高等数学_多元函数
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D
16．将积分
2
dx
x2 f x, y dy 交换积分次序为
1
1
17． f x, y 2 x y x2 y2 的驻点是（ ）
①（1，0）
②（0，0）
③（0，0）
④（-1，-1）
二、综合题
1．设由方程 x 2 y z exyz 确定的隐函数为 z z x, y ，求 2 z
xy
2．求 6 dy 6
cos x dx
0
y
x
3．某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传，若广告费分别为 x, y 千元时，销
售量为 Q 200x 100 y ，销售产品所得利润为 L 1 Q x y ，已知两种手段
x 5 y 10
5
的广告费共 25 千元，问应如何分配这两种手段的广告费才能使利润最大？
1 1 y2 ye y2 dy
30
1 1 y2de y2
60
(分部积分)
1 6
1
2e1
6．
解 dx dz fdy ydf
1 2 yzf ' dz 1 2xyf ' dx fdy
zx'
1 2xyf ' 1 2 yzf '
,
z
' y
1
f 2 yzf
'
7．
解
1 z
dx
x z2
dz
第二套 多元函数
一、填空题
1．设 z 1 2xy ,则dz 1,0 =
2．设
f
x ,y
在点（a,
b）处偏导数存在，则
lim x0
f
a x,b
x
f
a x,b
（
）
①0
②
f
' x
2a, b
③
f
' x
a,b
④
2
f
' x
a,
b
3．设方程 x ln
z ,则 2z y xy
1,2
4． xdxdy x2 y2 1
10．设 z f 2 x y g x, xy , 其中 f 二阶可微，g 具有二阶连续偏导数，求
z , 2 z x xy
11．求由曲线 y 1 和直线 y 4x, x 2, y 0 所围成的平面图形的面积以及该平 x
面图形绕 X 轴而成的旋转体的体积。
第二套 多元函数（答案）
一、填空题
Fx' Fy'
0 0
Fz'
0
x 15, y 10
4．
证
e x2 y2 dxdy e x2 dx 2
即 lim
er2 rdrdQ
R DR
故 ex2 dx
5．
解 原式
1
dy
y x2e y2 dx
(换序)
0
0
1 0
e
y
2
x3 3
y 0
dy
5．设 z ln x y2 ,则x z y z = x 2 y
① x y x Baidu Nhomakorabea2
x y ②2
x y2
③1 ④0
6．设
f
x
y,
xy
x2
xy
y
2
,
则f
' y
1, 2
=
7．设 f x, y 2x yy ,则df 0,1 =
8． xydxdy x 1 y 1
9 ． 设 D 是 由 园 x2 y2 y ， 直 线 y x, x 0 所 围 成 的 平 面 区 域 ， 则
1 z
dz
1 y
dy
1 z
x z2
dz
1 z
dx
1 y
dy
zx'
z x
z
,
z
' y
z2
yx
z
z '' xy
x
z
z
' y
z
' y
x
z
z
z
' y
x z2
xz 2
y x z3
8．
解
原式
0
x
sin t
t
dt
dx
0
t sin t 0t
dxdt
0 sin tdt
2
4．证明 ex2 dx
5．计算二重积分 1 x2dx e1 y2dy
0
x
6．设 z z x, y 由方程 x z yf
x2 z2
所确定，求
z
' x
,
z
' y
7．已知
x z
ln
z y
, 求zx''y
8．设
f
x
x
sin t t
dt
，求 0
f
x dx
9．求园域 x2 y b2 a2 b a 绕 X 轴旋转而成的立体的体积
0
21
1
1 2
x
dx
2 ln 2
2
Vx
1
2 4x2 dx
0
2 1 2
1 x
2
dx
13 6
④z
11．设 z ln 1 xy ，则 2 z
xy
12．将积分
1
dx
1
f x, ydy 交换积分次序为
0
x2
13．设 u 1 xyy ,则 u （ ）
x
14．设 z
exy
yx2 ,则 z y
1,2 （
）
15．若 D 是由曲线 y x, y 2x, y 1所围成的平面区域，则 dxdy =
f x2 y2 d （ ）
D
①
2
d
cos
rf
0
r2
dr
4
③
4 d
cos
f
r2
dr
0
0
②
2
d
sin
rf
0
r2
dr
4
④
4 d
cos
rf
r2
dr
0
0
10．设
z
f
x y
，且
f
可微，则
x
z x
y
z y
（
）
①
2x y
f
'
x y
③0
②
2
f
'
x y
(换序 )
9．
解
Vx
a
a
b
2
a2 x2 b
a2 x2
2
dx
8 b a a2 x2 dx 0
8 b a2 4
2 2 ba2
10．
解
z
' x
2f
' g1' yg2'
z '' xy
2 f
''
xg1''2
g2'
y
g '' 21
0
g '' 22
x
11．
解
s
1
2 4xdx
z
' x
exyz 1 1 exyz ,
z'' xy
2ex yz 1 exyz
2
z
' y
2 ex yz 1 exyz
2．
解 原式
6
0
x 0
cos x
x
dy
dx
6
cos
x
xdx
0x
sin x 6 1
02
3．
解: 拉格朗日 F x, y, L x, y x y 25
1． ln 3 dy
2．④
7． 2dx dy 8．0
12．
1
dy
y f x, y dx
0
0
15． 1 4
3． e
4．0
5．③
6．-1
9．②
10．③
11．
1
1 xy
2
13． y2 1 xyy1
14． e2 1
16．
4
dy
2
f x, y dx
17．④
1
y
二、综合题
1．
解: 两边全微分
dx 2dy dz exyz dx dy dz
16．将积分
2
dx
x2 f x, y dy 交换积分次序为
1
1
17． f x, y 2 x y x2 y2 的驻点是（ ）
①（1，0）
②（0，0）
③（0，0）
④（-1，-1）
二、综合题
1．设由方程 x 2 y z exyz 确定的隐函数为 z z x, y ，求 2 z
xy
2．求 6 dy 6
cos x dx
0
y
x
3．某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传，若广告费分别为 x, y 千元时，销
售量为 Q 200x 100 y ，销售产品所得利润为 L 1 Q x y ，已知两种手段
x 5 y 10
5
的广告费共 25 千元，问应如何分配这两种手段的广告费才能使利润最大？
1 1 y2 ye y2 dy
30
1 1 y2de y2
60
(分部积分)
1 6
1
2e1
6．
解 dx dz fdy ydf
1 2 yzf ' dz 1 2xyf ' dx fdy
zx'
1 2xyf ' 1 2 yzf '
,
z
' y
1
f 2 yzf
'
7．
解
1 z
dx
x z2
dz
第二套 多元函数
一、填空题
1．设 z 1 2xy ,则dz 1,0 =
2．设
f
x ,y
在点（a,
b）处偏导数存在，则
lim x0
f
a x,b
x
f
a x,b
（
）
①0
②
f
' x
2a, b
③
f
' x
a,b
④
2
f
' x
a,
b
3．设方程 x ln
z ,则 2z y xy
1,2
4． xdxdy x2 y2 1
10．设 z f 2 x y g x, xy , 其中 f 二阶可微，g 具有二阶连续偏导数，求
z , 2 z x xy
11．求由曲线 y 1 和直线 y 4x, x 2, y 0 所围成的平面图形的面积以及该平 x
面图形绕 X 轴而成的旋转体的体积。
第二套 多元函数（答案）
一、填空题
Fx' Fy'
0 0
Fz'
0
x 15, y 10
4．
证
e x2 y2 dxdy e x2 dx 2
即 lim
er2 rdrdQ
R DR
故 ex2 dx
5．
解 原式
1
dy
y x2e y2 dx
(换序)
0
0
1 0
e
y
2
x3 3
y 0
dy
5．设 z ln x y2 ,则x z y z = x 2 y
① x y x Baidu Nhomakorabea2
x y ②2
x y2
③1 ④0
6．设
f
x
y,
xy
x2
xy
y
2
,
则f
' y
1, 2
=
7．设 f x, y 2x yy ,则df 0,1 =
8． xydxdy x 1 y 1
9 ． 设 D 是 由 园 x2 y2 y ， 直 线 y x, x 0 所 围 成 的 平 面 区 域 ， 则
1 z
dz
1 y
dy
1 z
x z2
dz
1 z
dx
1 y
dy
zx'
z x
z
,
z
' y
z2
yx
z
z '' xy
x
z
z
' y
z
' y
x
z
z
z
' y
x z2
xz 2
y x z3
8．
解
原式
0
x
sin t
t
dt
dx
0
t sin t 0t
dxdt
0 sin tdt
2
4．证明 ex2 dx
5．计算二重积分 1 x2dx e1 y2dy
0
x
6．设 z z x, y 由方程 x z yf
x2 z2
所确定，求
z
' x
,
z
' y
7．已知
x z
ln
z y
, 求zx''y
8．设
f
x
x
sin t t
dt
，求 0
f
x dx
9．求园域 x2 y b2 a2 b a 绕 X 轴旋转而成的立体的体积
0
21
1
1 2
x
dx
2 ln 2
2
Vx
1
2 4x2 dx
0
2 1 2
1 x
2
dx
13 6
④z
11．设 z ln 1 xy ，则 2 z
xy
12．将积分
1
dx
1
f x, ydy 交换积分次序为
0
x2
13．设 u 1 xyy ,则 u （ ）
x
14．设 z
exy
yx2 ,则 z y
1,2 （
）
15．若 D 是由曲线 y x, y 2x, y 1所围成的平面区域，则 dxdy =
f x2 y2 d （ ）
D
①
2
d
cos
rf
0
r2
dr
4
③
4 d
cos
f
r2
dr
0
0
②
2
d
sin
rf
0
r2
dr
4
④
4 d
cos
rf
r2
dr
0
0
10．设
z
f
x y
，且
f
可微，则
x
z x
y
z y
（
）
①
2x y
f
'
x y
③0
②
2
f
'
x y
(换序 )
9．
解
Vx
a
a
b
2
a2 x2 b
a2 x2
2
dx
8 b a a2 x2 dx 0
8 b a2 4
2 2 ba2
10．
解
z
' x
2f
' g1' yg2'
z '' xy
2 f
''
xg1''2
g2'
y
g '' 21
0
g '' 22
x
11．
解
s
1
2 4xdx
z
' x
exyz 1 1 exyz ,
z'' xy
2ex yz 1 exyz
2
z
' y
2 ex yz 1 exyz
2．
解 原式
6
0
x 0
cos x
x
dy
dx
6
cos
x
xdx
0x
sin x 6 1
02
3．
解: 拉格朗日 F x, y, L x, y x y 25
1． ln 3 dy
2．④
7． 2dx dy 8．0
12．
1
dy
y f x, y dx
0
0
15． 1 4
3． e
4．0
5．③
6．-1
9．②
10．③
11．
1
1 xy
2
13． y2 1 xyy1
14． e2 1
16．
4
dy
2
f x, y dx
17．④
1
y
二、综合题
1．
解: 两边全微分
dx 2dy dz exyz dx dy dz