3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
实对称矩阵特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
第三节实对称矩阵的特征值与特征向量
证明定理3： 设实对称阵 A 的互不相等的特征值为 1,2, ,s
它们的重数依次为 r1,r2, ,rs 则 r 1 r 2 rs n
由定理，特征值 特征向量为 r i 个。
A 11
1 2
11
r2 r1
1 0
1 3
10
1 0
0 1
1 0
x1 x3, x2 0.
令 x3 1 ，得基础解系
1
取
a3
0
1
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即可.
1
0 .
1
2. Schmidt正交化、单位化法。
定义5：
正交向量组：非零实向量 1,2, ,s两两正交。
A
2 1
1 1 22 10
1
2
是正交矩阵.
0
2 2
0
0
1 1 2 2
解： ∵A 的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
∴A是正交矩阵.
定义： 若 P 为正交矩阵，则线性变换 yP称x为正交变换. 设y Px为正交变换，则有： y yT y xTPTPx xT x x .
正交变换不改变线段的长度.
称为向量的长度（或模，或范数）
若 1 , 称 为单位向量。
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把向量单位化： 若 0, 则 0
考虑 ( , )12(,)1221
即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。
向量长度的性质：
（1）非负性： 当 0 时， 0 当 0时， 0
（2）齐次性： k k
正交化 : 1 ( 1 ,令 1 ,0 a) 2 T ,2 1 , ( a1 3,0 ,1 ) 2 T [1,122]1,
线性代数 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值与特征向量主要内容◼矩阵共轭的概念◼实对称矩阵的性质⚫矩阵共轭的概念定义(),ij m n A a ⨯=并称A 是A 的共轭矩阵.就是对它的每个元素取共轭. 记为对复数域上的矩阵(或向量)取共轭(1)kA k A =(2);A B A B +=+(3) ;AB AB =()(4) ;T T A A =(5);A A =()11.A A −−=(6)若A 可逆, 则(k 为复数)共轭矩阵的性质⚫实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数, 相应的特征向量可取为实向量.证明：设λ是实对称矩阵A 的任意特征值，且x 是属于λ特征向量, xAx λ=上式两边取共轭,x Ax λ=即.x x A λ=由A 是实对称矩阵，,A A =即得故因此有.x x A λ=上式两边同时转置后、再右乘x , 得T T T T x A x x Ax x xλ===即T T x x x xλλ=T T x x x xλλ==右边左边即,λλ=说明λ是实数.这样当实对称矩阵的特征值都是实数时, 齐次方程组(λE −A )x =0是实系数的方程组, 因此必有实的基础解系, 所以对应的特征向量可取为实向量.而()1212T n n x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭012≠=∑=n i ix注意若A是一般的实矩阵而非对称的，则它的特征值与特征向量完全可能是复数.定理2证,A αλα=对第一个等式两边转置并右乘β, 设A 是实对称矩阵，特征值的特征向量必正交.则属于A 的不同设λ, μ是A 的两个不同特征值,α, β是分别属于λ,μ的特征向量，则有A βμβ=T T TA αβλαβ=得由于A =A T , A β=μβ，()0T λμαβ−=由于λ≠μ，代入上式左边并移项得，故αT β=0，即α与β正交. 证毕.定理2指出，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的，是相互正交的.这为寻找实对称矩阵的正交特征向量组提供了方法. 而且。
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质
实对称矩阵的特征值和特征向量
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从 而 对 应 的 特 征 向 量 可以 取 实 向 量.
P4/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理3.10 设1, 2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若1 2, 则p1, p2正交.
二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤
1) 作 E A 0 求诸i, i = 1, 2, …, m
2) 解 (iE A)x 0 得基础解系
i1 ,i 2 ,L , r i,nri i r (i E A)
3) 正交化得 i1 ,i 2 ,L i,nri
4) 单位化得 ij
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
1
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质
本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵．
定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
P8/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
将1 = 3代入(EA) x = 0, 得基础解系 a1 = (2, 1, 0)T, a2 = (2, 0, 1)T.
将其正交化：
b1 = a1,
b2
a2
a2 b1
, ,
b1 b1
b1
2, 0,1T
4 2,1, 0T
例3.6 设三阶对称阵A的特征值1 = 0, 2 = 1(二重). 属于1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足
线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
05
实对称矩阵的应用举例
在二次型中的应用
二次型的标准型
通过实对称矩阵的正交变换，可 以将二次型化为标准型，从而简 化问题的求解。
二次型的正定性
利用实对称矩阵的特征值性质， 可以判断二次型的正定性，进而 解决优化问题。
二次曲面分类
实对称矩阵的特征值和特征向量 可用于二次曲面的分类，如椭球 面、双曲面等。
1. 求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。
3. 对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量 $alpha_{i1}, alpha_{i2}, ldots, alpha_{ik}$，其中$k$是 $lambda_i$的重数。
5. 计算$P^{-1}AP = Lambda$，其中$Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
线性代数3.3实对称 矩阵的特征值和特征
向量
目录
• 引言 • 实对称矩阵的应用举例 • 总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个学科领域。实对称矩阵作为一 类特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。特征值和特征向量是矩阵理论中的 核心概念，对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
迭代法
通过构造迭代序列来逼近特 征值和特征向量，如幂法、 反幂法等。
特征值与矩阵性质的关系
特征值与矩阵的行列式
矩阵的所有特征值的乘积等于其行列式 的值。
特征值与矩阵的秩
如果矩阵至少有一个非零特征值，则 其秩大于等于1；如果矩阵所有特征
值都为零，则其秩为零。
特征值与矩阵的迹
实对称矩阵得特征子和特征向量
补充例题： 1) A, B为n阶矩阵，且 A 0，证明 AB ∽ BA。
4 5 100 2)设A 2 3 , 求A .
3) A33有特征值 1,2,3; B A 3 A I , 则
3
B能否与对角矩阵相似？ 如能，给出 相似的对角矩阵。
§4.3 实对称矩阵得特征值和特征向 量
3 (2,1,1) 正交化。
T
（三）正交矩阵 定义4.9 设n阶实矩阵，满足 QTQ=I 则称Q为正交矩阵。
正交矩阵存在性：
如 cos I是正交阵， sin sin 也是正交阵。 cos
正交矩阵的性质：
1）若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1。
即
如果一个分块对角矩阵 的所有子块都是约当块 ， J1 J2 即J J s 其中J1 , , J s都是约当块，则称 J为约当形矩阵， 或称约当标准形。
定理4.7 任意一个n阶矩阵A，都存在n阶 可逆矩阵T，使得T 1 AT J。即任意一个 n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。
（二）阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理4.5 n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似 矩阵A有n个线性无关的特征向量 。其中 1 ＝ . n
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值 1， ，n ; 1 则A与对角矩阵＝ 相似。 n
向量组，且与α 1， α 2，…，αs可以相互线 性表示。
例.将线性无关的向量组 1＝（ 1， 1， 1， 1 ）,
T
2 (1,2,2,1) , 3 (2,3,1,6) 正交化。
T T
练习 . 将线性无关的向量组
1＝（ 1， 1， 1 ）, 2 (1,1,1) ,
对称矩阵的特征值和特征向量二-新
17
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对 2E A X 0的系数矩阵2E A施行初等行变换, 化为行最简形矩阵
2 E A 0 1 0 1 0 0
2 2 0
2 3 2
0 1 2 0 0 4
1 1 2
0 2 4
3.求正交矩阵P , 使得P 1 AP为对角矩阵
13
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例1 利用正交矩阵将对称矩阵A 对角化
2 2 0 A 2 1 2 0 2 0
解: 第一步,求矩阵A的特征值
2
E A
2 0
2 0 1 2 2
14
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2
12
跳转到第一页
三、 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化， 其具体步骤为：
1.求A的全部特征值1 , 2 , , n
2.由 i E A x 0(i 1, 2 , n), 求出A 的属于i的极大线性无关特征向量组, 并将极大线性无关特征向量组中的特征向量 正交化、单位化.
*证 对实对称矩阵的阶数,采用数学归纳法证明. 当k =1,A为1阶实对称矩阵,A a , 有E 1 , 使得E 1 AE =E T AE = 1 , 其中1 a .定理成立. 假设k =n-1定理成立.
7
当k =n, 设A为n阶实对称矩阵, 第一步 构建一个正交矩阵M , 设1是属于A的特征值1的一个单位特征向量, 使用施密特方法选n-1个非零向量 2 , , n , 使得1 , 2 , , n , 为正交单位向量组, 以1 , 2 , , n , 为列向量构建一个正交矩阵M , M (1 , 2 , , n )
实对称矩阵特征值和特征向量
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .
其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .
P13-2
第三章
3.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称 ( , ) T
s1
( s (2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
例1 求与向量组
1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T
等价的一个正交单位向量组.P13-6第三章Fra bibliotek例2 已知
1 1, 1, 1T , 2 1, 1, 3T
求 3 使之与1 , 2 都正交.
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3 , 1 ) (1, 1)
1
s
s
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
s1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
则 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 且
{ 1 , 2 , … , s } { 1 , 2 , … , s }
Q-1AQ 成为对角矩阵.
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量(简)
1 1 Q AQ n
2
实对称矩阵的特征值的性质 一、 定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数. 则 说明： 若A是实数域上的 对称矩阵，
a 11
E A
a 21 a n1
n
a 12
a1n a2n
| A | | E A |
） 移项得： （| A | 1 | E A | 0 即 2 | E A | 0 | E A | 0
例 4 . 设矩阵 A 与 B 相似 , 1 其中 A 2 3 1 4 3 1 2 2 , B 0 a 0 0 2 0 0 0 , b
T
1 ( T ) T 1 T A T A T ( A ) T
( 2 ) 2( T )
( 1 2 )( T ) 0 1 2
0
T
即
定理3.14 设A是n阶实对称矩阵, 则存在n阶正交
a 22
an2
n2
a nn
nm
( 1 ) 1 ( 2 )
...( m )
1 , 2 , ..., m 都是实数.
定理3.13 实对称矩阵的 对应于不同特征值的 特征向量 是相互正交的. A是实对称矩阵, A的两个特征值 1 , 2 1 2 则 A 1 A 2 证
1 1 1 1
1, 2 ,
1
两两正交.再将它们单位化.
1
2 1 1 1 2 2 2 1 0
6 1 2 2 1 6 32 2 3 2 6
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
0 2 3
1
2
0
解
E A 2
0
2
2
2
( 1)( 2 )( 5 )
特征值:
3 1 1, 2 2 , 3 5
0
特征向量分别为:
1 , 2 , 3 不同， 1 , 2 , 3 两两正交， 现把它们单位化. 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 3 32 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3 则 1 , 2 , 3 是单位正交向量组 . 2 x3
1 1 1 , 3 0 0 1
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
x1 x 2 x 3
解得其基础解系为
1 1 0 1 0 1
3
解 设特征值 3 对应的特征向量为
则 x 必与 1 正交， 即 x 1 0 .
T
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
1 1 1 , 3 0 0 1
x1 x x2 x3
令 3） Q ( 1 , 2 , , n ）， 则正交矩阵
Q
1
Q 使得
AQ Λ
例3 求一个三阶实对称矩阵A, 它的特征值为6,3,3,
且对应于6的一个特征向量为1 (1,1,1) .
T
析
实对称矩阵一定可以对角化， 6
则存在可逆矩阵 P， 有 P
三阶实对称矩阵特征值
三阶实对称矩阵特征值三阶实对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，在很多领域都有着广泛的应用。
而其特征值作为重要的数学量，在数学和物理等领域中也有着重要的作用。
下面我将详细介绍三阶实对称矩阵特征值的相关知识。
一、三阶实对称矩阵的定义首先我们需要了解什么是三阶实对称矩阵。
三阶实对称矩阵是一个3*3的矩阵，其中的元素满足对称性，即Aij=Aji。
同时，这个矩阵中的所有元素都是实数。
三阶实对称矩阵可以表示为：A=[a11 a12 a13][a12 a22 a23][a13 a23 a33]二、三阶实对称矩阵的特征值和特征向量接下来我们来了解三阶实对称矩阵的特征值和特征向量。
在数学上，我们可以通过方程Ax=λx来计算矩阵A的特征值和特征向量。
其中，λ为特征值，x为特征向量，A为原始矩阵。
需要注意的是，特征向量是一个非零向量，在方程中的系数是任意的。
而特征值是一个标量，不涉及到任何向量。
三、三阶实对称矩阵特征值的求解三阶实对称矩阵特征值的求解是线性代数中的一个重要问题。
我们可以通过解出特征多项式来计算矩阵的特征值。
具体步骤如下：(1) 解出特征多项式先利用矩阵的行列式来求出特征多项式，即det(λI-A)=0，其中I是3阶单位矩阵，A是原始矩阵。
(2) 求出特征值将特征多项式展开，得到一个三次方程。
解出这个方程，即可得到3个特征值λ1、λ2、λ3。
(3) 求出特征向量把每个特征值代入原方程进行求解，即可得到对应的特征向量。
注意，对于重复特征值，可能对应多组特征向量。
四、三阶实对称矩阵特征值的应用三阶实对称矩阵特征值在很多领域都有着广泛的应用。
下面我们介绍其中一些：(1) 物理学三阶实对称矩阵特征值在物理学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来表示物体的惯性张量，可以帮助我们计算物体的动量、角动量等物理量。
(2) 计算机科学在计算机科学中，三阶实对称矩阵特征值可以用来进行数据降维，从而在大规模数据处理中提高效率。
(3) 金融风控在金融风控中，三阶实对称矩阵特征值可以用来进行数据分析和风险评估。
线性代数(第二版)第三节实对称矩阵的特征值和特征向量
二、实对称矩阵对角化方法
根据定理 4.14 ，任一实对称矩阵 A 都可以对角
化. 因此，对 A 的任一 ni 重特征值 i，齐次方程组
( iE – A )X = 0 的基础解系中必含有 ni 个线性无关
的向量，它们都是 A 的属于 i 的特征值(
定 定 理 理 44 ..11 00
定 定 理 理 44 ..11 00
+ – –
A … A ) ) + 的 的 r s 秩 秩 =
等 等 n ,于 于知n n这 – –
样的 n n ii ..
特
征
向
量
共
可
得
n 个.
矩 矩
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 2 2
实 实 对 对 称 称 矩 矩 阵 阵 的 的 特 特 征 征 值 值 都 都 是 是 实 实 数 数 ..
由 阵 阵 r 1 ( ( + ii rE E 2
+ – –
A … A ) ) + 的 的 r s 秩 秩 =
等 等 n ,于 于 知
这样的 n n – – n n ii ..
特
征
向
量
共
可
得
n 个.
矩 矩
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 2 2
实 实 对 对 称 称 矩 矩 阵 阵 的 的 特 特 征 征 值 值 都 都 是 是 实 实 数 数 ..
证 证 法 法 二 二 利 利 用 用 性 性 质 质
设
A 的互不相等的特征值为
1 , … ,
s,
它们的重数依次为
r1 , …
根据
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 0 0 及 及 定 定 理 理
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Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
解之得其基础解系为
1
1
2 1 ,3 0
0
1
取 2 , 3 为特征值 3 对应的两个线性无关的特征向
1
2
5
例3 求一个三阶实对称矩阵 A，它的特征值 为 6 , 3 , 3 , 且特征值 6 对应的一个特征值向量为
1= (1, 1, 1)T .
方法评注 由于实对称矩阵一定可以对角化，
所以一定存在可逆矩阵 P ，使 P-1AP = diag(6, 3, 3), 则 A=P diag(6, 3, 3) P-1. 因此这里关键是求 P . P 不一定非要是正交矩阵，只要是可逆矩阵即可. 故本例只求一般的可逆矩阵，以简化计算.
( 1 )n1 ( 2 )n2 ...( m )nm
1,2 ,...,m 都是实数.
定理 实对称矩阵的 对应于不同特征值的 特征向量 是相互正交的.
定理 设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正 矩阵Q,使得 Q1AQ 是对角矩阵. 交
定理4.14′ 设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正 矩阵Q, 使得 QT AQ 是对角矩阵. 交
对 3 5 , 解得 (5E A)X O 的基础解系为 3 1
单位化得
3 (
1, 3
1, 3
1 )T 3
1
令
Q
1
2 1
1 6
1
2
6
0
2 6
1
3 1
,
则
Q
为正交阵
,
3
1
1
3
且
Q1 AQ
1
第三节 实对称矩阵的 特征值和特征向量
实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件即: n 阶矩阵 A 能对角化的充要条件 是 A 有n 个线性无关的特征向量.
仅讨论当 A 为实对称矩阵的情形.
实数域上的 对称矩阵称为实对称矩阵.
2 8 0 3
如
n1
n2
nm
矩阵 的主对角线元素 i 的重数为 ni ( i = 1,
2, … , m )，并且排列顺序与 Q 中正交单位向
量组的排列顺序相对应.
例. 对下列矩阵 A, 求正交矩阵Q , 使得 Q1AQ 为对角矩阵 .
1 2 2 (1) A 2 1 2
2 2 1
1 2 2 解 : I A 2 1 2 ( 5)( 1)2
二、实对称矩阵对角化方法
Step1 求出特征方程 det( E – A ) = 0 的所有不 同的根 1 , 2 , … , m , 其中 i 为 A 的 ni 重特征值
( i = 1, 2, … , m ) .
Step2 对每一特征值 i ，解齐次线性方程组 ( i E – A )X = 0，求得它的一个基础解系
2 2 1
由 E A 0 得 A的所有特征值为 1 2 1 , 3 5
对 1 2 1 ,
1
1
解得
(E
A) X
O
的基础解系为
1
1
,
2
0
1
0
1
先正交化得
1
1
对 1 1 , 解得 (E A)X O 的基础解系为 1 (2,2,1)T
单位化得
1
1 1
( 2 , 2 , 1 )T 33 3
对2 2 , 解得 (2E A)X O 的基础解系为2 (2,1,2)T
单位化得
2
2 2
( 2 , 1 , 2 )T 33 3
5
1 2 0
(2) A 2 2 2 0 2 3
1 2 0 解 : E A 2 2 2 ( 1)( 2)( 5)
0 2 3
由 E A 0 得 A的所有特征值为 1 1 , 2 2 , 3 5
Step4 Q为依次以A的n个单位 正交特征向量为列向量组的矩阵。
即: 令矩阵
Q ( 11 , 12 , , 1n1 , 21 , 22 , , 2n2 ,
则
Q
,
为正交矩阵，且
m1
,
m2
,
,
mnm
)
Q1AQ Λ
diag(1, , 1 , 2, , 2 , , m, , m )
例. 如果实对称矩阵 A 的特征值为1 或 1, 证明 A 为正交矩阵.
量，并令
1 1 1
P (1 , 2 , 3) 1 1 0
1 0 1
6 0 0
则
P
1
A
P
0
3
0
0 0 3
6 0 0 4 1 1
因而
A P0
3
0
P
1
1
4
1
0 0 3
1 1 4
对3 5 , 解得 (5E A)X O 的基础解系为3 (1,2,2)T
单位化得
3
3 3
( 1 , 2 , 2 )T 3 33
2/ 3 2/ 3 1/ 3
令 Q 2 / 3 1/ 3
1/ 3 2/3
2 / 3 2 / 3
,
则 Q 正交, 且 Q1 AQ