使用单纯形法解线性规划问题
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
分布式单纯形法
分布式单纯形法
分布式单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个大规模的线性规划问题分解为若干个较小的子问题，然后利用单纯形法分别求解这些子问题，最后将这些子问题的解进行合并，得到原问题的最优解。
具体来说，分布式单纯形法将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个约束条件或一个变量。
然后，每个子问题在一个独立的计算节点上使用单纯形法进行求解。
在每个迭代步骤中，每个计算节点更新自己的变量值，并与其他计算节点交换信息，以便在全局范围内找到最优解。
分布式单纯形法的优点是可以将大规模问题分解为较小的子问题，从而在分布式计算环境中实现高效的求解。
此外，该算法还可以利用并行计算的优势，提高求解速度。
然而，分布式单纯形法也存在一些挑战，例如如何有效地分解问题、如何管理通信和同步等。
总之，分布式单纯形法是一种求解大规模线性规划问题
的有效方法，适用于分布式计算环境。
单纯形法的原理是：先找到一个初始的基可行解，判定其是否为最优解，如为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直找到最优解为止。
单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个复杂的线性规划问题转化为一系列简单的线性规划问题，通过不断迭代和变换，最终找到最优解。
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
使用单纯形法解线性规划问题
使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
求解线性规划的单纯形法(1)
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3
0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
单纯形法判断解的类型
单纯形法判断解的类型单纯形法是一种用于线性规划问题的优化算法，通过迭代的方式逐步靠近最优解。
在使用单纯形法判断解的类型时，主要有三种可能的结果：无界解、有穷解和无解。
当线性规划问题存在无界解时，意味着目标函数可以无限增加或无限减小。
在单纯形法中，通过计算目标函数系数与约束条件的比值来判断无界解。
如果所有的比值都小于等于0，则表明目标函数可以无限增加，即问题存在无界解。
有穷解是指线性规划问题存在有限的最优解。
在单纯形法中，通过引入人工变量来构造初始解，并通过迭代计算来不断改进解的质量。
如果经过有限次迭代后，目标函数值不再发生改变，则可以确定存在有穷解。
当线性规划问题不存在满足约束条件的解时，称之为无解。
在单纯形法中，通过检查约束条件中的人工变量是否仍然为基变量，来判断是否存在无解情况。
如果人工变量仍然为基变量，则表明约束条件无法满足，即问题无解。
除了以上三种情况外，单纯形法还可以确定最优解的具体数值。
在每一次迭代中，通过计算目标函数的增量以及选择合适的基变量来改变当前解，直到达到最优解。
在单纯形法中，目标函数值的减少是保证最优解的关键。
总结起来，单纯形法通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
通过计算目标函数的增量和选择合适的基变量来改变当前解，以求得最优解。
这种方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别是在大规模线性规划问题中。
在实际应用中，单纯形法可以用于求解各种优化问题，如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过对问题进行数学建模，并利用单纯形法求解最优解，可以有效地提高生产效率、降低成本，并实现资源的合理利用。
单纯形法是一种有效的线性规划问题求解方法，通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
在实际应用中，单纯形法可以帮助我们解决各种优化问题，提高效率和降低成本。
因此，掌握单纯形法的原理和应用，对于提升我们的问题解决能力和决策水平具有重要意义。
使用单纯形法解线性规划问题
使用单纯形法解线性规划问题
1.将线性规划问题转化为标准形式:将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量等。
2.初始化:选择一个初始可行基。
可行基是指满足约束条件的基本变量的取值，使得其他非基本变量的取值为零。
3.检验最优性:计算当前基本解下的目标函数值。
如果所有非基本变量的系数都是非负的，那么当前基本解就是最优解。
4.寻找进入变量:选择一个进入变量，使得目标函数值能够增加。
进入变量是指非基本变量中的一个，通过增加其值来使得目标函数值增加。
5.寻找离开变量:选择一个离开变量，使得目标函数值能够继续增加。
离开变量是指基本变量中的一个，通过减小其值来使得目标函数值继续增加。
6.更新基本解:通过进入变量和离开变量的变化，更新基本解。
7.重复步骤3到步骤6，直到找到最优解或确定问题无界。
单纯形法大M法求解线性规划问题
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是
处理人工变量的方法。 两阶段法的步骤： 求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极小 化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准型 的约束条件。 如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于 零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始 的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行 解，可停止计算。 求原问题的最优解。在第一阶段已求得原问题的一个初始基本可行 解的基础上，继续用单纯形法求原问题的最优解
大M法首先将线性规划问题化为标准型。如果约束方程组中包含 有一个单位矩阵 I ，那么已经得到了一个初始可行基。否则在约束方 程组的左边加上若干个非负的人工变量，使人工变量对应的系数列向 量与其它变量的系数列向量共同构成一个单位矩阵。以单位矩阵为初 始基，即可求得一个初始的基本可行解。 为了求得原问题的初始基本可行解，必须尽快通过迭代过程把人 工变量从基变量中替换出来成为非基变量。为此可以在目标函数中赋 予人工变量一个绝对值很大的负系数-Ｍ。这样只要基变量中还存在 人工变量，目标函数就不可能实现极大化。 以后的计算与单纯形表解法相同，Ｍ只需认定是一个很大的正数即 可。假如在单纯形最优表的基变量中还包含人工变量，则说明原问题 无可行解。否则最优解中剔除人工变量的剩余部分即为原问题的初始 基本可行解。
12
13
9
例3、求解下述线性规划问题：
m a x Z = 3 x 1 -8 0 x 2 + 2 x 3 -2 4 x 4 x 1 -3 2 x 2 -4 x 3 3 6 x 4 0 x -2 4 x - x 6 x 0 1 2 3 4 x3 1 x j 0 ,j 1 ,2 ,3 ,4
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题Min z =5x 1+3x 2X 1 - 6 x 2 A 4在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基，而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中，得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(P)为Min z= exs.t.-2 X i + 3x 2 A 6A 0 (j=1,2 )解：将问题转化为 XjMax z = -5X 1 -3 x 2 s.t. 2x i - 3xX 3 = -6-3 x i + 6 X2+ x 4A -4Xj其中，X 3 , X 4 ,3,4 )A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.,可以根据这些关系，Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 )则标准型 (LP) 为AX b s.t.X0Max z=CXAX b s.t.X0其对偶线性规划(D )为Max z=b T Y AX b s.t.X0用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。
对于(LP )来说，当j=n+iT (B )中，对于检验数，有(b n+1,b n+2・・・b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1(Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1(-I)于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。
可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以从而，在最优单纯形表b n +2 …bB 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m )例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
用单纯形法解决线性规划问题
盐城师范学院运筹学期末论文题目: 用单纯形法解决线性规划问题**: **二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 111 班学号: ********成绩评定:前言线性规划问题是数学以及日常生活中最基本的问题之一，如何快速有效的解决线性规划问题是数学家也在努力研究的科目之一。
以前中学时我们解决线性规划问题一般采用的是图解法，即画出所给条件的可行域，找出目标函数的最优解。
这种方法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适用于问题中有两个变量的情况。
下面我们介绍另外一种方法—单纯形法，来解决图解法不能解决的问题。
1 单纯形法1.1 单纯形法的基本思路利用求线性规划问题基本可行解的方法求解较大规模的问题是不可行的。
有选择地取基本可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移动到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
在线性规划的可行域中先找出一个可行解，检验它是否为最优解，如果是最优解，计算停止；如果不是最优解，那么可以判断线性规划无有限最优解，或者根据一定步骤得出使目标函数值接近最优值的另一个基本可行解。
由于基本可行解的个数有限，所以总可以通过有限次迭代，得到线性规划的最优基本可行解或判定线性规划无有限最优解。
1.2 单纯形法的基本步骤第1步求初始基可行解，列出初始单纯形表。
对非标准型的线性规划问题首先要化成标准形式。
由于总可以设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵（P1,P2，…，Pm），以此作为基求出问题的一个初始基可行解。
为检验一个基可行解是否最优，需要将其目标函数值与相邻基可行解的目标函数值进行比较。
为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表（见表1—1）。
迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。
含初始基可行解的单纯形表称初始单纯形表，含最优解的单纯形表称最终单纯形表。
第2步：最优性检验如表中所有检验数c j−z j≤0，且基变量中不含有人工变量时，表中的基可行解即为最优解，计算结束。
实验2 单纯形法求解线性规划
实验2 单纯形法求解线性规划一、实验目的1. 理解线性规划的概念和基本形式。
2. 熟悉单纯形法的步骤和实现过程。
3. 学会使用Matlab编程求解线性规划问题。
二、实验原理线性规划是一种优化问题，其目标是在一组约束条件下，使目标函数（通常是一个线性函数）最大或最小化。
线性规划具有以下一般形式：$$\begin{aligned}&\underset{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}}{\max }\quadc_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}\\&\text{s.t.}\quad a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\leq b_{1}\\&\quad \quad \quad \,\,\,\quada_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\leq b_{2}\\&\quad \quad \quad\quad \quad \quad \vdots \\&\quad \quad \quad \,\,\,\quada_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}\leq b_{m}\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\geq 0\end{aligned}$$其中，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$表示决策变量；$c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$是目标函数的系数；$a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}$（$i$=1,2,...,m）是限制条件的系数，$b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$是限制条件右侧的常数。
单纯形法大M法求解线性规划问题
则线性规划问题有无穷多最优解。
11
基本可行解的改进
如果现行的基本可行解Ｘ不是最优解，即在检验向量
N=CN-CBB-中1N存在正的检验数，则需在原基本可行解Ｘ的基础上
寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。具体做法
是：
➢ 先从检验数为正的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基
变量变成基变量（将它的值从零增至正值），
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是≤的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有≥不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
X B = B - 1 b - B - 1 N X N X B = B - 1 b - B - 1 P m + k x m + k
其中 P m + k 为Ａ中与 x m + k 对应的系数列向量。
现在需在 X B=(x1,x2, xm )T 中确定一个基变量为换出变量。
当 x m + k由零慢慢增加到某个值时，X 的B 非负性可能被打破。
数注列 意向保量持基变P 3 量=变x换125的成系换数出列变向量量x4P所5 =对为应10 单的位单向位量向不量变。
,P 4
1 0
1 3
2 4
2 1
1 0
0 1
78 第一行除以 ２ 123
11
1 2
410
0 1
4 7
第二 行 减 去 第一行 1522
11 30
1 2
0
4
-1 2
线性规划(单纯形法)
不难看出x 可作为初始基变量，列单纯形表计算。 不难看出 4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法的进一步讨论－ 单纯形法的进一步讨论－人工变量法
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故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： max Z = 3x1 − x2 − x3 + 0x4 + 0x5－Mx6 − Mx7
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 11 − 4x + x + 2x − x + x = 10 1 2 3 5 6 − 2x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,L,7
确定换出变量。根据下式计算并选择θ 选最小的θ对应基 ② 确定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的 对应基
单纯形法的计算步骤
③
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用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 用换入变量 替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 替换基变量中的换出变量 对应新的基可以找出一个新的基可行解， 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。 一个新的单纯形表。
4 4 2
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0 0
§2.2单纯形法
Maxz 7 x 12 x
1
Maxz 7 x1 12x2 0x3 0x4 0x5
3) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求， 称为自由变量, 则可令 x x x ,x ,x 0
/ // / // k k k k k
化为标准型。 4) 若某个bi<0,两边乘(-1) 5) 对负变量 x j 0 ，换元设 xj x j 0
2. 最优性检验
问题：用什么检验？ —— 目标。
1 1
X 而目标z CX (C C ) C (B b B N X ) C X X C B b (C C B N ) X
记 C C B N，则当 0 时，当前基可行解为最 优。
1
方法：计算每个变量 x 的检验数 c C B P ,
1
若 0, 则当前解为最优；否则 非最优。
问题：非最优的特征为何？
至少有某个检验数 0。
3. 寻找更好的基可行解（换基迭代） （基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行 解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。 进基
1 1 1 1
360 90 4
[ ] 中表示进基列与出基行的交叉元，下一张表将实行以它为主 元的初等行变换（称高斯消去）。方法是：先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0。
特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程； (3) 非负约束：决策变量xj为非负； 右端常数项bi非负。
标准型的矩阵表示：
Maxz CX AX b s.t. X 0
其中，A 的秩为m（m n） , b 0。
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使用单纯形法解线性规划
问题
The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
使用单纯形法解线性规划问题
要求：目标函数为：123min 3z x x x =--
约束条件为：
123123
1312321142321,,0
x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨
-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：
1）将线性规划问题标准化如下：
目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++
.： 1234123561371234567211
42321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩
2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：
表一：最初的单纯形表
3）
换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一
次迭代。
迭代后新的单纯形表为：
表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表
由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：
表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表
4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：
表四：第二次迭代后的单纯形表
5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：
表五：第三次迭代后的单纯形表
可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：
综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。