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合理构造函数解导数问题

构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数()()ax x x ax x f --++=2

3

1ln .

(1) 若

3

2

为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()x

b

x x f =

---3

11有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1）因为3

2=

x 是函数的一个极值点，所以0)32

(='f ，进而解得：0=a ，经检验是

符合的，所以.0=a

（2）显然(),2312a x x ax a

x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31

1

>x 时递增，

故此我们只需要保证()0231

1≥--++=

'a a a

f ，解得：.2510+≤≤a （3）方法一、变量分离直接构造函数 解：由于0>x ，所以：(

)2

ln x

x x x b -+=32

ln x x

x x -+=

()2

321ln x x x x g -++=' ()x

x x x x x g 1

266212---=-+=''

当6710+<

''x g 所以()x g '在6

7

10+<

x 时，(),0<''x g 所以()x g '在6

71+>x 上递减； 又(),01='g ().6

7

10,

000+<

<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减； 当10<'x g 所以10<

当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减； 又当+∞→x 时，(),-∞→x g

()()

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g

当0→x 时，,04

1

ln <+

x 则(),0

b 的取值范围为(].0,∞-

()x

x x x x x g 1266212---=-+=''，()2321ln x x x x g -++='，()3

2ln x x x x x g -+=

方法二、

构造：()2

ln x x x x G -+=

()()()x

x x x x x x x x x x x G 1121

21221122-+-

=---=++-=-+=' 0>x 10<<∴x ()0>'x G 从而()x G 在()1,0上为增函数；

(),0,1<'>x G x 从而()x G 在()+∞,1上为减函数

()()01=≤∴G x G 而0>x ()0≤⋅=∴x G x b 0≤∴b

分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

那么怎样合理构造函数呢？

（1）抓住问题的实质，化简函数

1、已知()x f 是二次函数，不等式()0

（1）求()x f 的解析式；

x

)

（2）是否存在自然数m ，使得方程()037

=+

x

x f 在区间()1,+m m 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。 解：（1） ()R x x x y ∈-=1022

（2）假设满足要求的实数m 存在，则()037=+

x x f ，即有：037

1022=+-x

x x

037

10223=+-x

x x ，即有：03710223=+-x x 构造函数()371022

3

+-=x x x h

画图分析：

())3

10(62062-

=-='x x x x x h

进而检验，知0)4(,0)3

10

(

,0)3(><>h h h ,所以存在实数3=m 使得()037=+x x f 在区间()4,3内有且只有两个不等的实数根。

点评：本题关键是构造了函数()3721032+-=x x x h ，舍弃了原函数中分母,x 问题得到了简化。

变式练习：设函数()R x x x x f ∈+-=,563

，求已知当()+∞∈,1x 时，()()

1-≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围。

（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：

例： 已知函数()x n x f ln +=的图像在点()),(m f m P 处的切线方程为,x y = 设().ln 2x x

n

mx x g --

= （1） 求证：当1≥x 时，()0≥x g 恒成立；

x

()x