《微积分初步》期末复习典型例题

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电大专科微积分初步期末考试试题及答案

电大专科微积分初步期末考试试题及答案

1微积分初步考试试题1填空题答案:f(x)=x 2—1X 2 -2x -3(6)函数y =的间断点是x +1答案:x = -11(7) lim xsin —= X答案:1(8)若 llm sln4x =2,贝y k = T sin kx答案:k = 2(9)曲线f(x)=JX+1在(1,2)点的切斜率是 1 答案:12(10)曲线f(x)=e X在(0,1)点的切线方程是答案:y =x +e(1) 函数f(X 2E 的定义域是答案:函数 f(X)= ---- 1-- +』4 -x 2In(X +2)的定义域是答案: (—2,—1)5—1,2]函数 f(X +2) = X 2+4x + 7,则 f(x) = 答案:f(X)= X 2+3(4)若函数f(X)= { i ■ 3 4 [xsi n —+1,! xX c 0 在X = 0处连续,则k =X >0 答案:k =1 (5)函数 f(X-1) =X 2-2x ,则(11)已知 f(X)=X 3 +3x,贝y f'(3) =答案:(13)若 f(X)=xe 」,则 f "(0)答案:f "(X)= —2e 」+xe 」f 70) = -2(16)若f (x)的一个原函数为ln X 2,则f (x)=2答案:-(17)若 J f (x)dx =sin 2x +c ,则 f (x)答案:2cos2x答案: f(X)=3x 2 +3XIn3f '(3)=27 (1+1 n3)(12)已知 f(X)=lnx ,贝U f “(x) =(14)2函数y=3(x-1)的单调增加区间是答案: (1,畑)(15) 2函数f(x)=ax +1在区间(0, +K )内单调增加,则a 应满足答案: a >0(18) 若 fcosxdx = 答案: sin X +c(19) 2答案:-X 丄 e +c(20)f(sin x) dx=答案:sin X +c (21) 若 J f (x)dx =F(x) +c ,贝U Jf(2x-3)dx =2方程是答案:y=2jx+1(27)由定积分的几何意义知, r J a 2 -x 2dx =答案:(29)微分方程y'+3y =0的通解为答案:y=ce°x(30)微分方程(y)3 +4xy ⑷=y 7sinx 的阶数为答案:42. 单项选择题e+e x答案:1F(2x-3) +c 2(22) 若 J f (x)dx = F(X)+c ,贝U Jxf (1 — x 2)dx答案: --F(1 -X 2) +C2 (23)12L(sin x cos2x - X + x)dx答案: —3de (24)dx1答案: 0(25)0 JU 52x dx =答案: 1(26)已知曲线y = f (x)在任意点x 处切线的斜率为1',且曲线过(4,5),则该曲线的(28) 微分方程y' = y, y(0)=i 的特解为答案:xy =e22+1)dx =(1)设函数y =,则该函数是( ).A.奇函数B.偶函数C非奇非偶函数 D .既奇又偶函数2A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)答案:B(2)下列函数中为奇函数是( ). A . xsinx B . + e xC . ln(X + J 1+X 2) 2D . X +x答案:C (3)函数 x+4 + h (X + 5)的定义域为( ). A. X 答案: > -5 D B . XH -4 C . x>-5 且 XH O (4) f(x+1) =x 2-1, A. x(x +1) C .X(X-2) (x + 2)(x-1)答案:C (5)当 k时,函数 f(x)=r +2,L k,X 工0在x=0处连续.X =0B .C . 2答案:D(6)当 k时, 函数wf:1'HO ,在x=0处连续.=0 A. 0B .-1答案:B(7)函数 f(x) x 2-3x +2的间断点是(A. X = 1,x =2X =3C. X =1, X = 2, X= 3.无间断点答案:(8)若 f(X)= r cosx , 则 f(0) =).A. 2 答案:CB. 1C. -1D. -2(9)设 y =lg2x ,则 dy =( ).A 1 1 A.——dxB . ---------- d x2x xln10答案:BA . 2f(cos2x)dxf'(cos2x)sin2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdxD . - f \cos2x)sin2xd2x答案:D答案:D答案:C.f(x)在 ^x 0处连续,则一定在 x 0处可微. .f(x)在x = x 0处不连续,则一定在 x 0处不可导. .可导函数的极值点一定发生在其驻点上D.函数的极值点可能发生在不可导点上 答案:A (14) 下列函数在指定区间(亠,畑)上单调增加的是( A . sin X B答案:B(15) 下列等式成立的是((10)设y = f(x)是可微函数,则df(cos2x)=().D . -dx X⑴)若f(X)=sin X + a 3,其中a 是常数,则f "(X)=().2A . COSX + 3aB . sinx+6aC.-sinxcosx答案:C(1)函数y =(X+1)2在区间(—2,2)是( A.单调增加B .单调减少 C.先增后减D .先减后增(12)满足方程 f '(X)=0的点一定是函数 =f(x)的(A.极值点B .最值点C .驻点 D.间断点(13)下列结论中()不正确.).A. d J f (x)dx = f (x) B . J f '(x)dx = f(X)plC. f f (x)dx = f(X)dx 、答案:C(16) 以下等式成立的是(答案:D(17) Jxf7x)dx =答案:答案:.y=Cx B . y=x + C 答案:(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是( D. Jdf(X)= f(X)A. In xdx = d(-)X.sin xdx=d(cosx)C.—仮v x.3X d^-^ In 3A. xf '(X)- f(X)+cB. xf '(X)+ cC. 1X 2f (X)+c 2答案:(18) D.(x +1) f \x )+c答案:J 』A下列定积分中积分值为X _xe -e , X2 兀 3f (x +cosx)dxJIA(19)设 A. 00的是().—x•[兀(x 2+si nx)dx• -JIf(x)是连续的奇函数,则定积分a -f (x)dx =()-aB. J a f (x)dx CJ0f(x)dx 0D. 2f a f(x)dx(20) 下列无穷积分收敛的是().A. -be J 。

【精选资料】微积分期末复习题及答案

【精选资料】微积分期末复习题及答案

数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(,原点(0,0)( C ).(A ) 不是驻点 (B ) 是极大值点 (C ) 是驻点却不是极值点 (D ) 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ; B. ⎰-1121dx x(利用几何意义去判定); C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰; D. ⎰--1121dx x . 解:2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C :考察奇偶函数在对称区间上的积分D :利用几何意义:此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。

0,11222≥=+⇒-=y y x x y ,即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续,偏导数存在; B. 不连续,偏导数存在; C. 连续,偏导数不存在; D. 不连续,偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A . 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C . ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑( B ). (A )条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性不能判定解:11333cos cos ()()nn n n n n -=≤,而113()nn ∞=∑收敛,所以绝对收敛。

6 设)(x f 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则'(2)_____.F =(A) )(2f ; (B) )(22f ; (C) )(2f -; (D) 0. 解:对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤,则3Ddxdy ⎰⎰=( 21π )=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=,其中f 可微,则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰,则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解:令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=,222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =,则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分,求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂,然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题:2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处,有11,22z z x y ∂∂==-∂∂,所以1122dz dx dy =-6.若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,=1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性,三、计算题1.求极限(,)limx y →.解:(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=,f 具有二阶连续偏导数,求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析:本题考察复合函数求导,特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=,22(,)yf f xy x''=。

微积分(全册)期末复习题

微积分(全册)期末复习题

《微积分》(全册)期末复习题 黄士叶 老师一、填空题1、复合函数x y 5sin 4=可分解为______________________;2、若y=f (x )的定义域是[0,1],则)(2x f 的定义域是__________;3、=-→)13(lim 1x x ___ 4、=++→21lim1x x x ____ 5、=+∞→22342limxx x ____6、=-+-→265lim22x x x x _______;7、=++-∞→3223lim232x x x x ___8、=→x x x 5sin lim_ 9.=→xx x ωsin lim_____10、=-→xxx x sin tan lim______;11、=→xx x tan lim_____12.xx xx 21lim )(+∞→=____ 13.x x x 1)1lim -→( = ___ 14、xx x)81lim -∞→( = __;15、43)31lim +∞→+x x x( = ______; 16xx x2)21lim +∞→( = ______;17、函数2)2(1+=x y 的间断点是______;是第______类间断点;18、函数2212)(2>≤⎩⎨⎧-=x x x x x f ,当2→x 时的左极限是______;右极限是______;在2=x 处______;(填是否连续) 19、函数3313)(≥<⎩⎨⎧-=x x x xx f ,当3→x 时的左极限是______;右极限是______;极限是______;在3=x 处______;(填是否连续) 20、函数2)1(1-=x y 当______时,是无穷大量;当______时,是无穷小量;21、函数11)2(1++-=x x y 的间断点是______和______;22、函数)(x f y =在点x 处的导数)(x f '表示曲线)(x f y =在点(x ,y )处的______和______; 23、曲线x y ln =在点M (e ,1)处的切线方程是____________ ;24、若函数)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点0x 处必______,且=→)(lim 0x f x x ______;25、函数112)(3++=x x x f 在定义域内是单调______的; 26、函数6)1()(-=x x f 的凹区间为________ ;27、已知函数)(x f y =在点0x 处可导,且)(0x f 是极小值,则=')(0x f ___ ; 28、若点(1,4)是曲线23bx ax y +=的拐点,则a =_____,=b ___ ;29、已知函数F (x )和G (x )都是函数f (x )的原函数,且G (x )=2x e ,F (0)=0,则F(x )=________ ;30、已知不定积分⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰=dx x F x f )()(________ ;31、根据定积分的几何意义可知:⎰=-1021dx x ____;32、已知0)2(1⎰=+dx b x ,则b=________ ; 33、已知连续函数)(x f 是奇函数,且1)(10-=⎰dx x f ,则⎰-=01)(dx x f ________ ;34、曲线y=x 3在点A(2,8)处的切线斜率为_________; 二、选择题1、=→x x e 1lim ( )A 0; B -∞; C +∞; D 不存在。

2023年电大专科微积分初步考试复习试题与答案

2023年电大专科微积分初步考试复习试题与答案

《微积分初步》期末复习资料一、单项选择题 1. 函数1ln 4y x x =+-旳定义域为( D ) A. 0x > B. 4x ≠ C. 0x >且1x ≠ D. 0x >且4x ≠ 2. 函数()ln f x x =在点x e =处旳切线方程是( C ). A. 11y x e =+ B. 11y x e =- C. 1y x e = D. 11y x e e=-+ 3. 下列等式中对旳旳是( D )A. ()sin cos xdx d x =B. 1ln xdx d x ⎛⎫=⎪⎝⎭C. ()x x a dx d a = D.(d= 4. 下列等式成立旳是( A ) A.()()df x dx f x dx =⎰B. ()()f x dx f x '=⎰C. ()()d f x dx f x =⎰D.()()df x f x =⎰5. 下列微分方程中为可分离变量方程旳是( B ) A.dy x y dx =+ B. dy xy y dx =+ C. sin dy xy x dx =+ D. ()dy x y x dx=+ 6. 下列函数为奇函数旳是( D )A. sin x xB. ln xC. 2x x + D. (ln x +7. 当k =( C )时,函数()1,0, 0x e x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0x =处持续.A. 0B. 1C. 2D. 1e + 8. 函数21y x =+在区间()2,2-是( B )A. 单调下降B. 先单调下降再单调上升C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升9. 在切线斜率为2x 旳积分曲线族中,通过点()1,4旳曲线为(A ) A. 23y x =+ B. 24y x =+ C. 22y x =+ D. 21y x =+ 10. 微分方程y y '=,()01y =旳特解为( C ) A. 20.5y x = B. xy e -= C. xy e = D. 1xy e =+ 11. 设函数sin y x x =,则该函数是( B )A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既奇又偶函数12. 当k =( A )时,函数()21,0, 0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0x =处持续.A. 1B. 2C. 1-D. 013. 满足方程()0f x '=旳点一定是函数()f x 旳( C ) A. 极值点 B. 最值点 C. 驻点 D. 间断点 14. 设()f x 是持续旳奇函数,则定积分()aaf x dx -=⎰( D )A. ()02af x dx -⎰B.()0af x dx -⎰C.()0af x dx ⎰ D. 015. 微分方程1y y '=+旳通解是( B ) A. 1Cx y e-= B. 1xy Ce =- C. y x C =+ D. 212y x C =+ 16. 设()211f x x +=-,则()f x =( C )A. ()1x x +B. 2x C. ()2x x - D. ()()21x x +-17. 若函数()f x 在点0x 处可导,则( B )是错误旳.A. 函数()f x 在点0x 处有定义B. ()0lim x x f x A →= ,但()0A f x ≠C. 函数()f x 在点0x 处持续D. 函数()f x 在点0x 处可微 18. 函数()21y x =+在区间()2,2-是(D )A. 单调增长B. 单调减少C. 先单调增长后单调减少D. 先单调减少后单调增长 19.()xf x dx ''=⎰( A )A. ()()xf x f x c '-+B. ()xf x c '+C.()212x f x c '+ D. ()()1x f x c '++ 20. 下列微分方程中为可分离变量方程旳是( B ) A.dy x y dx =+ B. dy xy y dx =+ C. sin dy xy x dx =+ D. ()dy x y x dx=+ 21. 函数()222x xf x -+=旳图形有关( C )对称A. y x =B. x 轴C. y 轴D. 坐标原点 22. ()sin 1xf x x=-当( D )时,()f x 为无穷小量。

2016年电大专科微积分初步期末考试试题及答案

2016年电大专科微积分初步期末考试试题及答案

微积分初步考试试题1、填空题 (1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 .答案:2>x 且3≠x . (2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f.答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k(5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f . 答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x (7)=∞→xx x 1sinlim . 答案:1 (8)若2sin 4sin lim0=→kxxx ,则=k .答案:2=k (9)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 .答案:21 (10)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 . 答案:e x y +=(11)已知x x x f 3)(3+=,则)3(f '= .答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(12)已知x x f ln )(=,则)(x f ''= .答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x- (13)若x x x f -=e )(,则='')0(f.答案:x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-(14)函数y x =-312()的单调增加区间是 . 答案:),1(+∞(15)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足 . 答案:0>a(16)若)(x f 的一个原函数为2ln x ,则=)(x f . 答案:x2(17)若⎰+=c x x x f 2sin d )(,则)(x f .答案:x 2cos 2(18)若______________d os ⎰=x x c 答案:c x +sin (19)=⎰-2de x.答案:c x +-2e(20)='⎰x x d )(sin.答案:c x +sin (21)若⎰+=c x F x x f )(d )(,则⎰=-x x f d )32(.答案:c x F +-)32(21(22)若⎰+=c x F x x f )(d )(,则⎰=-x x xf d )1(2 .答案:c x F +--)1(212 (23).______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x答案:32- (24)=+⎰e 12d )1ln(d d x x x. 答案:0 (25)x x d e 02⎰∞-= .答案:21 (26)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x1,且曲线过)5,4(,则该曲线的方程是 .答案:12+=x y (27)由定积分的几何意义知,x x a ad 022⎰-= .答案:42a π(28)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案:xy e =(29)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案:x c y 3e-=(30)微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 .答案:42.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e xx +- C .)1ln(2x x ++ D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( ) A .)1(+x x B .2x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B (7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( )A .2,1==x xB .3=xC .3,2,1===x x xD .无间断点 答案:A (8)若x x f xcos e)(-=,则)0(f '=( ). A. 2 B. 1 C. -1 D. -2答案:C(9)设y x =lg 2,则d y =( ).A .12d x x B .1d x x ln10 C .ln10x x d D .1d xx 答案:B(10)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ). A .x x f d )2(cos 2' B .x x x f d22sin )2(cos ' C .x x x f d 2sin )2(cos 2' D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(11)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin - D .x cos 答案:C(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( ) A .单调增加 B .单调减少 C .先增后减 D .先减后增 答案:D(12)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 答案:C(13)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D .函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案:A(14)下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).A .x sinB .x eC .2x D .x -3答案:B(15)下列等式成立的是( ). A .)(d )(d x f x x f =⎰ B .)(d )(x f x x f ='⎰C .)(d )(d dx f x x f x =⎰D .)()(d x f x f =⎰ 答案:C(16)以下等式成立的是( )A . )1d(d ln xx x = B .)(cos d d sin x x x =C .x xxd d = D .3ln 3d d 3xxx =答案:D(17)=''⎰x x f x d )(( )A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( 答案:A(18)下列定积分中积分值为0的是( ).A .x xx d 2e e 11⎰--- B .x xx d 2e e 11⎰--+ C .x x x d )cos (3⎰-+ππD .x x x d )sin (2⎰-+ππ答案:A(19)设)(x f 是连续的奇函数,则定积分=⎰aax x f -d )(( )A .0B .⎰-d )(ax x f C .⎰ax x f 0d )( D .⎰0-d )(2ax x f答案:A(20)下列无穷积分收敛的是( ). A .⎰∞+0d in x x s B .⎰∞+1d 1x xC .⎰∞+1d 1x xD .⎰∞+-02d e x x答案:D(21)微分方程0='y 的通解为( ).A .Cx y =B .C x y += C .C y =D .0=y 答案:C(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是( )A. y x x y +=d d ;B. y xy x y +=d d ;C. x xy x y sin d d +=;D. )(d d x y x xy += 答案:B 3、计算题(1)423lim 222-+-→x x x x . 解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x(3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x(4)设xx y 12e =,求y '.解: )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(5)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s4-= (6)设xy x 2e 1+=+,求y '. 解:2121(21exx y x -+='+ (7)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=(8)x x d )12(10⎰-解:c x x x x x +-=--=-⎰⎰111010)12(221)1d(2)12(21d )12( (9)x x x d 1sin2⎰解:c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos 1d 1sin d 1sin2(10)x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰解:)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 022ln 0x x x x x ++=+⎰⎰=3152)64216(31)e 4(2ln 03=-=+x (11)x xxd ln 51e1⎰+ 解:27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 51121e1=-=+=++=+⎰⎰ee x x d x x x x (12)x x x d e 10⎰解:1ee d e ed e 101101=-=-=⎰⎰x xx xx x x x(13)⎰π20d sin x x x解:1sin d cos cos d sin 20202020==+-=ππππ⎰⎰xx x x x x x x4、应用题(1)欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ,解得6=x 是唯一驻点,且04322263>⨯+=''=x x y , 说明6=x 是函数的极小值点,所以当6=x ,361082==h 用料最省. (2)用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱,已知钢板每平方米10元,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少? 解:设水箱的底边长为x ,高为h ,表面积为S ,且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ,得2=x ,因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S (元)。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,,log(2x,3)(4) (5) yx,,,1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,,,1ln(2)x2,1x,3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,,(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112,求. (1)设fxx(),,,fx()2xx2(2)设,求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n,1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x,31x,32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn,,211020100nn,,3100n,limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,,,?,lim,,lim,,,(4)? (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,,nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim,,,?lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn,,,111,,,,?12n222lim(1)nnn,,(8) (9) limx,,x,,111,,,,?12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,,56xx,,562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,,x,x,13x,3x,3x,2222256x,xx,,44()xx,,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx,,21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,?13x,,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,,56xx,,56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa,,,,?011nn,lim(11)xx,,,(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb,,,,?011mm,lim(11)xxx,,,(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,,6lim3,(1)设,求的值; ab,x,,23x,2xaxb,,lim5,,(2)设,求的值; ab,x,11x,22axbxc,,lim1,(3)设,求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时,有:(1),(2) ,(3); 213、利用等价无穷小的性质,求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0,tan5x3x2x3sinx21111sin,,x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质,求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1,,,x,0x,0,,xsinxx,3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,,lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk,,,,,,, 1/x(10)lim12,x ,,,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若,在处连续,则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1,,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0,2]上连续 a,a,x(1,x,2),53xx,,,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,,,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,,,,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数,则关系式( )成立。

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 函数y=x^3-3x+2的导数是()。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3xC. 3x^2 - 3xD. 3x^2 + 3x答案:A2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值是()。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是()。

A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=x-1答案:A4. 若f(x)=x^2+3x-2,则f'(-1)的值是()。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案:C5. 定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx的值是()。

A. 1/2B. 1C. 3/2D. 2答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 若f(x)=ln(x),则f'(x)=______。

答案:1/x2. 函数y=e^x的原函数是______。

答案:e^x3. 曲线y=x^3与直线y=2x+1在x=1处的交点坐标是______。

答案:(1,3)4. 函数y=x^2-4x+4的极小值点是______。

答案:x=25. 定积分∫(0 to 2) x dx的值是______。

答案:4三、计算题(每题10分,共30分)1. 求函数y=x^2-6x+8的极值点。

答案:函数y=x^2-6x+8的导数为y'=2x-6,令y'=0,解得x=3。

将x=3代入原函数,得到极小值点为(3,-1)。

2. 求定积分∫(0 to 3) (x^2-2x+1)dx。

答案:首先求出原函数F(x)=1/3x^3-x^2+x,然后计算F(3)-F(0)=1/3*27-9+3-0=6。

3. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。

答案:首先求导得到y'=3x^2,将x=1代入得到y'|_(x=1)=3,切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2。

四、证明题(每题10分,共30分)1. 证明:若f(x)在[a,b]上连续,则∫(a to b) f(x)dx存在。

微积分基础期末试题及答案

微积分基础期末试题及答案

微积分基础期末试题及答案[注意:本文按照期末试题的格式进行排版]试题一:函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 内可导,且 f(a) = f(b) = 0。

证明:存在ξ ∈ (a, b),使得f'(ξ) = 0。

证明:根据 Rolle 定理,已知在 [a, b] 区间上连续且在 (a, b) 内可导,且 f(a) = f(b) = 0,那么一定存在ξ ∈ (a, b),使得f'(ξ) = 0。

试题二:设函数 y = f(x) 满足条件:f(x + 2) = 3f(x) + 5。

证明 f'(x) = f'(x + 2)。

证明:将 f(x + 2) = 3f(x) + 5 两边对 x 求导,得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。

根据等式两边的对称性,可以推导得到 f'(x) = f'(x + 2)。

试题三:设函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内具有二阶连续导数,且对任意的 x ∈(a, b),有 f(x) > 0,f''(x) > 0。

证明 f'(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。

证明:根据题设条件可知,对任意的 x ∈ (a, b),f''(x) > 0,即 f'(x) 的导数处处大于 0。

根据导数的定义,说明 f(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。

答案一:证明思路:利用介值定理和导数的定义进行推导。

由于 f(x) 在区间 [a, b] 上连续,根据介值定理可知,对任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的数值 c(c ≠ 0),存在ξ ∈ (a, b) 使得f(ξ) = c。

由于 f(a)= f(b) = 0,所以 c = 0。

即存在ξ ∈ (a, b),使得f(ξ) = 0。

又因为 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,根据导数的定义,有f'(ξ) =lim┬(h→0)⁡〖(f(ξ+h)-f(ξ))/h〗。

微积分初步考试题及答案

微积分初步考试题及答案

微积分初步考试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为()A. 2x+3B. x^2+3C. 2x^2+3xD. 3x^2+3x答案:A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为()A. 0B. 1C. π/2D. -1答案:B3. 函数f(x)=e^x的不定积分为()A. e^x+CB. e^(-x)+CC. ln(x)+CD. -e^(-x)+C答案:A4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率为()A. 1B. -1C. 3D. -3答案:C5. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为()A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案:C6. 函数f(x)=ln(x)的导数为()A. 1/xB. ln(x)C. xD. 1答案:A7. 曲线y=e^x与y=ln(x)互为反函数,它们的图像关于()A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称答案:D8. 函数f(x)=x^3的二阶导数为()A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x答案:B9. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值点为()A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案:A10. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标为()A. (1,5)B. (-1,4)C. (1,4)D. (-1,5)答案:C二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数f(x)=x^3的一阶导数为f'(x)=_________。

答案:3x^212. 函数f(x)=x^2+2x+1的二阶导数为f''(x)=_________。

答案:213. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线方程为y-1=_________(x-1)。

答案:314. 函数f(x)=e^x的不定积分为∫e^x dx=_________+C。

《微积分初步》期末复习资料

《微积分初步》期末复习资料

微积分初步(12春)期末模拟试题一、填空题⒈函数74)2(2++=+x x x f ,则)(x f 62-x . ⒉若2sin 6sin lim0=→kxxx ,则=k 1 .⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2121+=x y . ⒋若x1是)(x f 的一个原函数,则')(x f dx e x 2- . ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ,则)(x f32+x .7.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续,则=k 3 . 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 . 9.=⎰-x x d e d 232x. 10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 .11.函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- . 12.若24sin lim0=→kx xx ,则=k 2 . 13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y.14.=+⎰e12d )1ln(d d x x x0 .15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = . 16.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,0()0,1(⋃- .17.函数1322+--=x x x y 的间断点是= 1-=x .18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- . 19.若⎰+=c x x x f 2sin d )(,则)(x f = x 2cos 2 . 20.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 . 21.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- .23.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续,则=k 2 .24.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是21 .25.=⎰x xd 2c x+2ln 2 . 26.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为 12+=x y .27.函数24)2(2-+=+x x x f ,则=)(x f62-x .28.当→x 0 时,xx x f 1sin )(=为无穷小量.29.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3),则y '(1) = 2- .30.=+-⎰-x x x d )135(113 2 .31.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .32.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- . 33.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续,则=k 1 . 34.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y . 35.='⎰x x s d )in ( c x +sin.36.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 .37函数x x x f 2)1(2+=+,则=)(x f12-x .38.=∞→xx x 1sin lim 1 .39.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y .40.若⎰+=c x x x f 2sin d )(,则=')(x f in2x 4s - . 51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 . 二、单项选择题⒈函数2e e xx y -=-的图形关于(B )对称.A 。

[微积分初步]期末复习典型例题

[微积分初步]期末复习典型例题

[微积分初步]期末复习典型例题《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续(一)考核要求1. 了解常量和变量的概念;理解函数的概念;了解初等函数和分段函数的概念. 熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法;掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2. 了解极限概念,会求简单极限.3. 了解函数连续的概念,会判断函数的连续性,并会求函数的间断点. (二)典型例题 1.填空题1(1)函数f (x ) =的定义域是ln(x -2)答案:x >2且x ≠3.12(2)函数f (x ) =+4-x 的定义域是ln(x +2)答案:(-2, -1) ⋃(-1, 2](3)函数f (x +2) =x 2+4x +7,则f (x ) =答案:f (x ) =x 2+33⎧⎧x sin +1,(4)若函数f (x ) =⎧x⎧k , ⎧x在x =0处连续,则k =答案:k =1(5)函数f (x -1) =x 2-2x ,则f (x ) = 答案:f (x ) =x 2-1 (6)函数y = x -2x -3x +12的间断点是答案:x =-1 (7)lim x sinx →∞1x=.答案:1(8)若limsin 4x sin kx=2,则k = .x →0答案:k =2 2.单项选择题(1)设函数y =e-xx+e 2,则该函数是().A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数 D.既奇又偶函数答案:B(2)下列函数中为奇函数是( A .x sin x B .答案:C).xe+e 22C .ln(x ++x )D .x +x2(3)函数y =答案:Dxx +4A .x >-5 B.x ≠-4 C.x >-5且x ≠0 D.x >-5且x ≠-4+ln(x +5) 的定义域为().(4)设f (x +1) =x 2-1,则f (x ) =() A .x (x +1) B.x 2 C .x (x -2) D.(x +2)(x -1) 答案:C⎧e x +2,(5)当k =()时,函数f (x ) =⎧⎧k ,x ≠0x =0在x =0处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D⎧x 2+1,(6)当k =()时,函数f (x ) =⎧⎧k ,x ≠0x =0,在x =0处连续.A .0B .1 C.2 D.-1 答案:B (7)函数f (x ) =x -3x -3x +2的间断点是()A .x =1, x =2 B.x =3C .x =1, x =2, x =3 D.无间断点答案:A 3.计算题(1)lim 2x -3x +2x -4222.(x -2)(x -1) (x -2)(x +2)=limx -1x +2=14x →2解:limx -3x +2x -4x →2=lim2x →2x →2(2)lim 解:lim2x -9x -2x -3x -9x -2x -32(x -3)(x +3) (x -3)(x +1)=limx +3x +1=64=32x →3x →3=limx →3x →3(3)limx -6x +82x -5x +42x -6x +8(x -4)(x -2) x -22=lim =lim = 解:lim 2x →4x x →4(x -4)(x -1) x →4x -13-5x +4 x →4(4)计算极限lim 解:lim-x -1x.=lim1-x -1x (-x +1)x →0-x -1x=lim(-x -1)(-x +1)x (-x +1)-1(-x +1)=-12x →0x →0=limx →0(5)计算极限lim 解:lim-x -1sin 4x-x -1sin 4x=lim1-x -1sin 4x (-x +1) -4x4sin 4x (-x +1)=-18x →0=lim(-x -1)(-x +1) sin 4x (-x +1) -xsin 4x (-x +1)x →0x →0x →0=lim=limx →0二、导数与微分(一)考核要求1. 了解导数概念,会求曲线的切线方程.2.熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则) ,会求简单的隐函数的导数.3. 了解微分的概念,掌握求微分的方法.4. 了解高阶导数的概念,掌握求显函数的二阶导数的方法. (二)典型例题1.填空题(1)曲线f (x ) =答案:12x +1在(1, 2) 点的切斜率是.(2)曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是.答案:y =x +e(3)已知f (x ) =x 3+3x ,则f '(3) = .答案:f '(x ) =3x 2+3x ln 3f '(3) =27(1+ln 3)(4)已知f (x ) =ln x ,则f ''(x ) = .答案:f '(x ) =1x,f ''(x ) =-1x2.(5)若f (x ) =x e -x ,则f ''(0) =-x -x答案:f ''(x ) =-2e +x ef ''(0) =-22. 单项选择题(1)若f (x ) =e-xcos x ,则f '(0) =().A. 2B. 1C. -1D. -2答案:C(2)设y =lg 2x ,则d y =().A .12xd x B.1x ln 10d x C.ln 10xd x D.1xd x答案:B(3)设y =f (x ) 是可微函数,则d f (cos2x ) =(). A.2f '(cos2x ) d x B.f '(cos2x ) sin 2x d2x C.2f '(cos2x ) sin 2x d x D.-f '(cos2x ) sin 2xd2x 答案:D3(4)若f (x ) =sin x +a ,其中a 是常数,则f ''(x ) =().A.cos x +3a 2 B.sin x +6a C.-sin x D.cos x 答案:C3.计算题1(1)设y =x 2e x ,求y '.1x21x解: y '=2x e +x e (-1x21) =e x (2x -1)(2)设y =sin 4x +cos 3x ,求y '.解:y '=4cos 4x +3cos 2x (-sin x )2=4c o s 4x -3s i n x c o s x(3)设y =e 解:y '=ex +1x +1+2x,求y '.-2x212(x +1(4)设y =x x +ln cos x ,求y '. 解:y '= 321x 2+1cos x(-sin x ) =321x 2-tan x(5)设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2-xy =4确定的隐函数,求d y .解:方程两边对x 求导,得2x +2y y '-(y +x y ') =0y '=y -2x 2y -x于是得到d y =y -2x 2y -xd x(6)设cos x +e x +e y =y 2,求d y .解:方程两边对x 求导,得 -sin x +e +e y '=2y y ' y '=sin x -e e -2yx yx xy于是得到d y =sin x -e e -2yyd x三、导数应用(一)考核要求1. 掌握函数单调性的判别方法.2. 了解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值判别的方法.3. 掌握求函数最大值和最小值的方法. (二)典型例题1.填空题(1)函数y =3(x -1) 的单调增加区间是.答案:(1, +∞) (2)函数f (x )=ax22+1在区间(0, +∞) 内单调增加,则a 应满足.答案:a >0 2.单项选择题(1)函数y =(x +1) 2在区间(-2, 2) 是() A .单调增加 B.单调减少 C .先增后减 D.先减后增答案:D(2)满足方程f '(x ) =0的点一定是函数y =f (x ) 的(). A .极值点 B .最值点 C.驻点 D .间断点答案:C(3)下列结论中()不正确. A.f (x ) 在x =x 0处连续,则一定在x 0处可微. B.f (x ) 在x =x 0处不连续,则一定在x 0处不可导. C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案:A(4)下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是().A.sin x B.e x C.x 2 D.3-x 答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知x h =108, h =y =x +4xh =x +4x ⋅222108x108x2=x +2432x令y '=2x -且y ''=2+432x2=0,解得x =6是唯一驻点,2⨯432x3x =6>0,10862说明x =6是函数的极小值点,所以当x =6,h ==3用料最省.(2)用钢板焊接一个容积为4m 3的正方形的水箱,已知钢板每平方米10元,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少?解:设水箱的底边长为x ,高为h ,表面积为S ,且有h =所以S (x ) =x +4xh =x +S '(x ) =2x -16x222216x,令S '(x ) =0,得x =2,因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当x =2, h =1时水箱的面积最小. 此时的费用为 S (2) ⨯10+40=160(元) 4. 证明题(1)证明函数f (x ) =3-2x ,在定义区间上是单调下降的.证明因为f (x ) =3-2x 的定义区间为(-∞, +∞) ,且f '(x ) =-2(2)证明函数f (x ) =x -e x 在(-∞, 0) 是单调增加的.证明:因为在(-∞, 0) 上,有f '(x ) =1-e x >0,所以函数f (x ) =x -e x 在(-∞, 0) 是单调增加的.四、一元函数积分(一)考核要求1. 理解原函数与不定积分的概念、性质,掌握积分基本公式,掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2. 了解定积分的概念、性质,会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念,会计算简单的无穷限积分。

2021年成人高考《微积分初步》复习题及答案知识点复习考点归纳总

2021年成人高考《微积分初步》复习题及答案知识点复习考点归纳总

2021年成人高考《微积分初步》复习题及答案知识点复习考点归纳总微积分初步模拟试题一、填空(每个子问题4分,这个问题总共20分)1。

函数f(x)?2.如果Lim1?4.X的域是ln(x?2)sin4x?2,则k?.十、0kx3。

曲线y?点(0,1)处ex的切线方程是de4?ln(x2?1)dx?dx1。

.5.微分方程y??y、 y(0)?1的特解是二、单项选择题(每小题4分,本题共20分)⒈设函数y?xsinx,则该函数是().a、偶数函数B.奇数函数C.非奇数非偶数函数D.奇数和偶数函数?x2?2,x?0⒉当k?()时,函数f(x)??,在x?0处连续.k、 x?0A.0b。

1C。

2D。

3.以下结论()是正确的a.f(x)在x?x0处连续,则一定在x0处可微.b.函数的极值点一定发生在其驻点上.c、 F(x)在x中?如果x0是不连续的,那么它在x0d处必须是不可微的。

函数的极值点必须出现在不可微点4处。

下面等式中正确的一个是()1a.sinxdx?d(cosx)b.lnxdx?d()x1dx?d(2x)c.axdx?D(AX)D.x5微分方程(y?)3.4xy y5sinx的顺序是()a.2;b.3;c.4;d.5三、计算题(本题共44分,每小题11分)x2?6x?8.计算极限lim2x?2x?3x?2⒉设y?lnx?cos3x,求dy.⒊计算不定积分?(2x?1)10dx4.定积分的计算e21lnxdx四、申请问题(16分)欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?参考答案一、填空题(每小题4分,本题共20分)⒈(?2,?1)? (?1,4]2 3 y?X?1 4 5 y?Ex 2.单选题(每个子题4分,本题20分)⒈a⒉c⒊c⒋d⒌b三、(本题共44分,每小题11分)(x?4)(x?2)x?4.林??2.解决方案:原始配方?limx?2(x?2)(x?1)x?2倍?11.解决方案:y3cos2x(?sinx)x12xcosx)dxdy?(?3sinx11(2x?1)11?c⒊解:?(2x?1)10dx=?(2x?1)10d(2x?1)?22222ee2xe⒌解:?lnxdx?xlnx1??dx?2e2?e2?1?e2?11x1四、应用题(本题16分)108解决方案:从已知的x2h开始,让底侧的边长为x,高度为h,使用的材料为y?108,h?二x108432y?x2?4xh?x2?4x?2?x2?Xx432订单y??2倍?2.0,x?6是唯一的停靠点,x2?432且y2??0,3xx?6108?3时用料最省。

微积分初步期末复习题(含答案)

微积分初步期末复习题(含答案)

1《微积分初步》期末复习题一一、填空(每小题4分):1.函数2.函数3.函数 的定义域是4.函数72)1(2+-=-x x x f ,则)(x f5.函数⎩⎨⎧>≤+=e2)(2x x x x f x,则)0(f 6.函数x xx f 2)1(2-=-,则=)(x f7.函数 8. 9.若,则=k10.若23sin lim 0=→kx x x ,则=k11.曲线1)(+=x xf 在(1,2) 12.曲线f(x)=e x 在(0,1).13.曲线21-=xy 在点(1,1)处的切线方程是15.若y =x (x –1)(x –2)(x –3),则y '16.已知x x x f 3)(3+=,则3(f ' 17.已知x x f ln )(=,则)(x f ''18.若x x x f -=e )(,则='')0(f19.函数y x =-312() 20.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a21.若f(x)的一个原函数为2ln x ,则22.若f(x)的一个原函数为x-e -2x,则=')(x f23.若⎰+=c x x x f xe d )(,则)(x f24.若⎰+=c x x x f 2sin d )(,则)(x f25.若c x x x x f +=⎰lnd )(,则=')(x f26.若⎰+=c x x x f 2cos d )(,则')(x f27.=⎰-x xd ed2.28.='⎰x x d )(sin. 29.若⎰+=c x F x x f )(d )(,则⎰=-x x f d )32(30.若⎰+=c x F x x f )(d )(,则⎰-x xxf d )1(2. 31..d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x32..______d )cos 4(225=+-⎰-x x x xππ33.已知曲线)(x f y =在任意点且曲线过)5,4( 34.若=+-⎰-dx x x )235(113 35.由定积分的几何意义知, =。

微积分练习100题及其解答

微积分练习100题及其解答

《微积分》练习100题及其解答1.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解:∵,)0(~1→-x xe x ∴.()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2.求极限:.xx e e x x x sin lim sin 0--→解:∵,∴.)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者:记,则当时,在之间满足Lagrange 定理的条件,存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在(介于与之间),使得,从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--,所以,.1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3.求极限:.()x xx x e1lim+→解:;()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者.()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4.求极限:.01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解:,而,所以,.01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5.求极限:.())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解:.()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6.求极限:.()00x αα→>解:.()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7.求极限:.lim(0)x αα→>解:.()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8.求极限:.(0)x αα→>解:.012x α→=-9.设函数在内,讨论的单调性.)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解:,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时,,而,则,即,从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增;同理,当时,递增.x x f y )(=0<x xx f y )(=所以,在内单调增加.xx f y )(=()∞+∞-,10.设函数,求:(1)的极大值;(2)()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值.M a 解:(1),而,所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ;a a a f M 232)(3-=-=(2)时,,此时,0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为.M 34)1(-=M 11.求极限:.22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解:()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭.320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解:2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭;222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解:;211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14.求极限:.1lim arcsin xx e x +→解:∵,∴.arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解:.22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16.求极限:.2120lim x x x e→解:.22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17.求极限:.lim sin ln x x x +→解:.00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18.求极限:.1lim x -→解:11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19.求极限:.xx xx x sin tan lim 20-→解:.22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20.求极限:.()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解:()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21.求极限:.()2lim sec tan x x x π→-解:.()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解:()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰.1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解:.()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解:()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25.求积分:.dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27.求积分:.1sin 1cos2xdx x--⎰解:()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰.()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28.求积分:.1sin 1cos2xdx x -+⎰解:()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan sec 2x x C =-+29.求积分:.1cos 1cos2xdx x-+⎰解:()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30.求积分:.1cos 1cos2xdx x--⎰解:.()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31.求积分:.1arctan21xedx x +⎰解:.1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32.求积分:.2x dx解:222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭.(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33.求积分:.211x dx e +⎰解:⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者:⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(.[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234.求积分:.()21xxe dx x +⎰解:()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰.11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35.求积分:.211dx x x -+⎰解:2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰.211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36.求积分:.2141dx x x -+⎰解:()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰.21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37.求积分:.dx解:22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38.求积分:.解:设,则,,x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭.)2ln1orx C -+39.求积分:.21443dx x x +-⎰解:.21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40.求积分:.23222x dx x x --+⎰解:222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰.()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41.求积分:.2dx x⎰解:设,则,,t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=.()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42.求积分:.2dx x ⎰解:设,则,,θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=.()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43.求积分:.⎰++dx x x 1)2(1解:消去根号,记,t =122122+=+=-=t x tdtdx t x.()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44.求积分:.⎰-+dx x x x21解:记,3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222.C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245.求积分:.⎰++dx x x x21解:记,1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222.C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246.求积分:.2dx x -⎰解:记,2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=,.2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47.求积分:.解:记,232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t .Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248.求积分:.⎰++dx x 3111解:记,dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=.22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49.求积分:.()⎰-dx x xx 2321arcsin 解:设:,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50.求积分:.()()2213xdx xx ++⎰解:.()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51.假设某种商品的需求量,商品的总成本是,每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大时商品单价(单位:元)和最大利润额.P 解:收入,28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本,P Q C 40006250005025000-=+=总利润,649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润,16160160+-='-'='P C R L 令,得,此时,有最大利润(元).0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52.一商家销售某种商品的价格(万元/吨),为销售量,商品的成本函数x P 2.07-=x 是(万元).(1)若每销售1吨商品,政府征税t (万元),求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量;(2)t 为何值时,政府税收最大?解:(1)收入,总成本,22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收,总利润,tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润;令,得,此时,有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润;(2),,令,得,所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大.53.求积分:.()322arcsin 1x xdx x -⎰解:设,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54.已知的一个原函数为,求积分:.()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解:∵,()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰.()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55.设是三阶可导函数,,而.求.()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解:由已知,,,,从而;()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,.()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56.设,求.()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解:对等式两边求导.得,()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理,得,2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---.()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57.已知,其中二阶可微,求.()y f x y =+()f u 22d ydx 解:,.()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导,()()1y f x y y '''=++,()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++.()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58.已知,求.0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解:由已知,,或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò,()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取,有,t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò.()2f t dt p\=ò59.求积分:.121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解:1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò.21521232x x xee +==60.求极限:.2240sin lim x x xx®-解:224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=.3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而,22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里?61.计算.x ò解:记,代入,得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò.()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62.求积分:.()12ln 11x dx x++ò解:令,,,,11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入,则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò.112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63.求积分:1ò解:记212t x t dx tdt==-=-当时,;当时,,则0x =t 1=1x =0t =原式.110202212dt arctgtt p ===-ò64.设在内有意义,且(1)可导;(2)有反函数;(3)()F x ()0,+¥()x j .求.()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解:由(3)可知,时,,0x =()()010F t dt j =ò()01F =记,则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对(3)的式子两边求导,有,即.()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而,故.()01F =()233211132F x x x =-+65.求积分:1ò解:11I -==òò.112-==òò12arcsin tp ==66.求积分:1ò解:令sin 02x t t p =<<.()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67.证明:.()4011212n tg xdx n np<<+ò证明:记,则.14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68.求积分:.244sin 1xxdx ep p --+ò解:.224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69.设,且,则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根.解:记,,()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò,而.;()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加.因此,在内只有一个根.()F x \(),a b ()F x (),a b 70.在上连续可微,且满足.试证存在一点.使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î.()()0f f x x x ¢+=证:设.则,()()F x xf x =()()0000F f =´=.()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微,由积分中值定理,必存在一点,使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø,在上,满足Rolle 定理的三个条件,固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ,使得.即.x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71.设求,.()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解:由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另,时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø;()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+.()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72.设在上连续,且,证明:必存在,使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î.()()1f f x x +=证明:记,则在上连续,因而有最大(小)值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -,,;()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而,,…,;()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而,()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而,必存在,使,即()0,n x Î()0j x =.()()1f f x x +=73.证明:函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,0证明:任取两点,,不妨设,则,考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-;()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即;2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以,对于任意小的正数,取,当时,必有0>ε3εη=η<-21x x 成立,ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,074.函数在上有定义,且(1),(2)对于在,)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ,则(为常数).)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明:任取,记,,,…,()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===,….则1211-==-n x x x n n 由可知,,即)()(2x f x f =)()(x f x f =;)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到,故)0(1lim >=+∞→x x n n ;)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而,从而)1()(lim 1f x f x =→;)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以,(为常数).C x f ≡)()1(f C =75.求极限:.21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解:注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122,⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且,111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76.已知,,求.12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解:很明显,,,,,12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以,,单调有界,存在;1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得,注意到,解得.lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77.设函数,求.xx y +=12()n y 解:,,11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ,()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得:.()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78.设函数在区间上连续,在内可导,且,()x f []0,1()0,1()()010==f f .试证:121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在,使;1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数,必存在,使得.λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明:(1)设,则在区间上连续,在内可导,且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1,,,则存在,,即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=.()ηη=f (2)记,在区间上连续,在内可导,且,()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =,则由定理,必存在,使得,即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=.()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79.判断级数的敛散性.11nn ¥=åò提示:.220001122n xdx n n>=®<òòò80.证明:当时,.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明:记,则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理,比存在一点,使得:()x 0∈ξ,()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而,,x <<ξ011111<+<+ξx ∴,)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181.求在条件下,()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点.解:利用拉格朗日乘数法,设,()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-,则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩.1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82.设随机变量,问:当取何值时,落入区间的概率最大?()2~,X N μσσX ()1,3解:因为,()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=,{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法,有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得,则;又,故.404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大.σ=X ()1,383.设,讨论方程的实数根.x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解:(1)显然,当时,方程没有实根;0λ=0=-x e x λ(2)当时,方程有唯一实根;0λ<0=-x e xλ(3)当时,;曲线为下凸的,0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型;由可知,驻点,极小值,0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知,当时,方程没有实根;e <<λ00=-x e x λ当,极小值,方程只有一个实根;e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当,极小值,方程有2个实根.e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84.函数的单调增减区间、凹凸区间与极值.()()()211f x x x =-+解:,()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点:;()0f x '=113x ,=-由上可知,函数在与内单调递增,在内递减;极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值,极小值;()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得,因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,函数曲线上凸;在内下凸,如下图.()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85.已知收益函数为,其中为价格,为需求量,求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益.MR 解:因为,所以需求函数,边际收益函数为,且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为;60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时,,此时的边际收益.2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86.设函数,求其渐近线.xx exe x f y 111)(+==解:首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线:x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为,,,所以,1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线;xx exex f y 111)(+==由于,()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线:.xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87.求函数曲线的渐近线.()1ln 1x y e x=++解:显然,,为其垂直渐近线;()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =,为其水平渐近线;()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又,,,因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线.y x=88.若,试证明:与具有相同的敛散性.lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明:问题为讨论两个正项级数的敛散性,可以用比较法的极限形式,因为不是具体的级数形式.记,则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见,与具有相同的敛散性.∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89.讨论下列级数的敛散性:(1)2);(3);(4)1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n(5);(6);(7).()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解:(1)当充分大时,比如时,有,从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时,,()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知,当时,,所以,∞→n 1→1n ∞=(2)注意到,这是正项级数,当时,(等价无穷小),0→x x x ~tan 所以,而后者收敛,所以收敛.11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑(3)利用柯西判别法:也是正项级数,,可见原()33113n+-=<→级数收敛;事实上,,,)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛,且同为正项级数,因而原级数收敛.3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑(4)因为,()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法:取,则21nv n =;()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭,()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以,与同时收敛.()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n(5)条件收敛.(6),发散.()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑(7)=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞.()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面,==,;()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见,原级数非绝对收敛;但是单调减少且趋于0,所以,原级数条件收敛.()x x e e -+ln 190.若正项级数与都发散,讨论与的敛散性.1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解:,,{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--(1)显然,,或者,故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散;{}1max ,nnn u v ∞=∑(2)而的敛散性未定.{}1min ,nnn u v ∞=∑例如,若,()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ,()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。

微积分初步期末模拟试题及答案

微积分初步期末模拟试题及答案

微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题(每小题4分,本题共20分)⒈函数241)(x x f -=的定义域是 . ⒉若24sin lim 0=→kxx x ,则=k . ⒊已知x x f ln )(=,则)(x f ''= .⒋若⎰=x x s d in .⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是 .二、单项选择题(每小题4分,本题共20分)⒈设函数x x y sin =,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数⒉当k =( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x kx x x f ,在0=x 处连续. A .1 B .2 C .1- D .0⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的( )。

A .极值点B .最值点C .驻点D . 间断点⒋设)(x f 是连续的奇函数,则定积分=⎰aa x x f -d )(( ) A .⎰0-d )(2a x x f B .⎰0-d )(a x x f C .⎰ax x f 0d )( D . 0 ⒌微分方程1+='y y 的通解是( )A. 1e -=Cx y ;B. 1e -=x C y ;C. C x y +=;D. C x y +=221 三、计算题(本题共44分,每小题11分) ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x . ⒉设x x y 3cos 5sin +=,求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰+ ⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x 四、应用题(本题16分)欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?模拟试题答案及评分标准一、填空题(每小题4分,本题共20分)⒈)2,2(- ⒉2 ⒊21x- ⒋C x +-cos ⒌3 二、单项选择题(每小题4分,本题共20分)⒈B ⒉A ⒊C ⒋D ⒌B三、(本题共44分,每小题11分) ⒈解:原式41)2)(2()2)(1(lim 2=+---=→x x x x x 11分 ⒉解:)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' 9分x x x 2c o s s i n 35c o s 5-= 11分 ⒊解:x x xd )1(2⎰+= C x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(2 11分 ⒌解:⎰π0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 11分四、应用题(本题16分)解:设土地一边长为x ,另一边长为x 216,共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x (12-=x 舍去) 10分 因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当土地一边长为12,另一边长为18时,所用材料最省. 16分。

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《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续(一)考核要求1.了解常量和变量的概念;理解函数的概念;了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法;掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念,会求简单极限.3.了解函数连续的概念,会判断函数的连续性,并会求函数的间断点. (二)典型例题 1.填空题(1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是.答案:2>x 且3≠x .(2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是.答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f . 答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k . 答案:1=k(5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f . 答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是.答案:1-=x(7)=∞→xx x 1sin lim .答案:1(8)若2sin 4sin lim0=→kxxx ,则=k .答案:2=k 2.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数 答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e x x +- C .)1ln(2x x ++D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( ) A .)1(+x x B .2xC .)2(-x xD .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B(7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A .2,1==x x B .3=x C .3,2,1===x x x D .无间断点答案:A 3.计算题(1)423lim 222-+-→x x x x .解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x(3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x(4)计算极限x x x 11lim0--→.解:)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x(5)计算极限x x x 4sin 11lim0--→解:x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 二、导数与微分(一)考核要求1.了解导数概念,会求曲线的切线方程.2.熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则),会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念,掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念,掌握求显函数的二阶导数的方法. (二)典型例题1.填空题 (1)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是.答案:21 (2)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是. 答案:e x y +=(3)已知x x x f 3)(3+=,则)3(f '=. 答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(4)已知x x f ln )(=,则)(x f ''=.答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x - (5)若xx x f -=e )(,则='')0(f .答案:x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题(1)若x x f xcos e )(-=,则)0(f '=( ). A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 答案:C(2)设y x =lg2,则d y =( ).A .12d x x B .1d x x ln10 C .ln10x x d D .1d xx 答案:B(3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ). A .x x f d )2(cos 2'B .x x x f d22sin )2(cos 'C .x x x f d 2sin )2(cos 2'D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x +B .a x 6sin +C .x sin -D .x cos 答案:C3.计算题 (1)设xx y 12e =,求y '.解:)1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(2)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=(3)设x y x 2e1+=+,求y '. 解:2121(21e xx y x -+='+(4)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+='x x tan 2321-=(5)设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数,求y d . 解:方程两边对x 求导,得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy xy y d 22d --=(6)设2e e cos y x y x =++,求y d . 解:方程两边对x 求导,得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=三、导数应用 (一)考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. (二)典型例题1.填空题(1)函数y x =-312()的单调增加区间是. 答案:),1(+∞(2)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足.答案:0>a2.单项选择题(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( ) A .单调增加 B .单调减少 C .先增后减 D .先减后增 答案:D(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D .间断点 答案:C(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案:A(4)下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).A .x sinB .x eC .2x D .x -3 答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108立方M 的长方体开口容器,怎样做法用料最省? 解:设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知22108,108x h h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='x x y ,解得6=x 是唯一驻点, 且04322263>⨯+=''=x x y , 说明6=x 是函数的极小值点,所以当6=x ,361082==h 用料最省.(2)用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱,已知钢板每平方M10元,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少? 解:设水箱的底边长为x ,高为h ,表面积为S ,且有24x h = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ,得2=x ,因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S (元)4.证明题(1)证明函数x x f 23)(-=,在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞,且02)(<-='x f ,所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.(2)证明函数x x x f e )(-=在()0,∞-是单调增加的.证明:因为在()0,∞-上,有0e 1)(>-='x x f ,所以函数x x x f e )(-=在()0,∞-是单调增加的. 四、一元函数积分 (一)考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质,掌握积分基本公式,掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质,会计算一些简单的定积分.3.了解广义积分的概念,会计算简单的无穷限积分。

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