第二章 导数与微分部分考研真题及解答

第二章 导数与微分 2.1导数的概念

01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ）

（A ）01lim

(1cosh)h f h →-存在 （B ）01

lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01

lim [(2)()]h f h f h h

→-存在

03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.

(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ]

(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ]

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=

x

1

，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22

lim

1n f h h

→=,则 （ C ）

(A )()()'

000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在

(C)()()'

000f f +=且存在 (D)()()'

010f f +=且存在

07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =）

(A ) 若0()lim

x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()

lim x f x f x x

→+-存在，则f (0)=0.

(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则(0)f '存在

04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2

()(4)f x x x =-, 若对任

意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.

(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,

()(2)f x k f x =+2

(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.

(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.

200()(0)(4)

(0)lim lim 40x x f x f x x f x x

+++

→→--'===-- 00()(0)(2)(4)

(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---

→→-++'===-.

令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当1

2

k =-时, ()f x 在0x =处可导.

2.2导数的运算法则

06.2)设函数()g x 可微,1()

(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]

（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--

（D ）ln21-

03.3) 已知曲线b x a x y +-=2

3

3与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6

4a .

03.3) 设,0,

0,

0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .

04.4) 设1

ln arctan 22+-=x x

x

e e e y ，则1

1

21+-==e e dx dy x .

05.2) 设x

x y )sin 1(+=，则π

=x dy

=dx π- .

09农）设2

()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8

f π

'=

41

π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当

12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s

2.3高阶导数

06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()

(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e

（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =

+则()(0)n y =12

(1)!().33

n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()

(0)n y =2(1)!n n --

2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x y

e xy e +-=-所确定，则曲线()y

f x =在点(0,1)处

的法线方程为220x y -+=

03.2) 设函数y =f (x )由方程4

ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .

08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+

02.1)已知函数()y y x =由方程2

610y

e xy x ++-=确定，则(0)y ''= -2

09.2) 设()y y x =是方程1y

xy e x +=+确定的隐函数，则2

02|x dy dx

== -3

06.2) 设函数()y y x =由方程1y

y xe =-确定，则

x dy dx

==e

-

02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6

πθ=处的切线与法线的直角

坐标方程.

07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t

⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=

03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,

21ln 2112>⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u

所确定，求.9

22=x dx y d

【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dt

dx

4=，