初三 相似三角形复习讲义

B

C

D

E

H F

A

G K

相似三角形综合复习

例1.如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，

BP CD ABC ==

12

3，，求△的边长

例2. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，

（1）求证：△AEF ∽△CEA

（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°

例3.如图，在∆ABC 中，点E 、F 在BC 边上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，四边形DEFG 是矩形，若矩形DEFG 的面积与∆ADG 的面积相等，设∆ABC 的BC 边上的高AH 与DG 相交于点K 。求BC

DG

的值。

例4. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ，

AD=BD ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于F 。 求证：（1）AF=BE ；

（2）EC AE AF ∙=2

A

D E

F

B

C

1、在梯形ABCD 中AD ∥BC,AC 与BD 交于点O ，如果AD:BC=1:3，下列结论正确（ ） A.AOD COD S S ∆∆=9 B.AOD ABC S S ∆∆=9 C.AOD BOC S S ∆∆=9 D. AO D D BC S S ∆∆=9

2、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为1：4，那么两底的比为（ ）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D:1:16

3、一油桶高0.8m ，桶内未盛满油，一根木棒长1m ，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为__________m 。

4. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F 。求证：OE=OF

5. 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：

AG 2

=AF ·FC

6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

7．如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥B C ，AD=3cm ，BC=7cm ，∠B=60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合)，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B

B

C E

D O

A x

y (1)求证：△ABP∽△PCE； (2)求等腰梯形的腰AB 的长；

(3)在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE ：EC=5：3？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．

8.．已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE=BE.

求证：（1）︵AB =︵

AF ；

（2）AH ·BC=2AB ·BE.

9．如图矩形ABCD 的边长AB=2，AD=3，点D 在直线2

9

32+-=x y 上，AB 在x 轴上。

（1）求矩形ABCD 四个顶点的坐标； （2）设直线2

9

32+-

=x y 与y 轴的交点为E ，M （x ，0）为x 轴上的一点（x ＞0），若ΔEOM ∽ΔCBM ，求点M 的坐标；

（3）设点P 沿y 轴在原点O （0，0），与H （0，-6）点之间移动，问过P 、A 、B 三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内部，请说名理由。

D C B H E

A P A

B C

D

E

F

10、如图，正∆ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP=PE ；

（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。

11、已知如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD 于点H ，P 为AD 上的一个动点（点P 与点A 、D 不重合），CP 与BD 交于点E ，若CH=60/13，DH ：CD=5：13，设AP=x ，四边形ABEP 的面积为y 。 （1）求BD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）当四边形ABEP 的面积是ΔPED 面积的5倍时，连接PB ，判断ΔPAB 与ΔPDC 是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。

12、如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，FE ⊥EC 交AB 于F ，连接FC （AB ＞AE ）。 （1）ΔAEF 与ΔEFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。 （2）设

k BC

AB

，是否存在这样的k 值，使得ΔAEF ∽ΔBCF ？若存在，证明你的结论并求出k 值；若不存在，请说明理由。

C E

D P

A B

B

C E F

D G A

H M

13. 如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，且AB=3AD ，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC ∽△CBD 。

14. 如图，BE 为△ABC 的外接圆O 的直径，CD 为△ABC 的高，求证：AC ·BC=BE ·CD

15. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD=16，AB 45，（1）求证：CE=EF （2）求EG 的长

16．已知如图，ΔABC 的内接矩形EFGH 的一边在BC 上，

高AD=16，BC=48。

（1）若EF ：FG=5：9，求矩形EFGH 的面积；

（2）设EH=x ，矩形EFGH 的面积为y ，写出y 与x 的函数关系式； （3

）按题设要求得到的无数多个矩形中，是否能够找到两