第十五章 波与粒子

第十五章 波与粒子

15-1 在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为0.352m μ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。

解 根据维恩位移律：m T b λ= 可以计算这颗白矮星的表面温度，为：3

8.2310m

b

T k λ=

=⨯

15-2 三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为0.300m μ、

0.400m μ和0.500m μ，试求它们的温度以及它们在单位时间内向空间辐射的能量之比。

解 根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为：

3

11

9.6610m b

T k λ=

=⨯，3

22

7.2510m b

T k λ=

=⨯，3

33

5.8010m b

T k λ=

=⨯.

根据斯特藩-玻耳兹曼定律：()4

0M T T σ=和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度0M 。辐出

度是表示该黑体在单位时间内从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间内向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即：

444

123010203123::::::8.71:2.76:1.13E E E M M M T T T ===

15-3 试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。

解：黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示：()2

05

211

hc

kT

hc

M T e

λλπλ

=

- (1)

（1）在短波近似情况下，有：hc kT

λ<<

, 所以：1hc

kT

e

λ>>

这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式：()2

05

2hc

kT

hc

M T e

λλπλ

-=

（2）

令：2

12c hc π=、2hc

c k

=，并代入上式，得：()2

1

05

c T

c M T e

λλλ

-=

这正是维恩公式。

（2）在长波近似情况下，有：hc kT

λ>>，所以：1hc

kT

hc

e

kT

λλ≈+

于是，普朗克公式称为下面的形式：()2

054

22hc kT ckT

M T hc λπλπλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭

这正是瑞利-金斯公式。 15-4什么是光电效应？光电效应有哪些重要规律？在解释这些规律时经典理论遇到什么困难？在这些困难中，你认为最突出的是什么？

答：金属中的自由电子在光的照射下，吸收光能而逸出金属表面，这种现象称为光电效应。

光电效应有下列四条重要规律：（1）单位时间内逸出金属表面的光电子数与入射光强成正比。（2）光电子的初动能随入射光的频率上升而线性增大，与入射光强无关。（3）如果入射光的频率低于该金属的红限，则无论入射光强多大，都不会使这种金属产生光电效应。（4）只要入射光的频率大于该金属的红限，当光照射到这种金属的表面时，几乎立即产生光电子，而无论光强多小。

从波动论看，作为电磁波的光波投射到金属表面上，引起金属中自由电子的受迫振动，当自由电子从入射光波中吸收到足够的能量后，就可以克服金属表面的约束而逸出，成为光电子，用这个观点解释光电效应的实验规律，所遇到的主要困难有以下几点。(1)光电子初动能问题：从上述观点看，光电子初动能应正比于入射光的强度，光强度又正比于光波振幅的平方，所以光电子的初动能应正比于入射光的振幅的平方。而实际上光电子的初动能正比于入射光的频率ν，与入射光的强度无关，与人射光的振幅无关。 (2)光电效应的红限问题：按照波动论，光强度正比于光波振幅的平方，如果入射光的频率较低，总可以用增大振幅的方法，使入射光达到足够的强度，使自由电子获得足够的能量而逸出金属表面。所以，按波动论的观点，光电效应不应该存在红限0ν。而实际上每一种金属都存在确定的红限值，当入射光的频率低于该金属的红限时，无论光强多大，都无电子逸出。(3)发生光电效应的时间问题：根据波动论的解释，

自由电子从入射光波中获得能量需要一个积累的过程，特别是当入射光强度较弱时，更需要较长的时间积累能量。而实际上光电子出现的时间均小于910-s ，且与人射光的强弱无关。

其中最突出的问题是：光电效应的红限问题和发生光电效应的时间问题。

15-5 试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量：(1)波长为31.210nm ⨯的红外线；(2)波长为

2

6.210nm ⨯的可见光；(3)波长为2

0.3410nm ⨯的紫外线；(4)波长为2

1.610nm -⨯的X 射线；(5)波长为31.110nm -⨯的γ射线。

解：(1)对于波长为31.210nm ⨯的红外线，能量为：19

1.710

hc

h J ενλ

-==

=⨯；

动量为：28

1

5.510

p kg m s

c

ε

--==⨯⋅⋅；质量为：36

1.810

p m kg c

-=

=⨯.

(2)对于波长为26.210nm ⨯的可见光，能量为: 19

3.210

hc

h J ενλ

-==

=⨯

动量为：27

1

1.110

p kg m s

c

ε

--=

=⨯⋅⋅；质量为：36

3.610

p m kg c

-=

=⨯

(3)对于波长为20.3410nm ⨯的紫外线，能量为：18

5.810

hc

h J ενλ

-==

=⨯；

动量为：25

1

1.910

p kg m s

c

ε

--==⨯⋅⋅；质量为：34

1.510

p m kg c

-=

=⨯

(4)对于波长为2

1.610nm -⨯的X 射线，能量为：14

1.210

hc

h J ενλ

-==

=⨯；

动量为：23

1

4.110

p kg m s

c

ε

--=

=⨯⋅⋅；质量为：31

1.410

p m kg c

-=

=⨯

(5)对于波长为3

1.110nm -⨯的γ射线，能量为：13

1.810

hc

h J ενλ

-==

=⨯；

动量为：22

1

6.010

p kg m s

c

ε

--=

=⨯⋅⋅；质量为：30

2.010

p m kg c

-=

=⨯