2.1波函数的统计解释

2
(1)
上式由波函数的统计解释得到，C是比例常数。以 d 体积元去除几率的dW，可得到在时刻 t，在点(x, y, z) 附近单位体积内出现该粒子的几率，即几率密度 2 ( x, y, z, t ) dW ( x, y, z, t ) / d C ( x, y, z, t ) (2)
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x2
e x ( x)= 0
2
×
所求得的波函数的归一化因子
在整个空间内的积分式(3)可改写成 2 ( x, y, x, t ) d 1 (7)

满足(7)式的波函数称为归一化波函数，(7)式称归一 化条件，把Φ 换成ψ的过程称为归一化， C 称归一化 常数。另外应注意两点：①归一化的波函数仍有一个 模为1的因子(
e )不能确定，即相位的不确定性。②
ia
并不是波函数都可以按照(4)式进行归一化。例如(4)
式的分母发散，则归一化常数为零，显然没有意义。 2 C 1 ( x, y, x, t ) d (4)

六、统计解释对波函数的要求
1. 单值性：一般情况下，对于特定的状态，微观 粒子不可能在一点出现几个概率值，因此|ψ(r)|2 必须 为单值函数。 2. 有限性：根据统计解释，要求|ψ(r)|2取值有限
四、波函数的统计解释 波函数的解释很多，为人们所普遍接受的是波 恩的统计解释。下面我们用光波与物质波对比的方法
来阐明波函数的物理意义。
从波动的观点分析 图样条纹 图样中亮条纹 波的强度 对应强度大 波的振幅 波的振幅平方值大
图样中暗条纹 这三者之间有什么关 波的振幅平方值小 对应强度小 系呢？ 波的强度是与波的振幅的平方成正比的
总之，在一般情况下，作为可接受的波函数，从
物理上讲，要求其满足：单值、有限、连续。
以一维波函数为例，在下述几种函数中，有些是 不符合标准的。
符合
不符合
不符合
不符合
随堂小议
请找出下列中合理的波函数
(1)
( 2)
(3)
( 4)
( x)= sin x
( x)= e
( x)= e
x
∨ ∨ ∨
x0 x0
点的相对强度，而不取决于波函数的强度的绝对大小。
如果把波函数乘以一个常数C，波函数在空间各点强 度将同时增大C2倍，但空间各点的相对强度没有变化， 因而各点的概率没有变化，所描写的状态也就没有改 变，即波函数有一个常数因子不确定性。对于经典得
波(如声波、光波等)，如果振幅增大，其强度将增加
平方倍，这就完全是另一个状态。这一点与概率波是 完全不同的。
第二章 波函数和薛定谔方程
在本章中，我们将以实验所揭示出
的微观粒子的波粒二重性为依据，引入描 述微观粒子状态的波函数，讨论波函数的 性质，建立非相对论下量子力学的基本方 程--薛定谔方程，并把它应用到几个比较
简单的力学体系中去，求出其解和阐明其
物理意义。
§2.1 波函数的统计解释
前面我们看到，为了表示微观粒子的波粒二象
性，可以用平面波来描写自由粒子，平面波的频率和
波长与自由粒子的能量和动量由德布罗意关系联系起 来，平面波得频率和波矢都是不随时间或位置改变的， 这和自由粒子的能量和动量不随时间或位置改变相对 应。如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，
它的动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面
波来描写，而必须用较复杂的波来描写，在一般情况 下，我们用一个函数表示描写粒子的波，并称这个函 数为波函数，它是一个复数。那么，究竟怎样理解波 和它所描写的粒子之间的关系呢？
五、波恩统计解释的数学表达。
设波函数ψ(x, y, z, t)描写的粒子状态，在空间一 点(x, y, z)和时刻 t，波的强度是：
*
2
Φ *表示Φ 的共轭复数
那么在时刻t、在x→x+dx，y→y+dy, z→z+dz的体积元 d dxdydz 内出现该粒子的几率为 。
dW ( x, y, x, t ) C ( x, y, x, t ) d
将(1)式对整个空间积分，得粒子在整个空间出现
的几率，由于粒子存在空间中，这个几率应等于1。
C ( x, y, x, t ) d 1 (3)
2
式中积分号下的无穷大表示对整个空间积分。由(3)得
C 1


( x, y, x, t ) d
2
(4)
前面曾提到，波函数乘以一个常数后，并不改变在空 间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状 态，现把(4)式所确定的C开方后乘Φ ，并以ψ表示：
从微粒的观点分析 图样条纹
图样中亮条纹 图样中暗条纹
粒子数目
单位时间内到达该处的粒子数目多 单位时间内到达该处的粒子数目少
从统计的观点分析 图样条纹
图样中亮条纹 图样中暗条纹
粒子出现的概率
粒子到达该处的概率大 粒子到达该处的概率小
从波动的观点分析 图样中亮条纹 图样中暗条纹 波的振幅平方值大 波的振幅平方值小 从微粒的观点分析 图样中亮条纹 图样中暗条纹 单位时间内到达该处的粒子数目多 单位时间内到达该处的粒子数目少 从统计的观点分析
看法正确吗？下面我们看看电子的双缝干涉实验。
1. 屏上每次接收到的是一个电子，即电子确是以 一个整体出现。 2. 电子数的强度为P1、P2，但P1+P2<>P12。
3. 电子枪发射电子流强度，任何时刻空间至多一 个电子，实验发现，开始时底片上的感光点是无规则
的，但足够长的时间后，底片上同样出现干涉图样。
二、经典物理学中粒子与波的有关概念 经典概念中粒子意味着
1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2. 有确定的运动轨道，在每一时刻有一定位置和 速度。 经典概念中波意味着 1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化。
2. 干涉、衍射现象，即相干叠加性。
三、波与它所描写的粒子之间的关系
对于这个问题曾经有过各种不同的看法，例如有 人认为波是由它所描写的粒子相互作用形成的，这种
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
波函数ψ和Φ 描写统一状态，所以(1)、 (2)式可写为
dW ( x, y, x, t ) ( x, y, x, t ) d
2
(5)
( x , y , z , t ) ( x, y , z , t )
2
(6)
波的振幅平方值大 粒子到达该处的概率大 波的振幅平方值小 粒子到达该处的概率小
可以推出
波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)与在
该点找到粒子的概率成比例。这就是波恩的统计解释
在理解波函数的统计解释时，需要注意的是： 对于概率分布来说，重要的是相对概率分布，因 而粒子在空间各点出现的概率只取决波函数在空间各
图样中亮条纹 图样中暗条纹
粒子到达该处的概率大 粒子到达该处的概率小
观点 波动 粒子 统计
图样中的亮条纹 波的振幅平方值大 单位时间内到达该处的粒子数目多 粒子到达该处的概率大
观点
波动 粒子 统计
图样中的暗条纹
波的振幅平方值小 单位时间内到达该处的粒子数目少 粒子到达该处的概率小
观点 波动
图样中的亮条纹 波的振幅平方值大
是必要的。但并不排除在空间某些孤立奇点处趋于无
穷大。例如，设r=r0是ψ(r)的一个奇点,τ是包围r0的有
限体积元，按统计解释只要
(r )
2
d 有限值
就是物理上可接受的。如r →0,ψ(r)~1/rs, s<3/2(三维)
3. 连续性：因概率不会在某处发生突变，故波函
数必须处处连续。
粒子 统计
单位时间内到达该处的粒子数目多 粒子到达该处的概率大
可以简化
波动 统计
波的振幅平方值大 粒子到达该处的概率大
观点 波动
图样中的暗条纹 波的振幅平方值小
粒子 统计
单位时间内到达该处的粒子数目少 粒子到达该处的概率小
可以简化
波动 统计
波的振幅平方值小 粒子到达该处的概率小
波动 统计 波动 统计
因此，我们可得到下面的结论。
a. 不能认为，波是由它所描写的粒子相互作用形
成。因为电子流减少到任何时刻空间至多一个电子时， 也形成干涉图样。 b. 不能想像，电子通过双缝时，能像经典电子 (有轨道)那样来描述， 因为P1+P2<>P12。 c. 电子(微观粒子)不能看作经典粒子，也不能
用经典波来描述，经典波是物理量在空间分布。