数学物理方程积分变换

3.1.1傅立叶级数 为了考察一个函数与一正交函数系之间的关系 ，针对 研究振动和波动现象 ，在有限区间上函数用傅立叶 三角级数表示，在无限区间上函数用某种特殊的积 分形式表示，如傅立叶变换，拉普拉斯变换，梅林 变换，汉克尔变换等. 3.1.1.1三角级数与傅立叶级数 1)正交函数系 一个函数系ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), ⋯ , ϕ n ( x ), ⋯ (1) 其中每个函数都是定义在区间上的实函数或实变量的 复值函数，如果满足
n = −∞ ∞
∑ cn exp
∫α
β
inπ ( 2 x − α − β ) β −α
( n = 0,1,2, ⋯)
( n = 1,2, ⋯)
2 an = β −α
nπ (2t − α − β ) f ( t ) cos dt β −α
β 2 nπ (2t − α − β ) bn = f ( t ) sin dt ∫α β −α β −α β 2 − inπ (2t − α − β ) cn = dt ∫ α f ( t ) exp β −α β −α
3.1.2傅立叶级数
设函数 f (x ) 在区间 [0, 2π ] 上绝对可积，且令
1 2π a n = π ∫ 0 f ( x) cos nxdx b = 1 2π f ( x) sin nxdx n π ∫0 (n = 0,1,2,⋯) (n = 1,2,⋯)
以 a n , bn 为系数作三角级数
若 f ( x ) 是奇函数，则 a n = 0 ，得到f ( x ) 的傅立叶 正弦级数 ∞ ∞
f (x ) ～
∑b
n=1
n
sin n x =
∑sin n x∫ π
n=1
2
π
0
ɺ f (t ) sin n t d t
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
在[-l , l]区间上
f (x ) ～
f (t ) e − i n t d t
( n = 0,1,2, ⋯)
π∫
π
−π
( n = 1,2, ⋯)
( n = 0 , ± 1, ± 2 , ⋯)
1 cn = 2π
∫
π
−π
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
或者
f (x )～
1 2π
=
1 2π
∫ π f (t ) d t + π ∑ ∫
N0h, (N0 +1)h, ⋯, (N0 + N)h
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
满足
0 1 N0 + N ∑ ϕ m ( kh )ϕ n ( kh) = 1 N + 1 k = N0 ( m ≠ n) ( m = n)
就称函数系( 2 )为标准正交函数系，式中
h > 0, M 0 ≤ m ≤ M 0 + N,N0 ≤ n ≤ N0 + N
( 3.1.3 f (x) 在其他区间上的傅立叶级数
在[−π , π ] 区间上 f (x)～
an =
bn =
∞ a0 ∞ + ∑(an cos n x + bn sin n x) = ∑cn ei n x 2 n=1 n=−∞
π∫
1
1
π
−π
f (t ) cos n t d t
f (t ) sin n t d t
1 a n = O k + 1 n
1 b n = O k + 1 n
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
有界变差定义 假 定 f (x) 在 [ a,b] 上 有 限 ， 在 [ a,b] 上 作 分 点 a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,作和 V = ∑ | f ( x ) − f ( x ) | ,V的上确界叫做f (x)在[a,b]上的全变差，记为 V ( f ) .如果 V ( f ) <+ ∞ ,那么称f (x) 在[a,b]上有有 界变差. lim (xn·yn)= lim xn· lim yn
4.1.4 傅立叶级数的性质
1o 绝对可积函数 f (x) 的傅立叶系数收敛于零，即
π 1 2π lim bn = lim ∫ f ( t ) sin n t d t = 0 0 n →∞ n→∞ π
n→∞ n→∞ 0
lim a n = lim
1
∫
2π
f ( t ) cos n t d t = 0
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
1o 如果 f (x ) 在区间[0,2π ] 上绝对可积，那末一定有 它的傅立叶级数，但是，不一定有它的傅立叶展开 2o 如果 f (x ) 在区间[0,2π ] 上有一个三角级数一致收 敛(或囿收敛，即部分和点点收敛且一致有界)于函 数 f (x ) ，那末这个级数就是函数的傅立叶展开
a0 ∞ + ∑(an cos n x + bn sin n x) 2 n=1
a 它称为 f (x ) 的傅立叶级数，n , bn 称为的傅立叶系数. 不管级数(1)是否收敛，或者收敛而不管它是否等 a0 ∞ 于 f (x ) ，都记 + ∑(an cos n x + bn sin n x) f (x ) = 2a n , bn
余弦级数 正弦级数 复 数 型
a0 ∞ + ∑ a n cos nx 2 n =1
是实常数
∑b
n =1
∞
∞
n
sin nx
n = −∞
c n e inx ∑
a0 2
cn = an − ibn 2
c0 =
c−n = c n =
a n + ibn 2
i = −1
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
−
π
1
∞
π
−π
f ( t ) cos n ( x − t ) d t
n=− ∞
∑∫
∞
π
n =1
−π
f ( t ) ei n (x − t)d t
特别，若f ( x ) 是偶函数，则bn= 0，得到 f ( x ) 的傅 立叶余弦级数
f (x ) ～
π a0 ∞ 1 π 2 ∞ + ∑ a n cos n x = ∫ f ( t ) d t + ∑ cos n x ∫ f ( t ) cos n t d t 0 2 n =1 π 0 π n =1
变换的方式有两种： 变换的方式有两种： 第一是变换坐标系或自变量； 第一是变换坐标系或自变量； 第二是变换函数或因变量， 第二是变换函数或因变量，行 波法就是属于第一种， 波法就是属于第一种，而积分 变换与级数变换则属于二种类 型的同步变换。 型的同步变换。
坐标的旋转变换
1 行波法 考察一维波动方程
nπ t 1 l a n = ∫ f ( t ) cos dt −l l l
( n = 0,1,2, ⋯)
或者
1 l 1 ∞ l nπ ( x − t ) dt f (x ) ～ ∫ − l f ( t ) d t + l ∑1 ∫ − l f ( t ) cos 2l l n= l in π ( x − t ) 1 ∞ = dt ∑∞ ∫ − l f ( t ) exp 2l n = − l
g 3o 区间 [0,2π]上两个绝对可积函数 f (x ) ， (x ) ，如 果除去有限个点外处处相等(可以推广到几乎处处 相等)，那末 f (x) 和 g (x ) 的所有对应的傅立叶系数 都一致.
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
4o 定义 f ( x + 2π ) = f ( x )，那末函数 f (x) 的定义域 可推广到整个数轴，求傅立叶系数的积分区间可以 换成长度为 2π 的任意区间，例如 [−π , π ] 等.
(n = 0,±1,±2, ⋯)
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
或者 f (x) ～
β 2nπ ( x − t ) 1 2 ∞ β ∫ α f ( t ) d t + β − α ∑ ∫ α f ( t ) cos β − α d t β −α n =1
1 ∞ β i2nπ ( x − t ) = ∑ ∫α f ( t ) exp β − α d t β − α n=−∞
例如取
M 0 = N0 = 0
id mx
ϕ m ( x) = e
2π (d h = , m = 0,1, ⋯ , N ) N +1
就是一个标准正交函数系.
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
3.1.1三角级数的几种类型
类 型 实 数 型
,,
表
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n =1
上的正交函数系，式中
2π (ω , n = 0,±1,±2,⋯ ) T
2π ω = T
e
i nω x
T T − 2 , 2
上的标准正交函数系 标准正交函数系
ϕ M ( x), ϕ M +1 ( x),⋯, ϕ M
0 0 0+N
设给定函数系
( x)
(2)
其中自变量x取有限个离散值
数学物理方程 积分变换
傅立叶级数，傅立叶变换
典型特殊函数 Legendre函数----Legendre微分方程 Bessel函数----Bessel微分方程
行波法与积分变换法
数学物理方程讲座
变换是数学物理中重要的思想之一， 变换是数学物理中重要的思想之一，它基于一种 对称性原理，爱因斯坦（ 对称性原理，爱因斯坦（Einstein）在他的广义 ） 相对性原理中提出的广义协变性， 相对性原理中提出的广义协变性，指出在任意曲 线坐标下，物理的规律都是相同的， 线坐标下，物理的规律都是相同的，具体反映在 所有的物理量必须是张量， 所有的物理量必须是张量，而张量的整体和不同 张量之间的关系在坐标变换下是保持不变的， 张量之间的关系在坐标变换下是保持不变的，尽 管它们的分量发生了变化。于是对同一个问题， 管它们的分量发生了变化。于是对同一个问题， 我们可以在不同的曲线坐标系中去研究， 我们可以在不同的曲线坐标系中去研究，如何选 择这些曲线坐标， 择这些曲线坐标，显然是要求在该坐标下问题的 微分方程最简单或最容易求解， 微分方程最简单或最容易求解，当我们求得解后 再返回原来的坐标系。 ，再返回原来的坐标系。
∞ a0 ∞ nπ x nπ x inπ x + ∑ (a n cos + bn sin ) = ∑ c n exp l l l 2 n =1 n = −∞
nπ t 1 l (n = 1,2, ⋯) bn = ∫ f (t ) sin dt l −l l − inπ t 1 l ( n = 0,±1,±2, ⋯) c n = ∫ f ( t ) exp dt 2l −l l
就称函数系(1)为 [ a, b]上的标准(规范)正交函数系, 例如
1, cos ω x, cos 2ω x, ⋯ , cos nω x, ⋯ , sin ω x, sin 2ω x, ⋯ , sin nω x, ⋯
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
是区间 函数系 是区间
T T − 2 , 2
（1） ）
我们将坐标系 变换为 取 先作放大，再作旋转， 先作放大，再作旋转， ，
容易证明方程1变换为 容易证明方程 变换为
对 对
积分得： 积分得： 积分得通解： 积分得通解：
若给定初值条件（无限长弦的自由振动） 若给定初值条件（无限长弦的自由振动）
解得定解
达朗贝尔公式
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
b 1 ∫ a ϕ m ( x )ϕ n ( x ) dx = 0 b−a
(m≠n)
就称函数系(1)为区间 [ a, b] 上的正交函数系，式 中 ϕ n (x ) 是 ϕ n ( x ) 的共轭函数.如果再满足
b b 1 1 ϕ m ( x )ϕ m ( x ) d x = ϕ m ( x ) 2 dx = 1 b − a ∫a b − a ∫a
3.1傅立叶级数与积分变换 傅立叶级数与积分变换
当 f (x) 是偶函数或奇函数时，同区间[−π ,π ]上的 情形一样，分别有余弦级数或正弦级数. 在 [α , β ] 区间上
f (x ) ～
=
a0 ∞ nπ ( 2 x − α − β ) nπ ( 2 x − α − β ) + ∑ a n cos + bn sin 2 n =1 β −α β −α
特别，如果 f (x ) 在区间 [0,2π ] 上有有界变差， 或者单调上升有界，或在 [0,2π ] 上分段单调， 那末都有
1 1 a n = O , bn = O n n
如果 f (x) 及它们一直到 k 阶的导数在区间[0,2π ] 上 都是有界变差函数，或者都单调上升有界，或在 [0,2π ] 上分段单调，那末