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线性规划知识点总结范文
线性规划知识点总结范文①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量，y的约束条件，这组约束条件都是关于，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于，y的一次式z=2+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3、解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。
4、两类主要的目标函数的几何意义:（1）-直线的截距；（2）-两点的距离或圆的半径；（3）-直线的斜率风格很统一！茶叶按发酵程度分为：绿茶（不发酵）、白茶（不发酵或轻微发酵）、黄茶（轻微发酵）、青茶（半发酵）、红茶（全发酵）、黑茶（后发酵）【普洱茶生茶（不发酵）普洱熟茶（后发酵）】按照干燥方式的不同，绿茶分为：炒青绿茶、烘青绿茶、晒青绿茶、蒸青绿茶四类。
乌龙茶按照地理位置不同分为四大类：闽北乌龙（福建武夷山一带）、闽南乌龙（福建安溪一带）、广东乌龙、台湾乌龙。
闽北乌龙又分为：闽北水仙和武夷岩茶两类。
其中武夷岩茶在历史上的四大名丛是：大红袍、水金龟、铁罗汉、白鸡冠；目前的三大当家品种是：大红袍、水仙（福建建瓯一带）、肉桂。
闽南乌龙代表有：铁观音、黄金桂、本山、毛蟹、闽南水仙、平和白芽奇兰、邵安八仙等。
广东五龙代表有：凤凰单枞、凤凰水仙、岭头单丛、岭头水仙等。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以被调整以满足约束条件并优化目标函数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合构成了可行域。
二、线性规划模型的建立1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是最大化还是最小化。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。
4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。
通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划问题。
通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。
四、线性规划的应用场景1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑资源限制和需求量，可以确定最佳的生产数量和产品组合。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，以达到最大的效益。
例如，可以通过线性规划确定最佳的人员调度、物资采购和设备配置方案。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
第一章线性规划
-1-第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1,x2, ..., xn为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，用于表示问题的解。
决策变量通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，用于限定解的可行域。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为常数，b1, b2, ..., bm为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、线性规划的解法线性规划问题可以通过以下几种方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图，找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
它从一个可行解开始，每次迭代都朝着更优的方向移动，直到找到最优解或证明问题无解。
3. 对偶理论：线性规划问题可以通过对偶理论转化为对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。
4. 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，问题称为整数线性规划。
整数线性规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
线性规划经典总结
线性规划一、 线性规划的有关概念1、 线性约束条件：由关于x ，y 的二元一次不等式组成的不等式组对自变量x 、y 进行约束，叫线性约束条件。
2、 线性目标函数：关于x 、y 的二元一次解析式z=f （x ，y ）叫线性目标函数。
3、 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
4、 可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）。
5、 可行域：所有可行解组成的集合。
6、 最优解：使得线性目标函数取得最大值或最小值的解（x ，y ）。
二、 图解法求线性规划问题最优解的一般步骤 1：由线性约束条件画出可行域；2：令z=0，再利用平移法找到最优解所对应的点;3：求出最优解所对应的点的坐标，代入目标函数，求出最大值或最小值； 4：通过检验是否符合题意，得出问题的答案。
三、 激活思维例1.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 则z=2x+y 的最大值为 。
沙场演练：1.若⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≥+0,0221352y x y x y x 则z=x —5y 的最大值为 。
2.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-0,005302>>y x y x y x ，则z=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2141的最小值为 。
四、解析几何中常见的几何意义例2.已知x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则（1）xy 的最值为 ； （2）()()2211+++y x 的最值为 ；（3）y x +的最值为 。
沙场演练：1已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是 。
2.在平面直角坐标系中，点p （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-≥12121x y x y ，所表示的平面区域内，则目标函数()()2212-++=y x z 的最小值为 。
3已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________.4已知实数,x y 满足112213y x y x ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，则214z x y =+的最大值为 ． 5已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥040522y x y x y ,则521-+=y x z 的最小值是______ 6设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则y x u x y =-的取值范围是_________． 7动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b a ω+-=-的取值范围是 ．五、目标函数中有参数例3.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>b a by ax z +=的最大值为12，则ba 32+的最小值为 。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
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线性规划知识点总结
1.线性规划的相关观点： ① 线性拘束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量 x ，y 的拘束条件，这组拘束条件都是对于 x ，y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．
② 线性目标函数：
对于 x ，y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量 x ，y 的分析式，叫线性目标函数．
③ 线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实质问题的步骤： （1）将数据列成表格；
（2）列出拘束条件与目标函数；
（3）依据求最值方法： ① 画：画可行域；
② 移：移与目标函数一致的平行直线； ③ 求：
求最值点坐标； ④ 答；求最值；
（4）考证 .
4. 两类主要的目标函数的几何意义 :
（1） -----直线的截距；
（2） -----两点的距离或
圆的半径；
④ 可行解、可行域和最优解：
（3）
-----直线的斜率
知足线性拘束条件的解（ x,y ）叫可行解．由
全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数
获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的
最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本
步骤：
（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面地区做
出可行域；。
线性规划总结
（2）斜率型目标函数: 目标函数为 型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，0）,( )连线的斜率
例4.设实数x,y满足 .
练习题：1、 设 满足约束条件 ，则 取值范围是
2、设变量 、 满足约束条件 ，则 最小值为
例2、已知x，y满足 ，则 的最大值为___________，最小值为____________．
练习题：1、如果实数 满足 ，目标函数 的最大值为12，最小
值为3，那么实数 为
2、若直线 上存在点 满足约束条件 ,则实数 的最大值为（ ）
【解析】选 约束条件对应 边际及内的区域：
则
例2、若 满足约束条件： ；则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应 边际及内的区域：
则
练习题：
1、设变量 满足 ，则 的最大值为（D）.
A．20B．35C．45D．55
2、若 满足约束条件 ，则 的最小值为。
答案：
3、【2012高考山东理5】已知变量 满足约束条件 ，则目标函数
（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．
题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形
例1、不等式组 表示的平面区域的面积是 ( )
(A)4 (B)4(C)2 (D)2
解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4
第五章 线性规划(全部)
第五章 线性规划●线性规划问题举例●线性规划的标准形式及图解法●线性规划的基本概念及基本性质●单纯形法●两阶段法及大M法修正单纯形法●线性规划的对偶理论对偶单纯形法§1 线性规划问题举例例1:某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，生1C三种类型的设备生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示，问题：工厂应种设备可利用的时数如下表所示问题工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？解：设变量i x为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。
目标函数 max z x x =+1215002500≤约束条件..s t x x +123265x x +≤12240x ≤2375 ,x x ≥≥1200例2 （运输问题）个制造厂要把若干单位的产品从一个制造厂要把若干单位的产品从,A A 12两个仓库发送到零售点,,,B B B B 1234。
仓库i A 能供应产品的数量为(,)i a i =12，零售点j B 所需产品的数量为b =1234假设能供应的总量等于需要的总(,,,)j j 。
假设能供应的总量等于需要的总i ja b =∑∑24。
且已知从仓库i A 运一个单位量，即1i j ==1且已知从仓库运个单位的产品到j B 的运价为ij c 。
问应如何安排运输，才能既满足各地的需要，又使所花费的运输总费用最小？解：假定运费与运量成正比。
设由仓库i A 运往零售点j B 的货物数量为ij x ，S 为运输总费用，则24min .. ij iji j ij i j S c x s t x a i ,======∑∑∑114112, , ij j i ij x b j ,,,x i ,j ,,,===≥==∑2112340121234j以上两个例子,从数学上来讲,它们的共同特征是:每个问题都用一组决策变量x x x (1) 每个问题都用组决策变量(,,,n 12)表示某一方案 ,这组未知数的值就代表一个具体的方案,通常要求这些未知数取值是非负的。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
线性规划
约束方程
约束方程的标准型
（1）目标函数最大 （2）约束条件为等式方程 （3）决策变量非负 （4）资源限量非负
3
三、线性规划的关键技术
（2）4X1-2X2-3X3=-6
-4X1+2X2+3X3=6
4
方程→矩阵
三、线性规划的关键技术
图解法
5
三、线性规划的关键技术
6
三、线性规划的关键技术
解
X1
X2
线性规划简介
一、什么是线性规划
二、线性规划的特征
三、线性规划的关键技术
1
一、什么是线性规划
针对一定规划基于线性约束的实现一些特定目标。
二、线性规划的特征
1.目标函数
2.线性约关键技术
1.确定决策变量 2.模型建立——目标函数建立 3.约束方程 4.线性规划求解 线性规划单纯形法 目标函数
X3
X4
X5
Z
基可行解
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 5 0 10 5 5 2
0 4 0 5 0 2.5 4 4
5 5 0 5 -5 0 0 3
10 2 5 0 0 0 -3 0
4 0 4 -1 4 1.5 0 0
5 17 10 20 15 17.5 22 19
√ √ √ × × √ × √
7
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细介绍。
二、基本概念1. 线性规划问题：线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
它包括目标函数、约束条件和决策变量。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，表示要最小化或最大化的目标。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。
4. 决策变量：线性规划的决策变量是需要决策的变量，它们的取值决定了目标函数的值。
三、模型建立1. 建立目标函数：根据问题的要求，将目标转化为线性函数，确定需要最小化或最大化的目标。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性不等式或等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，确定需要决策的变量及其取值范围。
四、解法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图形方法进行求解。
将约束条件绘制在坐标系上，通过图形的交点确定最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。
它将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过枚举法或分支定界法求解最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配方案，以满足各个需求的最大化或最小化。
3. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各个资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型，可以求解在一组线性约束条件下的最优化问题。
它的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。
掌握线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用，对于提高问题求解的效率和准确性具有重要意义。
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略一.线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.二.非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。
近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1． 比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6.答案A 2．.距离问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。
例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b-y 在轴y a z x b-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45. 3． 截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____解析 令，则此式变形为，z 可看作是动抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切时，z 最小，故答案为 4．.向量问题 例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值 解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.5线性变换问题例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.因此，平面区域B 的图形如图.其面积为S ＝12×2×1＝1.6线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是.解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
线性规划详细
二、 图解法
对模型中只含2个变量的线性规 划问题，可以通过在平面上作图 的方法求解。
一、图解法的步骤
1.等直线法
例 1： max z = 2x1 + 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12
x1，x2 0
1.建立平面直角坐标系；
2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可行解
在满足约束条件的所有x行解中求出使目标函数达到最大小z值的决策变量值xaxcx22211211某城市在一昼夜间市内交通需要车辆数如图对车辆的需求在昼夜间是变化的车辆的工作制度是一天连续工作8小时派车时间在各时间间隔的端点一旦派出就连续工作8小时
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 Matlab计算线性规划问题
0
x1
无界不一定无最优解
x2
例如：
min Z=60x1+50x2
2x1+4x2 ≥ 80 3x1+2x2 ≥ 60
x1，x2 ≥0
0
x1
X1=10, x2 =15
Z=1350
4. 无可行解（可行域为空集）
模型的约束条件之间存在矛盾，建模时有错误。
例如：
max Z=x1+2x2
-x1-x2≥2 2x1+x2≤4 x1，x2 ≥0
③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）
x1+2x2≤6
约 束
2x1+x2≤8
条 x2≤2
件 x2 -x1≤1
x1，x2≥0
资源限制 市场限制 非负限制
线性规划知识总结
线性规划知识总结线性规划知识总结1. ⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平⾯内不在直线上的点分成两部分，对于同⼀侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于⼆元⼀次不等式b kx y +≥表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的上⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于⼆元⼀次不等式b kx y +≤表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的下⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：⼆元⼀次不等式)0(0<>++或C By Ax 与⼆元⼀次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表⽰的平⾯区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性⽬标函数在线性⽬标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可⾏域。
（2）对⽬标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最⼤值（或最⼩值）时，z 也取得最⼤值（或最⼩值）；若b ＜0，则反之。
（3）⼀般地，可⾏域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代⼊边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值⼀般在可⾏域的顶点处取得；2. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值也可在可⾏域的边界上取得，即满⾜条件的最优解有⽆数个。
知识点⼀：⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->??-+≤表⽰的平⾯区域是（）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥??+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是________________。
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线性规划，想说懂你很容易
线性规划是近两年高考的必考内容。
学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。
而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。
1、目标函数形如z=ax+by 型：
例1（2008.全国Ⅱ）设变量满足约束条件：，
x y ，222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥则的最小值是（ ）
y x z 3-=A ． B ． C ． D ．2-4-6-8
-解：画出可行域（如图1），由可得，所以表示直线y x z 3-=331z x y -=
3z -的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，3
31z x y -=选D.
2、目标函数形如型：a
x b y z --=例2（2007.辽宁）已知变量满足约束条件x y ，201
70x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩
≤，≥，≤，则的取值范围是（ ）y x
A ．
B ．
C ．
D ．]6,59[[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦ ，，(][)36-∞+∞ ，，[36]
，解：画出可行域（如图2），
表示可行域内的点（x,y ）与原y x
点连线的斜率，求得A （1，6），C （）, 且求得29,25K OA =6，K OC =，所以，选A.5
9659≤≤x y 3、目标函数形如z=a bx+cy 型：例3.（2008.北京）若实数满足则的
x y ，1000x y x y x ⎧-+⎪+
⎨⎪⎩，，
，≥≥≤2
3x y z +=图1图2图3
最小值是（ ）A ．0B ．1C
D ．9
解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u 最小为0，则
的最小值是1.故选B.
23x y z +=4. 目标函数形如z=型：e
dx c by ax +++例4．已知x 、y 满足，则的取值范围是（ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥x y y x x 12340132+++x y x ）
A ．[1,5]
B ．[2,6]
C ．[2,10]
D ．[3,11]
解：做出可行域（如图4），因为，其中
1
)1(2
11)1(21132+++=++++=+++x y x y x x y x 可视作可行域内的点与点C （-1，-1）连线的斜率，且求得1
1++x y K CA =5，K CB =1，所以由图可知，所以选D.5111≤++≤x y 111
13≤++≤x y 5. 目标函数形如型：
22)()(b y a x z -+-=例5.已知x 、y 满足，求的最
⎩⎨⎧≥≥≤-+0
,0022y x y x 22)1()1(-+-=y x z 大值和最小值.
解：目标函数的几何意义是可行域的点（x ，y ）与点C （1，1）的距离（如图
5），由图形易知点C 与可行域内的点O （0，0）和A （2，0）的距离最大为，2而的最小值是点C 到直线的距离，所以=，=z 022=-+y x 55max z 2min z 5
5变式 已知x 、y 满足约束条件，求z =x 2+y 2的最大值和最小值，
⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-032093072y x y x y x 解：画出可行域（如图6），z =x 2+y 2表示可行域内的点与原点O 距离的平方，由图可知，|OA|最大，=（）2=61,最小值为点O 到直
max z 2265+线x+2y-3=0的距离的平方，=（
）2=.min z 4
1|3|+596. 目标函数形如z=|ax+by+c|型：
图4
图5
图6
例6. 已知x 、y 满足，求z =|x+2y-4|的最大值.
⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x 解：因为,所以z 可看作是可行域内任55
|42||42|⋅-+=-+=y x y x z 意一点（x,y ）到直线x+2y-4=0的距离的倍.由图7知，点C 到直5线x+2y-4=0的距离最大,由可得
C （7，9）所以
⎩⎨⎧=--=+-05202y x y x z max =|7+2×9-4|=21.
7. 目标函数形如z=ax 2+by 2型：
例7.已知变量x 、y 满足，求z=4x 2+y 2的最值
⎪⎩⎪⎨⎧
≥+-≤+≤2
61
y x y x y 解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），
由z=4x 2+y 2得，目标函数z 的几何意义是椭圆长轴的平
14
2
2
=+z y z x 方，当椭圆分别经过C （4，2），B （1，2，）时z
取最大值和最小值，=68，=8.此题还可以进一步引申，求z=4x 2-y 2的最值。
max z min z 图7图8。