2018春北师大版八年级下册数学第一章1等腰三角形第二课时
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北师大版八年级下册数学1.1.2等腰三角形(教案)
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-通过典型例题，让学生掌握判定等腰三角形的条件，如两边相等的三角形是等腰三角形。
-通过计算具体等腰三角形的面积，让学生掌握利用底和高计算面积的公式。
2.教学难点
-理解等腰三角形性质的应用，如证明底角相等、中线、高和角平分线重合。
-在复杂图形中识别等腰三角形，并运用判定方法。
-在实际问题中，灵活运用等腰三角形的面积计算方法。
举例解释：
-在讲解性质应用时，通过具体例子和图形，引导学生如何利用等腰三角形的性质进行证明，如通过画高线、中线等辅助线来证明底角相等。
-在识别等腰三角形时，教师需要提供一些具有挑战性的图形，让学生在复杂图形中找出等腰三角形，并解释判定过程。
-在解决实际问题时，教师应设计一些与生活相关的情境，如计算等腰三角形形状的花园面积，让学生将面积计算方法应用于实际问题中。
4.等腰三角形的面积计算：利用底和高的关系计算等腰三角形的面积。
二、核心素养目标
1.让学生通过探索等腰三角形的性质，培养几何直观和空间想象能力，提高数学抽象素养。
2.培养学生运用等腰三角形的判定定理解决实际问题的能力，增强逻辑推理和数学建模素养。
3.通过对等腰三角形面积计算的学习，提高学生的数学运算能力，培养数据分析素养。
（三）实践活动（用时10分钟）
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-通过典型例题，让学生掌握判定等腰三角形的条件，如两边相等的三角形是等腰三角形。
-通过计算具体等腰三角形的面积，让学生掌握利用底和高计算面积的公式。
2.教学难点
-理解等腰三角形性质的应用，如证明底角相等、中线、高和角平分线重合。
-在复杂图形中识别等腰三角形，并运用判定方法。
-在实际问题中，灵活运用等腰三角形的面积计算方法。
举例解释：
-在讲解性质应用时，通过具体例子和图形，引导学生如何利用等腰三角形的性质进行证明，如通过画高线、中线等辅助线来证明底角相等。
-在识别等腰三角形时，教师需要提供一些具有挑战性的图形，让学生在复杂图形中找出等腰三角形，并解释判定过程。
-在解决实际问题时，教师应设计一些与生活相关的情境，如计算等腰三角形形状的花园面积，让学生将面积计算方法应用于实际问题中。
4.等腰三角形的面积计算：利用底和高的关系计算等腰三角形的面积。
二、核心素养目标
1.让学生通过探索等腰三角形的性质，培养几何直观和空间想象能力，提高数学抽象素养。
2.培养学生运用等腰三角形的判定定理解决实际问题的能力，增强逻辑推理和数学建模素养。
3.通过对等腰三角形面积计算的学习，提高学生的数学运算能力，培养数据分析素养。
（三）实践活动（用时10分钟）
北师大版八年级下册数学1.1等腰三角形课件(共17张PPT)
D
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形2》公开课课件
Ø如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这 两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约 同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
Ø在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么 它们所对的边有什么关系？
O
A
B
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC。
求证：AB=AC
E
分析：
A1
从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C， 2
D
从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC
可以找出∠B，∠C与的关系。
B
C
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，
同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行， E
内错角相等）。A 1
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
的绳长,自己试一试!
Ø在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么 它们所对的边有什么关系？
O
A
B
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC。
求证：AB=AC
E
分析：
A1
从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C， 2
D
从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC
可以找出∠B，∠C与的关系。
B
C
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，
同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行， E
内错角相等）。A 1
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
的绳长,自己试一试!
(北师版)八年级数学下册课件：1.1 等腰三角形 第2课时
等边三角形性质定理
1.等边三角形的内角都相等，且等
2.等于边6三0角°形各边上中线，高线和所对角的
平分线都三线合一
C
F
E
A
D
BB
讲授新课
3.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的平分
线互相重合.
A
56
D
3 1
B
O
78
9 10
F
E
4 2
C
讲授新课
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
A
方法一：三角形的三边相等；
根据“等边对等角”可得：
A
A B C
而 A B C 180
所以 A B C
180 60
B
C
3
讲授新课
1. 在△ ABC中，若AB=BC=CA， A
则 ∠A=__6_0_°__
∠B=__6_0_°__
∠C=__6_0_°__
B
C
2.推论
等边三角形的各角都相等，并且每 一个角都等于60 °.
A
R●
B
●
P
Q ● C
课后小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
等腰三角形
等边三角形性质定理 等边三角形的判定方法
③∴∴△过∠A边ADDAAEE是B=上∠等A一边=三点∠角ADE形作D.DAE∥BC，交边ACA于E点.
D
E
D 60° E
D
E
B ①
CB
②
CB
③
C
课堂练习
例2、已知：如图，P、Q是△ABC的边BC 上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ， 求∠BAC的大小．
课堂练习
北师版八年级数学下册1.1. 等腰三角形(第2课时) 课件(共24张ppt)
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
A
A ∠A=∠B=∠AC=60°．
F E
B
CB
CB
C
D
D
探究新新知知探究
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
探究新新知知探究
已知：在△ABC中，AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60°．
同理可证， 等腰三角形两腰上的中线相等， 两腰上的高相等.
探究新新知知探究
议一议 如图，在△ABC中，AB=AC，
点D，E分别在边AC和AB上.
A
（1）如果∠ABD= 1 ∠ ABC ，
∠ACE= 1∠ACB,那3么BD=CE吗？如果
E
D
3
∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB B
C
4
呢？由此能得到一个什么结论？
A
E
D
B
C
探究新新知知探究
解：（2）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= 1 AC，AE= 1
2
2
AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
A
E B
D C
探究新新知知探究
那么 BD=CE.
n
n
在△ABC中，AB=AC，AD= 1AC，AE= 1AB,那么 BD=CE.
n
n
3．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
再见
北师版八年级数学下册
第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第 2 课时
北师大版数学八年级下册《等腰三角形》课件
∴∠PBC=∠MPB=∠PCB=∠NPC（等量代换）
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
【北师大版】数学八年级下册：1.1《等腰三角形》ppt课件(2)
课堂小结
等边三角形的性质: 名 称 等 边 三 角 形 图 形 性 三条边都相等 质
A
B
三个角都相等，且都为 60° C 三线合一
轴对称图形，有三条对称轴
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
第2课时 等边三角形的性质
北师大版 八年级下册
复习旧知
名 称 等 腰 三 角 形 图 形
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
E D
探究新知
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就 是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。 等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每 个内角都等于60°. 已知：在△ABC中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角)． 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A=∠B=∠C＝60°
【归纳结论】
等边三角形三个内角都相等并且每个内 角都等于60°.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?为 什么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和 所对角的平分线都三线合一。
等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形课件(共23张)
导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.
解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中 线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证 明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已 知 ： 如 图 ,在 △ ABC中 ， AB=AC, BD和 CE是 △ABC的角平分线. 求证：BD = CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都 等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来 进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解 决．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.
解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中 线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证 明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已 知 ： 如 图 ,在 △ ABC中 ， AB=AC, BD和 CE是 △ABC的角平分线. 求证：BD = CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都 等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来 进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解 决．
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
北师大版八年级数学下册课件 1.1.2等腰三角形课件(新版)北师大版(共17张PPT)
A
D C
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中 比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还 有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什 么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想, 做一做
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= ∠1ACB，那么BD=CE
证法2：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在等腰三角形中作出一些线段(如 角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗?你能证明你的结 论吗?
探究相等线段
（一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等”
证法1：已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分 线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD 和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定 E
义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．B ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
北师大版八年级数学下册第一章《 等腰三角形》优课件
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
B
∴BC= 1 AB.(在直角三角形中,
300角所对2 的直角边等于斜边的一 半).
A
300
C
推论： BC : AC : AB 1: 3 : 2
驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
学无止境
例1 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.
三角形,认识我吗
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
′
A
B
PHQ C
胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全 过程吗?
驶向胜利 的彼岸
•2.三个内角都等于60 °的三角形是 等边三角形.
•3.有一个内角等于60 °的等腰三角 形是等边三角形.
数学教师网收集整
11
理
我能行 3
命题的猜想
w1 操作:用两个含有300角的三角尺，
300
你能拼成一个怎样的三角形？
300
300 300
300
300
w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
1.1 等腰三角形（4）
等腰三角形的性质: 知识要点:
定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高线互相重合
(三线合一)
结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°
结论2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等 于顶角的一半.
北师大版八年级数学下册第一章第1节等腰三角形课件
北师大版数学八年级下册
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
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后作业
3. 如图1-1-23，将等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
A. 120° B. 180° C. 200°
（ D
D. 240°
）
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 （ B ）
A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角是60°的三角形是等边三角形
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理 典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= （ C ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
×2× 3 = 3
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE. 在△BAD和△ACE中， ∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
课堂讲练
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° ）
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3. （1）求证：DE=EF=DF； （2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证：
（1）△BMC≌△ANB；
（2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM. ∵在△BMC和△ANB中， ∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC.
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积. 解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3 ， BC=1.
则S△ABC=
BC· AD=
课后作业
能力提升 7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形， 点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD 交于点F，连接FG，则下列结论： ①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG. 其中正确结论的个数为 （ D ）
A. 1个
C. 3个
B. 2个
D. 4个
课后作业
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC， 连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数. 解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°. 在△MBD和△ECD中， ∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
相等 1. 等边三角形的三个内角都__________ ，并且每个角都 60° 等于__________. 6 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为__________. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（ A ）
课后作业
夯实基础
新知
等边三角形的性质定理
（ C ）
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的 平分线长等于
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P， 则∠APE的度数是 A. 45° C. 60° B. 55° D. 75° （ C ）