换元法解双变量问题

若实数满足，则的最小值是 .,x

y (24x y ++=x y +

策略一：不换元强怼解法一：利用柯西不等式

2)y x +=-

y -=所以，则

y =

x y +=≥=

设由解法一知，设，，x y +

=2x t =()13f t t =-所以，令得

，'()13

f t =

-'()0f t =t =所以，，所以，

.min ()

f t

f ==min ()x y +=

解法一：设，则2m x n y =+=+4

mn =策略二：换元，利用基本不等式

解法二：求导，利用单调性

化被动为主动，换元法显神功

所以，2211,42m n x y m n

--==

所以，222211222742416m n nm n mn m m n x y m n mn ---+-++=+==≥=

当时取等号.m n ==

解法二：设，则.

20,0a x b y =+>=+>4ab =

所以所以,所以，同理，2a x -=244ab a ax -=416a b x =-28b a y =-

所以，7816a b x y +=+≥=

当.x y ==

解法三：设，22,2(0)x y q q q +=+=>

所以,，所以.128q x q =-14y q q =-1748q x y q +=+≥

解法四：设，

2tan ,tan ,,(0,2x y π

αβαβ==∈所以所以,(tan sec )(tan sec )4ααββ++=1sin 1sin 4cos cos αβαβ

++⋅=即，设，则，tan(tan()4244α

π

π

β++=tan(),tan(2424p q α

π

β

π

=+=+4pq =