材料力学(II)第二章-材料力学

第二章 考虑材料塑性的极限分析
3. 继续增加荷载，3杆的应力保持3＝s不变，1、2杆 的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(1=2=s)，整个结构屈
服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷
载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 =s A，由结点A
的平衡方程得
F u s A 1 2 co s
B
C
s
A
F
(a)
s
(b)
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
例2－1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，－
关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试 分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情 况。
l
(a)
(b)
5
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
l
(a)
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
§2－3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
图a所示圆截面杆，其t －g 的关系如图b所示。本节讨
论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
Ⅰ. 极限扭矩
(1) 由塑性材料制成的受扭
t s 圆截面杆，一般把tmax=ts(图c)作
系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈
服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别
相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─ 理
想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材
料的t－g曲线简化为图c所示的曲线。
t
s
b
ts
s
(b)
3
gs
g
(c)
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b
b s p
o
c
p e
(a)
图a所示为低碳钢拉伸时 的应力—应变曲线，bc表示 卸载规律。工程中有时要考 e 虑材料塑性来计算构件的承 载能力，低碳钢等塑性材料
在应力超过比例极限后，应
力和应变为非线性关系，使 分析极为复杂。为了简化计
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关
(2)
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式中，右边第一项
πd 16
3 s
t
s
为弹性区的扭矩，第二项
d ds
222π2ts
d
为塑性区的扭矩。
ts
单位长度的扭转角为
G ππ dd s3ts4s//312 6G 2tssd
ts (3)
Tu (f)
(3) 当扭矩增加到T=Tu时，横截面上各点的切应力均达
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
第二章 考虑材料塑性的极限分析
§2－1 塑性材料简化的应力-应变曲线 §2－2 拉压杆系的极限荷载 §2－3 等直圆杆扭转时的极限扭矩 §2－4 梁的极限弯矩 ·塑性铰
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
§2－1 塑性材料简化的应力—应变曲线
第二章 考虑材料塑性的极限分析
§2－2 拉压杆系的极限荷载
图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系 如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈 服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静 定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。 超静定杆系结构见下例。
o
为破坏条件，并以此建立强度条
ts
Ts
d
(c)
件。边缘屈服时的扭矩称为屈服
扭矩，并用Ts表示，其值为
Ts π1d63ts
(1)
仅当tmax=ts时，圆杆不会发生明显的屈服变形，扭矩还可
以继续增加。
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gs
(2) 若扭矩增加到某个值T 时，
o
圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面
假设，其g 的变化规律如图d所示。根
gs
T 据图b所示的t~g关系，t 的分布规律如
(d)
图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状
d
ts
T
ds
d (e)
态，其余部分仍处于弹性状态。设弹
性区的直径为ds。取dA=2pd，扭矩
为
T
πds3 16
ts
d ds
/2 /2
2π
2ts
d
4π8ts 4d3 ds3
(5)
极限荷载和屈服荷载的比值为
Fu 12cos Fs 12co3s
当＝45°时，Fu/Fs＝1.41，即考虑材料塑性将使结构的承载
能力提高1.41倍。
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(2) A点的位移
1. F=Fs时，3＝s ，3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作
状态，由图d可得A点的位移为
状态。 Fs 称为屈服载荷。令3＝s，F =Fs。由(2)式得
F s s A 1 2 c3 os
(3)
由于FN3=σsA，使超静定结构成为静定结构，荷载还可以继 续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为
FN1
FN2
Fs sA 2cos
应力为
1
2
Fs /As 2cos
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(4)
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解： (1) 应力 1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静 定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的
应力分别为
12A1 F c2co2 o3 ss
(1)
3A12F co3s
F
可见 312
(c)
(2)
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作
3
1 2
A
l2
l1 l3
s l3E sA lA
(6)
A
(d)
2. 继续增加荷载，3杆的应力3＝s保持不变，增加部
分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，
直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
ul1cosEcA sA o2 ls
到ts(图f)，圆杆进入完全塑性状态，即为极限状态， Tu称为
极限扭矩，其值为
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
(7)
b a
(e)
外力F和A点位移Δ之间的关系， 如图e所示。F<Fs时，结构的刚 度由三根杆组成， F≥Fs时，3 杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组 成，所以Oa和ab的斜率不同。
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第二章 考虑材料塑性的极限分析
由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2－1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成 为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生 塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。