灰色关联投影法(讲座)

综合评价的多目标决策灰色关联投影法
一、 综合评价法
综合评价法(Comprehensive Evaluation Method) 是指运用多个指标对多个参评对象（单位）进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，或简称综合评价方法。

其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。

如不同国家经济实力，不同地区社会发展水平，小康生活水平达标进程，企业经济效益评价等，都可以应用这种方法。

多目标决策灰色关联投影法是综合评价的一种。

二、综合评价法的特点
综合评价法的特点是评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的；在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理；评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位"综合状况"的排序。

三、综合评价法的步骤
1、确定综合评价指标体系，这是综合评价的基础和依据。

2、收集数据，并对不同计量单位的指标数据进行同度量处理。

3、确定指标体系中各指标的权数，以保证评价的科学性。

4、对经过处理后的指标在进行汇总计算出综合评价指数或综合评价分值。

5、根据评价指数或分值对参评单位进行排序，并由此得出结论。

四、综合评价的灰色关联投影法概念及原理
由于一个待评价的系统本身就是一个灰色系统，因为系统中既有已被了解的的白色信息，又有尚未发现的黑色信息，而更多的是一般定性了解的灰色信息。

对这样的系统进行综合评价实际上是一个灰色多目标决策问题。

有关灰色多目标决策与评价理论，已有不少的研究成果。

下面介绍灰色关联投影法，它是从矢量投影的角度出发，解决多目标决策与评价问题。

1、属性值（指标值）
多指标决策域集合：=A {方案1，方案2，...，方案n}{}n 21,,A A A = 因素指标的集合：=V {指标1，指标2，...，指标m}{}m 21,,V V V = 方案i A 对指标j V 的属性值（指标值）为ij y ),,2,1;,,2,1(m j n i ==
方案
指标
1V
2V
m V
1A 11y 12y
m y 1 2A 21y 22y m y 2
n A 1n y 2n y
nm y
2、指标的分类 （1）“效益”型指标：属性值越大越好的指标。

如资金值率，劳动生产率等。

（2）“成本”型指标：属性值越小越好的指标。

如流动资金占用率，流动资金的周转天数等。

2、最佳决策方案0A 的因素指标j y 0与决策矩阵Y 的确定 当因素指标j V 为效益型时，取{}nj 210,max y y y y j j j ， = 当因素指标j V 为成本型时，取{}nj 210,min y y y y j j j ， =
方案集A 对指标集V 的决策矩阵m n ij y Y ⨯+=)1()(，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
，即 ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nm n n m m y y y y y y y y y Y 2111211
00201
3、指标值的初值化处理
为了消除量纲和量纲单位不同所带来的的不可公度性，决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理。

初值化处理：对一个数列的所有数据均除以它的第一个数据，从而得到新数据列的方法叫做初值化处理。

该数列有共同的起点，无量纲，其数据均大于零。

决策矩阵m n ij y Y ⨯+=)1()(，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
进行初值化生成Y ' )(ij
y Y '='。

当指标为效益型时：0ij ij
j y y y '=，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
， 当指标为成本型时：0j ij ij
y y y '=，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
， 显然，理想方案),,2,1(10
m j y j =='。

4、其它方案与理想方案的关联度
每一个方案是由m 个因素指标所确定的，它构成m 维因素指标空间V 中的一个离散的方案点，进行多目标决策，就是比较空间V 中各方案点与理想方案点
的关联度。

以j y 0
'为母因素，以ij y '),,2,1;,,2,1(m j n i ==为子因素，就可以得到其他方案与理想方案的关联度。

记ij r 为子因素ij
y '),,2,1;,,2,1(m j n i ==关于
母因素),,2,1(10
m j y j =='的关联度，则 ij j m
n
ij j ij j m
n
ij j m
n
ij y y y y y y y y r '-'+'-''-'+'-'=
00
00
max max max max min min λλ， 通常5.0=λ
5、灰色关联度判断矩阵F
由m n ⨯+)1(个数r 组成的矩阵为多目标灰色关联度判断矩阵F
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nm n n n m m nm n n n m m m f f f f f f f f f f f f f f f f
f f f f f f f f f f f f F
32
1
223222111312113212232221113121100302011111 6、加权灰色关联决策矩阵
设评价指标间的加权向量为()T
m w w w W ,,21=,
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
=⋅='m nm n n n m m w w w f f f f f f f f f f f f W F F
2132
12232221113121111
11 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nm m n n n m m m m m f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w w w w w
3
32
21
1223322
221
11133122111321
7、灰色关联投影角
将每个决策方案看成一个行向量（矢量），则称每个决策方案i A 与理想方案
*A 之间的夹角i θ为灰色关联投影角。

夹角余弦越大，表明决策方案i A 与理想方
案*A 之间的变化方向愈一致。

夹角余弦为
∑∑∑
∑∑∑======⋅
⋅=
⋅
⋅=⋅⋅=m
j ij j
m
j j
m
j j
ij m
j ij j
m
j j
m
j j
ij j i i i f w
w
w f f w
w
w f w A
A A A 1
2
1
212
1
2
1
21
*
*)()(cos θ，n i ,2,1=
8、灰色关联投影值
将模的大小与夹角余弦的大小综合考虑，就可以全面准确的反应各个决策方
案i A 与理想方案*A 之间的接近程度。

称决策方案i A 在理想方案*A 上的投影值为灰色关联投影值i D ，则有
i i i A D θcos ⋅=∑∑
==⋅=⋅⋅⋅=m
j j
m
j j
ij i i i w
w f A
A A A A 1
21
2
*
*
∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅=m
j m
j j j ij w w f 1
122
9、灰色关联投影权值矢量
灰色关联投影值i D 综合的反映了决策方案i A 与理想方案*A 之间的接近程
度。

称∑==m
j j
j
j
w w w 1
2
2
~),2,1(m j =为灰色关联投影权值，则灰色关联投影值
为j
m
j ij i w f D ~1
⋅=∑=，n i ,2,1=。

根据这些投影值的大小，就可以对多目标做出科学的排序。

五、应用灰色关联投影法进行多目标决策的一般步骤 根据评价目的确定评价指标体系后，计算步骤如下
第一步：根据已知的方案集A 和指标集V ，首先找出最佳方案0A 的因素指标j y 0，然后列出方案集A 和指标集V 的决策矩阵Y . 第二步：对决策矩阵Y 进行初值化处理得到Y '. 第三步：计算出子因素与母因素的关联度。

第四步：由关联度，构造多目标灰色关联判断矩阵F 。

第五步：由原有评价指标间的权向量构造灰色关联投影权值j
w ~ 第六步：计算各个决策方案i A 在理想方案*A 上的投影值为灰色关联投影值
i D 。

第七步：根据灰色关联投影值i D 的大小进行排序。

六、应用举例
下面以《中国经济年鉴》的统计资料为基础，进行综合经济效益评价比较。

资金利润率 销售利润率 全员劳动生产率 综合能耗 物耗 技改占固定资产投
资比例
北京 29.09 24.05 1.94 4.55 67.40
67.6
上海 36.97 22.90 2.60 2.43 67.90
54.55
天津 29.13 20.40 1.97 3.60 68.70
64.00
云南 23.92 27020 1.17 7.92 58.10
55.20
方案集A ={北京，上海，天津，云南}，
指标集V ={资金利润率，销售利润率，全员劳动生产率，综合能耗，物耗，技改占固定资产投资比例}。

1）根据上表数据，最佳方案0A 的因素指标
）
（6.67,1.58,43.2,60.2,20.27,97.360=A 则方案集A 和指标集V 的决策矩阵.
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=20.5510.5892.717.120.2792.2300.6470.6860.397.140.2013.2955.5490.6743.260
.290.2297.3660.6740.6755.494.105.2409.2960.6710.5843.260.220.2797.36Y
2）利用公式j
ij
ij
y y y 0='，对决策矩阵Y 进行初值化处理得到Y '.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='8166.013068.04500.016470.09467.08458.06750.07577.07500.07879.08070.08557.0118419.0118620.05341.07462.08842.07869.0111111
Y
3）根据公式ij j m
n
ij j ij j m
n
ij j m
n
ij y y y y y y y y r '-'+'-''-'+'-'=
00
00
max max max max min min λλ，得到灰色关联判断矩阵
F .
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=6539.013333.03866.014954.08668.06920.05161.05885.05810.06204.06423.07060.0116868.0117153
.04265.05772.07495.06192.0111111F
4）根据专家的评价，可以得到一组加权系数
0.04,0.14,0.15,0.16,0.128,0.112W =（）
5）根据公式∑==m
j j
j
j
w
w w 1
22
~，得到灰色关联投影权值
)0398.0,0520.0,0813.0,0714.0,0413.0,0293.0(~
=W
6）根据公式j
m
j ij i w f D ~1⋅=∑=，得到各个决策方案的投影值。

)1885.0,1966.0,2726.0,2019.0(=j D
7）根据投影值，得到排序：上海 北京 天津 云南
七、灰色关联投影法优点
1、从计算可以看出，灰色关联投影法本质上是一种简单加性加数方法，该方法中的加权系数是与原加权系数的平方成正比的一组新的加权系数，通过新的算法，使重要的指标的加权系数得到进一步加强，使该方法与简单的加性加权方法具有完全不同的内涵。

2、灰色关联投影法中，把模的大小和夹角余弦的大小结合起来，全面而准确的反映出了个决策方案与理想方案之间的接近程度。