余数和同余

例9、试求 2
200
3101 4102 的末尾数字。
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2………… 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 200÷4=50末尾是6。
例10：1
1 22 33 44 55 66 77 88 99 除以3的余数是几？
同余性质5
即：这个数是318的因数，318=2×3×53
结合余数之和为30，所以这个整数是53. 练习；基础训练1，
例8、求乘积418wk.baidu.com814×1616除以13所得的余数是多少？
根据性质2： a与b乘积除以c的余数等于a、b分别除以c的余数之积。
418≡2（mod13） 1616≡4（mod13） 418×814×1616 ≡2×8×4 ≡64≡12 （mod13） 练习：基础训练4 814≡8（mod13）
32÷7=4……4 15÷7=2……1 问题：如果把被除数相加、相减、相乘后，再除以除数得到新 的余数。这时比较原来的余数，看看会有什么规律呢？
例：（32＋15）÷7=6……5 5=4＋1
得：性质2：被除数a于b的和除以c的余数，等于a、b分别 除以c的余数的和。
例7： 有一个整数，用它去除55、119、174所得的三个余数和为 30，问这个整数是多少？ 根据性质3: （ 55＋119＋174）－30=318能被这个数整除。
9
杨老师
866－22－8－8=除数×22＋除数 866－22－8－8=除数×（22＋1） 除数=（866－22－8－8）÷（22＋1）=36
除数=（和－除数－余数×2）÷（商＋1）
例2、在大于1999的自然数中，被66除后，商和余数相等的是 多少个？
被除数=除数×商＋余数 即：a=b×q＋r 若商和除数相等，也就是q=r a=66×r＋r=67r 67r>1999 r>1999÷67 r>29 29<r<66 66－29－1=36（个）
1 1 mod 3 2 1 mod 3
1 2
3 0 mod 3 4 1 1 mod 3
3 4 4
55 25 2 mod 3 66 0 mod 3 77 17 1 mod 388 28 1 mod 3 9 0 mod 3
• 余数相同先考虑。 • 余数不同，看差数，差数相同先考虑。
同 余
例5，一个数去除32余2，去除17也余2，这个数是多少？ 除以同一个除数，并且余数也相同，这样的两个数叫 关于除数同余。
表示为32≡17（mod 除数 ）
32≡17（mod 5 ） 读作32和17模5同余
5 32－17
同余性质1、a≡b（modn）则n a－b
例3、一个两位数除310的余数是37，那么这个两位数是几？
a=b×q＋r 310=b×q＋37 310－37=b×q 273=b×q
273=3×91 分解因数
答：这个两位数是91
练习： 1、一个两位数去除238，得到的余数是26，那么这个两位 数是多少？ 238－26=212 212=4×53
思考：一个数除以2余1，除以3余1，这个数最小是多少， 有多少个？他们有什么关系？
余数和同余
五年级思维训练
被除数÷除数=商……余数 a÷b=q……r（0<r<b）
被除数=商×除数＋余数
a=b×q＋r
例1、两个数相除，商22，余数是8，被除数、除数、商和余数的 和是866，求被除数和除数？
被除数=除数×商＋余数 22 8 866=被除数＋除数＋商＋余数 除数×商＋余数 22 8 866=除数×22＋8＋除数＋22＋8
这些被除数可以表示为【2，3】×n＋1, 并且n=1时最小
例4、一个数除以3余2，除以7余2，这样的数最小是多少？
这个被除数一定符合【3，7】×n＋2
n=1时最小，
所以这个最小的数是【3，7】×1＋2=23
练习： 1、一个数除以7余2，除以9余2，这样的数中最小的是几？ 【7,9】×1＋2=65 2、一个数除以4余1，除以5余3，除以6余3，这样的数中最小 的是几？ （1）5和6的余数相同，先考虑。 （2）除以4差2，除以5差2，也可以先考虑。 3、58页综合应用4
练习：58≡34（mod
）
23≡15（mod
）
例6、 一个大于1的数去除229、152、和86，余数相同，求这个数？ 设这个数是n 则：229≡152（modn）152≡86（modn） 229≡86（modn） 根据性质1可知n可以被（229－152）、（152－86）、 （229－86）整除。即这三个数的公约数。 当n>1时，只有n=11. 练习：基础训练2，综合应用3