题
已知 中
BC=5，求AC的长。
2、探寻特例 提出猜想
正弦定理：
（2）解三角形：
例1、已知
中，a=20,A=30°，C=45°解三角形。
∴B=180°﹣(A+C)=105°
由正弦定理b=
=
=40sin（45° +60°）
=
=
；
c=
∴B=105°，
b=
c=
解：∵A=30°，C=45°，
5、范例教学 举一反三
变式1若 中，AC= ,A=45°，C=75°，则:BC=
必修第二册6.4.2正弦定理课件(人教版)
a
b
c
因此，
.
sin A sin B sin C
A
m
C
探究新知
钝角三角形情形
如图，在钝角∆ABC中，过点A作 AC 与垂直的单位向量 j ，则
j 与 AB 的夹角为 A ， j与 CB 的夹角为 C .
2
2
a
b
c
仿照上述方法，同样可得
sin A sin B sin C
B
j
综上所述，可以得到如下定理
sin A
sin 60°
sin A
sin 60°
3.
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理
求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦
定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非
第六章
平面向量及其应用
6.4.2 正弦定理
创设情境
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间
的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距
离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
A
B
C
探究新知
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直
解：由三角形内角和定理得A=75°.
A
由正弦定理，得
BC sin C 24sin60
AB
sin75
b
c
因此，
.
sin A sin B sin C
A
m
C
探究新知
钝角三角形情形
如图，在钝角∆ABC中，过点A作 AC 与垂直的单位向量 j ，则
j 与 AB 的夹角为 A ， j与 CB 的夹角为 C .
2
2
a
b
c
仿照上述方法，同样可得
sin A sin B sin C
B
j
综上所述，可以得到如下定理
sin A
sin 60°
sin A
sin 60°
3.
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理
求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦
定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非
第六章
平面向量及其应用
6.4.2 正弦定理
创设情境
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间
的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距
离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
A
B
C
探究新知
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直
解：由三角形内角和定理得A=75°.
A
由正弦定理，得
BC sin C 24sin60
AB
sin75
9.1.1正弦定理 课件(共36张PPT)
基础预习初探
1.回顾直角三角形中的边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin B sin C
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有 a b c =2R(定值).
sin A sin B sin C
2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin C
得sin C= csin A 3，
a2
又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,sin75°= b= csin B 2 6;
sin C
6 2， 4
当C=120°时,B=15°,sin15°= b=csin B 6－ 2.
sin C
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接
BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以 a =aCD=2R,
sin A sin D
同理 b=2R, =c2R.
sin B
sin C
得 a b =2Rc(定值).
sin A sin B sin C
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
2
可得B<60°,即可求得B.
2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】1.选C.因为A=60°,a=4 3,b=4,
由正弦定理 a ,得b sin B=
sin A sin B
bsin A 4 sin60 1 .
a
43 2
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.
正弦定理PPT课件
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.
正弦定理-教学PPT课件
AA CCDD
CCDD bb
,,
ssiinn
BB
bb ssiinn AA aa
CCDD aa ssiinn BB
C
b
a
所以有：
A
Dc
B
同理可证：
（也可以由等面积法得到）
(3)在钝角△ABC中,有：
ssiinn
AA
CCDD bb
,,ssiinn((
BB))
CCDD aa
即即::CCDD bbssiinn AA aassiinnBB
C
16 3
16
16
A 300 B
B
(1)当 Ｂ＝60°时, C=90°, c 32.
(2)当Ｂ＝120°时,
C=30°,
c asinC 16. sin A
练习：
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得 sin B b sin A 40 sin 45 2
a
5.一个三角形最少有2个锐角
3.定理推导
探究：在任意三角形中角与它所对的边之间在 数量上有什么关系？
(1)在Rt△ABC中,有：
sin A a ,sin B b
cn B
A
b
c
因为sinC=1，所以有：
C
aB
(2)在锐角△ABC中,有：
ssiinn 即 即 ::
此时无解．
课堂小结： （1）三角形面积公式：
（2）正弦定理： （3）正弦定理适用范围：
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
2R
（3）
解三角形的定义： 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它
们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
正弦定理 课件
6 4 2
2 =
3 +1.
2
已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.
解:因为 A=30°,C=45°, 所以 B=180°-(A+C)=105°,
由正弦定理得 b= a sin B = 20sin105 sin A sin 30
=40sin(45°+60°)
=10( 6 + 2 );
6 =4(
3 +1).
2
所以 A=45°,c=4( 3 +1).
题后反思 已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是: (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形 内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再 由正弦定理求另外两边.
所以 cos A = cos B = cosC . sin A sin B sin C
即 sin A = sin B = sin C .所以 tan A=tan B=tan C. cos A cos B cosC
又因为 A、B、C∈(0,π),所以 A=B=C.所以△ABC 为等边三角形.
在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.
解:由已知有 a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin (A+B), 即 2a2cos Asin B-2b2cos Bsin A=0, 所以 a2cos Asin B-b2sin Acos B=0. 由正弦定理, 上式可化为 sin2Acos Asin B-sin2Bsin Acos B=0, 即 sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, 因为 sin A≠0,sin B≠0, 所以 sin Acos A-sin Bcos B=0,即 sin 2A=sin 2B,
正弦定理课件ppt
提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以 判断三角形的形状，例如 是否为直角三角形、等腰 三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹 角，可以使用正弦定理求 出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹 边，可以使用正弦定理求 出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可 以使用正弦定理求出三角函数值 。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式 ，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是 等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决 各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理
正弦定理优秀课件
02 sin A sin B sin小C结 ： 正弦定理
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
正弦定理 课件(人教版)
题型一 理解正弦定理
例 1 (1)在 Rt△ABC 中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦 函数的定义，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 在 Rt△ABC 中，C＝90°， 由正弦函数的定义知： sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1. ∴sianA＝c，sibnB＝c，sincC＝c. ∴sianA＝sibnB＝sincC.
(2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 根据三角函数的定义： sinA＝CbD，sinB＝CaD. ∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，在△ABC 中，sibnB＝sincC. ∴sianA＝sibnB＝sincC成立．
【解析】
(1) 由
正
弦
定
理
sianA ＝
b sinB
，
得
sinA
＝
asinB b
＝
6× 2
2 2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝60°或 120°.
∴C＝75°或 C＝15°.
(2)由正弦定理，得
2 sinB＝bsianA＝
3 3× 2
3 2＝
2 2.
∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，这与 A
正弦定理
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
sianA＝sibnB＝sincC
＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
(2)正弦定理的三种变形
①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；
②sinA＝2aR，sinB＝
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin A sin B
Ｄ
Ｂ
Ｃ
五 归纳总结、运用定理
问题1: 对这个定理你有哪些认识？ 问题2 :正弦定理可用来解决哪些问题？
▪ 例1 在△ABC中，已知c=10，A= 45 ，C= 38 求b
（保留两个有效数字 )
练习：根据下列条件解三角形 (1) a = 45, B= 60°, A = 45°
学情分析
在新教材中正弦定理是用向量法来证明的。为学 生了解向量的工具性和知识间的相互联系提供了良好 的素材。在学生学习本节课以前，虽然已经掌握了如 何解直角三角形，并学习了三角和向量的有关知识， 但由于自身缺乏从现实生活中发现和提出问题的意识。 尤其新教材把正弦定理放在平面向量一章，三角知识 学过的时间较长，所以在探究的过程中，容易产生胆 怯和退缩心理,学生不容易把三角和向量自然的连接在 一起.因此我在教学中从学生已有经验出发，环环紧扣 提出问题引起学生对结论迫切追求的愿望，将学生置 于主动参与的地位.
=
c sin C
角度四：根据三角函数的定义，借助 A M两点的纵坐标相等
y
M(bcos( -C),bsin(-C))
A(ccosB,csinB)
B
C（a,0）
x
因为bsin( -C)= csinB，所以
b sin B
=
c sin C
△ABC
AB+BC=AC
e·(AB+BC)= e ·AC
设e与AB，BC，AC的夹角分别为α，β，γ, c cos a cos b cos
小结与思考
问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了 那些知识和方法？你对此有何体会？
1. 用向量证明了正弦定理,体现了数形结合的 数学思想
2. 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系. 3. 定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运
用分类讨论的思想. 4.运用正弦定理求三角形的边和角.
▪ 思考题：在用向量法证明正弦定理时，我们 选取了与三角形一边垂直的向量作为辅助向 量，若取与一边平行的向量作辅助向量，又 可得到什么结论呢？（余弦定理和射影定理）
A
b sin
B
=
c sin C
角度一：借助高相等
D
Ｂ
Ｃ
bsinA=CD,asinB=CD,即
a sin A
b sin B
同理可证 b sin B
=
c sin C
角度二 :借助三角形的面积相等：
AD=csinB, SABC ＝ 1acsinA,所以
2
= 1 acsinB,同理
2
= a b
sin A sin B
c sin C
S
ABC
=
1 2
absinC
角度三：借助三角形的外接圆同弧所对的圆周角相等
ABC中，a＝2RsinD=2RsinA同理, b=2RsinB
c=2RsinC
(见图1、图2),所以 a b sin A sin B
=c sin C
=2R．
= a b c
sin A sin B sin C
b sin B
识的内在联系，体会事物之间相互联系与辨证统一。
重点、难点
教学重点：正弦定理的发现过程和 证明过程的探索
教学难点：用向量法证明正弦定理
教法和学法
教法的选择： 以问题驱动、层层铺垫，运用“发
现—探究”教学模式。 学法指导： 开展“动脑想、大胆猜，严格证、
多交流、勤设问”的研讨式学习方法， 逐渐培养学生“会观察”、 “会类比”、 “会分析”、“会论证”的能力。
A
D
C B
二 观察特例、进行猜想
a=csinA b=csinB
b=ccosA a=ccosB
sinC=1
A
ab = sin A sin B
c
sinC
=
b c os A
a cosB
B
C
三.数学实验、验证猜想
四 逻辑推理、证明猜想
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c. Ａ
求证：a sin
正弦定理
教材的地位和作用 正弦定理位于人教版全日制普通高级中 学数学第一册（下）第五章第九节。正弦 定理揭示了任意三角形边角之间的客观规 律，是解三角形的重要工具，也是前阶段 学习的三角函数知识与平面向量知识在三 角形的交汇应用，并为以后学习余弦定理 提供了方法上的模式，为运用正、余弦定 理解决测量、工业、几何等方面的实际问 题提供了理论基础，使学生进一步了解数 学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。
分析 差异
Ａ
函余
数
名 称
正
式三 子
结 构二
j
Ｂ
Ｃ
ab sin A sin B
bc =
sin B sin C
A
B
j
90 C
C
90 C
A C 90
j
B
C
能不能进一步优化这个过程？
向量 CA、CB 在 CD 方向上的投影相等
a cos(90 B) b cos(90 A) Ａ
即 a= b
教学目标
▪ 知识与技能：
▪ 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法及 简单运用正弦定理
▪ 过程与方法：
▪
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的能力和体会数形结合的思想方法。
▪ 情感、态度与价值观：
▪
通过利用向量证明正弦定理了解向量的工具性，体会知
创设情境 提出问题 观察特例 进行猜想 数学实验 验证猜想 逻辑推理 证明猜想 归纳总结 定理应用
小结与思考
一 创设情境、 提出问题:
在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥——太阳桥。 她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合 理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度，为了测量前 倾的塔臂的长度， 测量人员在上坞休闲度假区堤防处(C点)测得 塔顶（A点）的仰角为82.8度，塔底（B点）距离点C为 114 米， 这样能确定塔臂AB的长吗？
Ｄ
Ｂ
Ｃ
五 归纳总结、运用定理
问题1: 对这个定理你有哪些认识？ 问题2 :正弦定理可用来解决哪些问题？
▪ 例1 在△ABC中，已知c=10，A= 45 ，C= 38 求b
（保留两个有效数字 )
练习：根据下列条件解三角形 (1) a = 45, B= 60°, A = 45°
学情分析
在新教材中正弦定理是用向量法来证明的。为学 生了解向量的工具性和知识间的相互联系提供了良好 的素材。在学生学习本节课以前，虽然已经掌握了如 何解直角三角形，并学习了三角和向量的有关知识， 但由于自身缺乏从现实生活中发现和提出问题的意识。 尤其新教材把正弦定理放在平面向量一章，三角知识 学过的时间较长，所以在探究的过程中，容易产生胆 怯和退缩心理,学生不容易把三角和向量自然的连接在 一起.因此我在教学中从学生已有经验出发，环环紧扣 提出问题引起学生对结论迫切追求的愿望，将学生置 于主动参与的地位.
=
c sin C
角度四：根据三角函数的定义，借助 A M两点的纵坐标相等
y
M(bcos( -C),bsin(-C))
A(ccosB,csinB)
B
C（a,0）
x
因为bsin( -C)= csinB，所以
b sin B
=
c sin C
△ABC
AB+BC=AC
e·(AB+BC)= e ·AC
设e与AB，BC，AC的夹角分别为α，β，γ, c cos a cos b cos
小结与思考
问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了 那些知识和方法？你对此有何体会？
1. 用向量证明了正弦定理,体现了数形结合的 数学思想
2. 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系. 3. 定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运
用分类讨论的思想. 4.运用正弦定理求三角形的边和角.
▪ 思考题：在用向量法证明正弦定理时，我们 选取了与三角形一边垂直的向量作为辅助向 量，若取与一边平行的向量作辅助向量，又 可得到什么结论呢？（余弦定理和射影定理）
A
b sin
B
=
c sin C
角度一：借助高相等
D
Ｂ
Ｃ
bsinA=CD,asinB=CD,即
a sin A
b sin B
同理可证 b sin B
=
c sin C
角度二 :借助三角形的面积相等：
AD=csinB, SABC ＝ 1acsinA,所以
2
= 1 acsinB,同理
2
= a b
sin A sin B
c sin C
S
ABC
=
1 2
absinC
角度三：借助三角形的外接圆同弧所对的圆周角相等
ABC中，a＝2RsinD=2RsinA同理, b=2RsinB
c=2RsinC
(见图1、图2),所以 a b sin A sin B
=c sin C
=2R．
= a b c
sin A sin B sin C
b sin B
识的内在联系，体会事物之间相互联系与辨证统一。
重点、难点
教学重点：正弦定理的发现过程和 证明过程的探索
教学难点：用向量法证明正弦定理
教法和学法
教法的选择： 以问题驱动、层层铺垫，运用“发
现—探究”教学模式。 学法指导： 开展“动脑想、大胆猜，严格证、
多交流、勤设问”的研讨式学习方法， 逐渐培养学生“会观察”、 “会类比”、 “会分析”、“会论证”的能力。
A
D
C B
二 观察特例、进行猜想
a=csinA b=csinB
b=ccosA a=ccosB
sinC=1
A
ab = sin A sin B
c
sinC
=
b c os A
a cosB
B
C
三.数学实验、验证猜想
四 逻辑推理、证明猜想
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c. Ａ
求证：a sin
正弦定理
教材的地位和作用 正弦定理位于人教版全日制普通高级中 学数学第一册（下）第五章第九节。正弦 定理揭示了任意三角形边角之间的客观规 律，是解三角形的重要工具，也是前阶段 学习的三角函数知识与平面向量知识在三 角形的交汇应用，并为以后学习余弦定理 提供了方法上的模式，为运用正、余弦定 理解决测量、工业、几何等方面的实际问 题提供了理论基础，使学生进一步了解数 学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。
分析 差异
Ａ
函余
数
名 称
正
式三 子
结 构二
j
Ｂ
Ｃ
ab sin A sin B
bc =
sin B sin C
A
B
j
90 C
C
90 C
A C 90
j
B
C
能不能进一步优化这个过程？
向量 CA、CB 在 CD 方向上的投影相等
a cos(90 B) b cos(90 A) Ａ
即 a= b
教学目标
▪ 知识与技能：
▪ 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法及 简单运用正弦定理
▪ 过程与方法：
▪
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的能力和体会数形结合的思想方法。
▪ 情感、态度与价值观：
▪
通过利用向量证明正弦定理了解向量的工具性，体会知
创设情境 提出问题 观察特例 进行猜想 数学实验 验证猜想 逻辑推理 证明猜想 归纳总结 定理应用
小结与思考
一 创设情境、 提出问题:
在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥——太阳桥。 她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合 理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度，为了测量前 倾的塔臂的长度， 测量人员在上坞休闲度假区堤防处(C点)测得 塔顶（A点）的仰角为82.8度，塔底（B点）距离点C为 114 米， 这样能确定塔臂AB的长吗？