浅谈最短路的数学模型解问题

浅谈最短路的数学模型解问题

在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。

现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。

问题1（最小价格的管道铺设方案）

如下图

用点表示城市，现有共7个城市。点与点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

首选我们要明确以下2点：

（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。

（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。这是一般人都有的最直接最原始的思路。

我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。

本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。

1、建立数学模型：

Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：

前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。

其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；

Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；

而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；

各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，

即xk+1=u（xk）∈Sk。

2、模型求解：

①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有

②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有

B1到D的最短路长

得B1到D的最短路径

B2到D的最短路长

得B2到D的最短路径

③当k=1时，有

A到D的最短路长

得A到D的最短路径，故从

A到D的最短弧长为6，路径为

最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。