浅谈最短路的数学模型解问题
数学建模最短路问题
设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
最短路问题(数学建模资料)
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章 最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
数学建模案例分析最短路问题
2020/4/21
数学建模
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l(u0 ) =0
? v ? S ? V \ S ,令 l(v) = W(u0 ,v) , z(v) = u0 u ? u0
（2）更新 l(v) 、 z(v) ： ? v ? S ? V \ S ,若l(v) >l(u) ? W(u, v)
（１）顶点与边相互交错且 ? (ei ) ? vi?1vi (i=1,2,…,k)的有限非空序列 w ? (v0e1v1e2 ? vk?1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv0 vk
2020/4/21
数学建模
最后标记:
l (v) z(v)
l(ui )
u1 u2 u3 u4
u5 u6
u7 u8
0 2 1 7 3 6 9 12
u1 u1
u1 u6 u2
u5 u4
u5
u2
u5
u 1
2020/4/21
u 4
u 6
u 3
u 7
数学建模
u8
返回
每对顶点之间的最短路
（一）算法的基本思想 (二)算法原理
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[ V1].
(3)设 E1 ? E,且 E1 ? ? ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[ E1].
G
2020/4/21
G[{ v1,v4,v5}]
数学建模
最小支撑树与最短路问题（NO25）
(k) ij
iikj((kk11)),,若若LLiij(j(kk))
L (k1) ij
L (k1) ij
第三步：当k=p时终止计算，否则，返回第二步。
14
例题5: 用Warshall-Floyd方法求下图中各顶点间的 最短路，其中弧（边）旁的数字表示弧（边）长。
0 3 4 9
0
4
2
L (0) ij
4
1
0 1 6
3
2
0
1
5 0 3
3 3 0
v6 3 v5
25
0 3 2 4 4 4
0
4
4
1
1
1
0 1 6 9
d2
W
d1
3
2
0
1 * 1
5 0 3 3 3
3 3 0 0 0
0 3 2 4 4 4
L (o) ij
ij
(vi , v j ) A
ij(o)=j (i,j=1,2,…p)
13
第二步：k=r(1rp)时，L(k)中第k行和第k列元素保 持不变，其它元素按下式计算，并填入L(k)=(Lij(k))中：
Lij(k)=min{Lij(k-1),Lik(k-1)+Lkj(k-1)}
相应地，(k)的各元素按下式变化：
8
例题2 用Dijkstra标号法求下图由v1到各顶点的最短路。
4
7 2
6 2
1 3 24
547
4 35
1
2
37
6
5
4
7 2
13 4
23 4
35
6 2
5 7 4 7 10
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
一次函数之最短路径问题
最短路径问题的求解方法
最短路径问题的求解方法可以分为两类：贪心算法和动态规划算法。贪心算法是指每一步都选择当前 最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。动态规划算法则是将问题分解为若干个 子问题，并分别求解子问题，最终得到原问题的解。
常见的贪心算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，常见的动态规划算法有Floyd-Warshall算法和 Johnson算法等。这些算法各有优缺点，适用范围也不同，需要根据具体问题选择合适的算法。
03 一次函数在解决最短路径 问题中的应用
一次函数在解决直线最短路径问题中的应用
总结词
利用一次函数的性质，可以方便地解决直线 上的最短路径问题。
详细描述
在直线最短路径问题中，我们通常需要找到 一条直线，使得它与给定曲线的交点到某一 点的距离最短。通过将问题转化为求一次函 数的极值问题，我们可以利用一次函数的单 调性快速找到最短路径。
适用于存在负权重边的图，计算从起点到所有其他顶点的最短路径。
02 最短路径问题的数学模型
最短路径问题的定义
最短路径问题是指在给定的图中，寻 找连接两个或多个顶点的路径，使得 路径的长度最短。这里的“长度”可 以是路径上的边数、边的权重之和等 。
VS
最短路径问题可以分为单源最短路径 问题和多源最短路径问题。单源最短 路径问题是指从一个顶点到其他所有 顶点的最短路径，而多源最短路径问 题是指从多个顶点到其他所有顶点的 最短路径。
一次函数之最短路径问题
目录
• 一次函数的基本概念短路径问题中的应用 • 实例分析 • 总结与展望
01 一次函数的基本概念
最短路径问题的定义
最短路径问题是指在有向图中寻找两个顶点之间的最短路径 。
最短路问题的实际应用论文
金华双龙洞旅游路线中最短路问题摘要：金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。
关键字：数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法一、研究背景：在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾馆脚痛的不行。
但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学模型，转化为图论的内容。
从而较为合理的制定出选择的路线（即最短路问题）。
因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：1.从景点进口到出口的最短路程。
（最短路问题）2.从景点到出口的最长路线。
3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）二、研究内容：根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽略。
问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图所示的路线图：再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。
同时也可以利用此法算出最长路程。
问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。
故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短)故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2所以，最短路程为A→C→E。
已知起点的最短路问题数学模型
一、概述已知起点的最短路问题是图论中的一个经典问题，它在实际生活中有着广泛的应用，如交通规划、通信网络设计、物流配送等领域。
本文将对已知起点的最短路问题进行数学建模，并探讨其求解方法。
二、问题描述已知起点的最短路问题可以描述为在一个加权有向图中，从给定的起点出发，求得到其他所有顶点的最短路径。
其中，图的顶点表示位置，边的权重表示移动的代价或者距离。
问题的输入包括图的结构和起点的位置，输出包括从起点到所有其他顶点的最短路径。
三、数学建模1. 图的表示为了进行数学建模，我们需要选取恰当的数据结构来表示图。
常用的数据结构包括邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适用于稠密图，适合于求解任意两个顶点之间的最短路径；邻接表适用于稀疏图，适合于求解从一个起点到其他所有顶点的最短路径。
在实际应用中，根据具体问题的规模和特点选择合适的数据结构。
2. 最短路径的定义最短路径可以通过不同的度量标准来定义，比如长度最短、耗费最少等。
在已知起点的最短路问题中，最常见的度量标准是路径的长度。
我们的数学建模将以路径的长度为目标函数。
3. 数学模型我们可以使用图论中的单源最短路径算法来解决已知起点的最短路问题。
常见的算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
以下是这两种算法的数学模型：（1）Dijkstra算法Dijkstra算法通过维护一个距离集合来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离集合，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
选择一个顶点加入最短路径集合，更新起点到所有其他顶点的距离。
重复上述步骤，直到所有顶点都加入了最短路径集合。
（2）Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离数组，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
在图的所有边上进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图的顶点数。
运筹学6-3
b( f ) b( f ) bij bij b( ),b( f ) b( f ) b( )
故称 b( ) b( f ) b( f ) 为关于增广链 的费用。
费用最小增广链： * : b( * ) min b( )
(2) 结论：
待解决问题：如何找费 用最小增广链 ?
3. 找费用最小增广链方法
(1) 产生一个关于当前流f { f ij } 的增广网络
D( f ) (V , A( f ),W ( f )) :
(i) 将 D 中每条弧 (vi , v j ) 变成两条弧(vi , v j ) 及 (v j , vi ),
例如，下图弧旁的数字 为 (bij , wij , f ij ) vt v1 (1,7,5)
vs
(2,5,5) (6,2,0) (3,10,0)
v1
<
6 3 -2
1 -1
vt
v0
v3
vs
-1
f 1 , v( f 1 ) 5
v0
D( f1 )
v3
图 6.19 (b)
图 6.19 (c)
(2) 找费用最小增广链等价 于在 D( f ) 中 找vs 到 vt 的一条 最短路， 形成最小增广链。
最短路可用 (vi ) 逆向追踪，如 P {v1 , v2 , v3 , v6 }.
* 6
注意 ：
1. 以上 Dijkstra 算法仅适用于wij 0, 将 wij 非负化再求解？ 2. 可否类似于对策论，
(不可以！为什么？)
3. 对于有负权的网络的最 短路方法， 可用Warshall Floyd方法（P166 ~ 167 略）。
运筹学-最短路问题
V1 0 V2 2 V3 5 D = V4 − V5 − V6 − V7 −
பைடு நூலகம்
v2
2 0 2 4 6 − −
v3
5 2 0 1 − 3 −
v4
− 4 1 0 4 1 4
v5
− 6 − 4 0 − 1
v6
− − 3 1 − 0 2
v7
− − − 4 1 2 0
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 逐步顺序 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 此时，
T ( v j0 ) =
min {T ( v )}
v j ∈s j
,
然后将 标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第
步骤 考察点 T标号点集 标号点集 v1 0
标 v2
标号） 号（ 表P标号） 标号 v3 v4 v5 v6 v7
1 2 3 4 5 6
v1 v2 v3 v4 v6 v5
{v2，…，v7} ， {v3，…，v7} ， {v4，…，v7} ， {v5，v6，v7} {v5，v7} {v7}
2
5 2+2 4
组合优化报告-最短路问题总结
定义2.1.12(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，vnV，e1，e2,….,enE，其中ei是关联于结点vi-1，vi的边，交替序列v0e1v1e2…envn称为联结v0到vn的路径（或称路）．v0与vn分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．
孤立点：长度为0的路定义为孤立点．
(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，vV’时有[u，v]E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．
定义2.1.11(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]E，当且仅当[f(a)，f(b)]E’，并且[a，b]和[f(a)，f(b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．
弧立结点:图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．
零图:全由孤立结点构成的图称为零图．
自回路（环）:关联于同一结点的一条边称为自回路或环．
重边（平行边）:在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．
多重图:含有重边的图称为多重图．
线图：非多重图称为线图．
定义2.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．
最短路问题-逆序递推方法
(k=n,n-1,…,1)
8
A9
5
B1
6
4
5
8
7
B2 6
78
B3
9
C1
3
5
D1
4
6
C2 2
E D2 3
1
C3
3
8.1.3 动态规划模型的建立与求解
可以概括为:一个大前提、四个条件、一个方程
d ( A, B3 ) + f2 (B3 )
5 + 13
A →B1 →
8
A9
5
1
B1
6
4
5
8
7
B2 6
78
B3
9
2
C1
3
5 6
C2 2
1
C3
3
3
D1
4
E D2 3
4
8
A9
5
B1
6
4
5
8
7
B2 6
78
B3
9
C1
3
5
D1
4
6
C2 2
E D2 3
1
C3
3
从城市 A 到城市 E 的最短距离为 17。把各段的最优决策按计算顺序
数记为fk(sk)，它表示从第K阶段的状态Sk出发采用的最优 策略。
,
当K=1时, f1(s1 )就是从初始状态S1到全过程结束的整体 最优目标函数。
在例8.1中，目标函数就是距离。如在第2阶段，状态 为B2时，f 2 (B2)则表示从B2到E的最短距离。本问题 的总目标是求f 1(A), 即从A到E的最短距离。
最短路问题
一、实验目的了解最短路问题并用其求解线性规划。
二、实验环境lingo软件三、求解问题一个人从C3骑自行车出发去A2,C1,E2三处送紧急公文，然后回到C3.试帮助设计一条最短路线。
如图中的数字单位为hm(百米),自行车速度15km/h,送文件时每处耽搁5min,问从C3出发算起30min内能否回到出发地点。
四、数学模型模型构建思路：先用Floyd算法求出13个点中任意2点间的最短距离。
再把原图化简为4个点（C3，A2，C1，E2）的完全图，在这个图上在建立模型，其中d矩阵为这个完全图的距离矩阵.在用lingo软件求解。
min=@sum(links(i,j):d(i,j)*x(i,j));@for(c(J):@sum(c(I):x(I,J))=1);@for(c(I):@sum(c(J):x(I,J))=1);@for(c(J):@for(c(I):@bin(x(I,J))));@for(c(I):@for(c(J):x(I,J)+x(J,I)<=1));五、实验步骤function d=Floyd(A) % p矩阵为路径矩阵， p(i,j)表示从i到j这条路径j的前一个结点。
所以可以通过矩阵p找到每条路径。
[m,n]=size(A);d=A;for v=1:mfor w=1:mif d(v,w)<99p(v,w)=v;endif d(v,w)==99p(v,w)=-1;endendendfor u=1:mfor v=1:mfor w=1:mif (d(v,u)+d(u,w))<d(v,w)d(v,w)=(d(v,u)+d(u,w));p(v,w)=u;endendendendpD=[ 0 6 99 3 99 5 99 99 99 99 99 99 99 6 0 5 7 5 99 7 99 99 99 99 99 99 99 5 0 99 3 99 99 4 99 99 99 99 99 3 7 99 0 99 6 2 99 99 99 99 99 99 99 5 3 99 0 99 4 6 99 99 99 99 99 5 99 99 6 99 0 6 99 1 99 9 99 99 99 7 99 2 4 6 0 4 3 4 99 9 99 99 99 4 99 6 99 4 0 99 3 99 99 5 99 99 99 99 99 1 3 99 0 99 6 7 99 99 99 99 99 99 99 4 3 99 0 99 7 6 99 99 99 99 99 9 99 99 6 99 0 5 99 99 99 99 99 99 99 9 99 7 7 5 0 6 99 99 99 99 99 99 99 5 99 6 99 6 0]; Floyd(D)p = 1 1 2 1 7 1 4 7 6 7 9 9 8 2 2 2 2 2 1 2 3 7 7 9 7 8 2 3 3 7 3 9 5 3 7 8 9 10 8 4 4 7 4 7 4 4 7 7 7 9 7 8 7 5 5 7 5 9 5 5 7 7 9 7 8 6 1 9 6 9 6 9 9 6 9 9 9 94 75 7 7 9 7 7 7 7 9 7 8 7 3 8 7 8 9 8 8 7 8 9 10 86 7 7 7 7 9 9 7 9 7 9 9 87 7 8 7 7 9 10 10 7 10 12 10 10 9 9 9 9 9 9 9 9 11 12 11 11 12 9 7 10 7 7 9 12 10 12 12 12 12 12 8 8 8 8 8 9 8 13 8 13 12 13 13ans = 0 6 11 3 9 5 5 9 6 9 12 13 14 6 0 5 7 5 11 7 9 10 11 16 16 14 11 5 0 9 3 11 7 4 10 7 16 14 9 3 7 9 0 6 6 2 6 5 6 11 11 11 9 5 3 6 0 8 4 6 7 8 13 13 11 5 11 11 6 8 0 4 8 1 8 7 8 13 5 7 7 2 4 4 0 4 3 4 9 9 9 9 9 4 6 6 8 4 0 7 3 13 10 5 6 10 10 5 7 1 3 7 0 7 6 7 12 9 11 7 6 8 8 4 3 7 0 12 7 612 16 16 11 13 7 9 13 6 12 0 5 1113 16 14 11 13 8 9 10 7 7 5 0 614 14 9 11 11 13 9 5 12 6 11 6 0v=[8 2 6 12];function d=yasuo(D,v) 注; 求矩阵d[m,n]=size(v);for i=1:nfor j=1:nd(i,j)=D(v(i),v(j));endendfor j=1:nd(j,j)=99;endd= 99 9 8 109 99 11 168 11 99 810 16 8 99model:sets:c/a1..a4/;links(c,c):d,x;endsetsmin=@sum(links(i,j):d(i,j)*x(i,j)); @for(c(J):@sum(c(I):x(I,J))=1);@for(c(I):@sum(c(J):x(I,J))=1);@for(c(J):@for(c(I):@bin(x(I,J))));@for(c(I):@for(c(J):x(I,J)+x(J,I)<=1)); data:d=99 9 8 109 99 11 168 11 99 810 16 8 99;enddataend六、实验数据处理及结果分析Global optimal solution found.Objective value: 38.00000Objective bound: 38.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost D( A1, A1) 99.00000 0.000000 D( A1, A2) 9.000000 0.000000 D( A1, A3) 8.000000 0.000000 D( A1, A4) 10.00000 0.000000 D( A2, A1) 9.000000 0.000000 D( A2, A2) 99.00000 0.000000 D( A2, A3) 11.00000 0.000000 D( A2, A4) 16.00000 0.000000 D( A3, A1) 8.000000 0.000000 D( A3, A2) 11.00000 0.000000 D( A3, A3) 99.00000 0.000000 D( A3, A4) 8.000000 0.000000 D( A4, A1) 10.00000 0.000000 D( A4, A2) 16.00000 0.000000 D( A4, A3) 8.000000 0.000000 D( A4, A4) 99.00000 0.000000 X( A1, A1) 0.000000 99.00000 X( A1, A2) 1.000000 9.000000 X( A1, A3) 0.000000 8.000000 X( A1, A4) 0.000000 10.00000 X( A2, A1) 0.000000 9.000000 X( A2, A2) 0.000000 99.00000 X( A2, A3) 1.000000 11.00000 X( A2, A4) 0.000000 16.00000 X( A3, A1) 0.000000 8.000000 X( A3, A2) 0.000000 11.00000 X( A3, A3) 0.000000 99.00000 X( A3, A4) 1.000000 8.000000 X( A4, A1) 1.000000 10.00000 X( A4, A2) 0.000000 16.00000X( A4, A3) 0.000000 8.000000X( A4, A4) 0.000000 99.00000七、分析、检验和结论x(1,2)=x(2,3)=x(3,4)=x(4,1)=1则应选择路线为：C3-A3-A2-A1-C1-D1-E2-D2-C3因为 38>37.5（15*15/60=3.75km）所以不能在30分钟后到达出发点。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
在现实生活中，我们经常需要找到两点之间的最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，求解最短路问题具有重要的理论和实际意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定顶点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径；而多源最短路则是指图中任意两个顶点之间的最短路径。
在本文中，我们将重点讨论单源最短路问题的求解方法。
求解最短路问题的方法有很多种，其中比较经典的算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
下面将分别介绍这三种算法的原理和应用。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
该算法的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中顶点的个数。
该算法适用于没有负权边的图，且能够快速求解单源最短路的问题。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题，该算法允许图中存在负权边。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对图中的所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图中顶点的个数。
通过多次松弛操作，可以逐步逼近最短路径的结果。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示图中顶点的个数，E表示图中边的个数。
该算法适用于存在负权边的图，且能够求解单源最短路的问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
该算法的基本思想是通过对图中的所有顶点进行遍历，逐步更新每对顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的个数。
浅谈最短路的数学模型解问题
浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。
现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。
问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。
（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。
这是一般人都有的最直接最原始的思路。
我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。
本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。
1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。
其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。
2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
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浅谈最短路的数学模型解问题
在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。
现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。
问题1（最小价格的管道铺设方案）
如下图
用点表示城市，现有共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
首选我们要明确以下2点：
（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。
（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。
这是一般人都有的最直接最原始的思路。
我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。
本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。
1、建立数学模型：
Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：
前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。
其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；
Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；
而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；
各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，
即xk+1=u（xk）∈Sk。
2、模型求解：
①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有
②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有
B1到D的最短路长
得B1到D的最短路径
B2到D的最短路长
得B2到D的最短路径
③当k=1时，有
A到D的最短路长
得A到D的最短路径，故从
A到D的最短弧长为6，路径为
最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。