金融经济学导论-补充练习及参考答案-给学生-2012

附录：补充练习题目及参考答案

1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。其效用函数是对数形式

0110111(;;)log (log log )2

a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？

解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。他的最优化问题是

011011,,0110111max

log (log log )2s.t.()0,,0

a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥

其一阶条件为：

00

110111/1(1/)2

1(1/)2

0,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c w

c i a b

λμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,)i i c i a b μ==。对于c 我们立即得到如下解：

1

c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b b

c λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：

2

λω=

最后，我们有

12c w =, 114a a w c φ=, 114b a

w c φ=

可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：

10:1000e --- ，2200:050

e --- 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

01()log (log log )2

a b U c c c c =++ 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。

解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济中 有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：

10:1000e --- 2200:050

e --- 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

01

()l o g (l o g l o g )

2a b U c c c c =++ 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。

现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;]a a φφφ=为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为T

w e φ=，这里[1;]φφ=；而e 是他的禀赋。这时，最优化问题变成了： 001m a x l o g (l o g l o g )2

s .t .a b c a a b b c c c c c c w φφ+

+++= 该问题的解为

,012k k c w =

, ,14k k a a w c φ=, ,14k k b a w c φ=

这里1100w =而220050a b w φφ=+。

均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：

1,2,1,2,20050110012004420050110015044a b a a a a

a b b b b b c c

c c φφφφφφφφ++=+=++=+=

均衡价格的解为1/4a φ=和1b φ=。参与者2的财富为2200(1/4)(50)(1)100w =+=。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是12[50;[100;25]]c c ==。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。

现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为

,,00,0,1(1/)()/22()(1/)22/(4)1/4,1,

k w k w k k k k k k k w k w w c c U c w U c c c w a b φωφω∂===∂=⎧==⎨=⎩

这对于两个参与者来说是一样的。

3．一个投资者有本金x ，可以投资的钱数在0到x 之间，如果投资了y ，则会以概率p 获益y ，以1p -损失y 。如果12p >，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？

解：设投入金额是ax ，01a ≤≤，投资者的投资结果记为X ，它等于x ax +或x ax -，出现这两种结果的概率分别是p ，1p -，它们的期望效用为：

l o g ((1))(1)l o g ((1

p a x p a x ++-- log(1)log()(1)log(1)(1)log()p a p x p a p x =+++--+-

log()log(1)(1)log(1)x p a p a =+++--。

为求出a 的最优值，对上式关于a 求导

log(1)(1)log(1)p a p a ++--

得：

1(log(1)(1)log(1))11d p p p a p a da a a

-++--=-+-。 令上式等于0，得：

1p ap p a ap -=-+- 或 21a p =-。

所以投资者每次都应投资他现有财富的100(21)%p -。例如，如果获利的概率0.6p =，则投资者应该投资全部财富的20%。如果0.7p =，他应该投资40%。（当1/2p ≤时，容易证明最优投资数量为0。）

4．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？

解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：

● 在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；

● 在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；

● 在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；

● 在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。

为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。

对于年利率r=0.10，第一个现金流序列的现值为