结构动力学 振型分解法
第15讲 10_8~10 振型分解法1
3
2 (k11 θ m1 )Y1 k12Y2 Fp1 2 k 21Y1 (k 22 θ m2 )Y2 Fp 2
D0 (k11 2 m1 )( k 22 2 m2 ) k12 k 21 D1 (k 22 2 m2 ) Fp1 k12 Fp 2 D2 k 21Fp1 (k11 2 m1 ) Fp 2
y(x, t) Y(x) sin( t )
ω2
0 EI[ Y(x)] dx l 2 0 mY(x) dx
2
l
二、矩阵迭代法
二、矩阵迭代法
11 12 M 21 22 n1 n 2 m111 m212 m m2 22 1 21 m1 n1 m2 n 2
1 k11 y1 k12 y2 k1n yn FP1 (t ) m1 y 2 k 21 y1 k 22 y2 k 2 n yn FP 2 (t ) m2 y n k n1 y1 k n 2 y2 k nn yn FPn (t ) mn y
k 22 2 m2
0
Ky FP (t ) M y
方程组是耦联的.
坐标变换: y1 t A1(1)
y A
y t (1) 2 A2 (1) y t A n n
A`(12) A1( n ) 1 t ( 2) (n) 2 t A2 A2 ( 2) (n) An An n t
利用主振型的正交性,可得:
M 1 A MA 0
T
M2
振型分解反应谱法
结构设计系列之振型分解反应谱法苏义前言我国规范对于常规结构设计有两个方法：底部剪力法和振型分解反应谱法。
其中，底部剪力法视多质点体系为等效单质点体系，且其地震作用沿高度呈倒三角形分布，当结构层数较高或体系较复杂时，其计算假再用，因部剪时，其计算假定不再适用，因此规范规定底部剪力法仅适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
因此，一般结构均采用振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法的基本步骤：通过体系的模态分析，求出多自由度体系的振型通过体系的模态分析求出多自由度体系的振型向量、参与系数等等；然后把每个振型看作单自由度体系，求出其在规定反应谱的地震加速度作用下产生的地震效应；最后把所有振型的地震效应式进行叠，得到体系震应应按一定方式进行叠加，就会得到体系地震效应的解。
注意注意：振型分解反应谱法只适用于弹性分析，对于弹塑性体系，由于力与位移不再具有对应关系，性体系，由于力与位移不再具有一一对应关系，该法不再适用。
目录一模态分析二反应谱分析三振型组合方法四方向组合方法一、模态分析模态分析也被称作振型叠加法动力分析，是线性体系地震分析中最常用且最有效的方法。
它最主要的优势在于其计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦二阶平解阶微分方程，这样就明显减少了用于数值求解这些方程的计算时间。
模态分析为结构相关静力分析提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析和静力风荷载分析。
模态分析是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。
一、模态分析特征向量分析用于确定体系的无阻尼自由振动的模态和频率，分析这些自振模态是理解结构性能很好的工具。
下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解一下关下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解下关于无阻尼自由振动的一些基本概念。
一、模态分析对于一般的高层建筑，我们可以将其看作多自由度体系。
根据每个质点的力学平衡条件，建立每个质点的振动平衡方程式，联立这些方程式，即为多自由度体系的振动平衡方程组。
简述振型分解法的概念
简述振型分解法的概念
振型分解法是一种用于解决结构动力学问题的数学方法。
它的主要思想是将结构的振动模式分解为基本的单自由度系统，然后将这些系统的响应组合起来得到结构的全局响应。
在振型分解法中，每个单自由度系统都由一个质点和一个弹簧所组成。
通过求解这些单自由度系统的响应，可以推导出结构的整体响应。
这种方法的优点在于，它可以用数学上简洁的方式描述结构的振动特性，并可以直观地解释结构的响应模式。
振型分解法的应用领域非常广泛，特别是在建筑工程和机械工程中。
它可以用于分析结构在地震、风力和其他自然灾害下的响应，以及在车辆、飞机和船舶等交通工具的振动特性等方面。
总之，振型分解法是一种非常重要的数学方法，可以帮助工程师和科学家更好地了解结构的振动特性，并制定更加有效的控制和优化策略。
- 1 -。
盈建科采用振型分解反应谱法
盈建科采用振型分解反应谱法振型分解反应谱法是盈建科在结构动力学领域应用的一种方法，该方法可用于分析建筑物在地震作用下的反应，以及评估结构的抗震性能。
本文将详细介绍盈建科采用振型分解反应谱法的原理、步骤和应用案例，以便更好地理解和应用该方法。
首先，我们来了解振型分解反应谱法的原理。
该方法基于振型分解原理，通过将结构动力学问题转化为模态坐标下的一系列单自由度系统，进而求解得到结构的振动模态及其对地震激励的响应。
通过振型分解，我们可以更清晰地了解结构的各个振动模态对地震荷载的响应程度，从而为结构的设计和抗震评估提供依据。
接下来，我们将介绍盈建科采用振型分解反应谱法的具体步骤。
首先，需要确定结构的振型和振型参数。
这可以通过有限元分析、实测数据或者经验公式等方法来获取。
然后，我们可以得到结构的振型矩阵和振型频率。
接下来，需要求解各个模态下的约化质量、模态合成系数和模态质量参与系数。
最后，将得到的各个模态的反应谱与相关地震谱进行叠加计算，得到结构在地震作用下的反应谱。
除了上述步骤，盈建科还将振型分解反应谱法应用于多个工程案例中。
以某高层建筑为例，盈建科使用该方法对其进行抗震性能评估。
通过振型分解反应谱法的分析，我们得到了该建筑在不同振动模态下的反应值，进而评估了其在地震作用下的结构安全性。
通过该方法，我们发现了一些振动模态下结构的薄弱部位，并进行了相应的结构加固设计，确保了建筑在地震中的稳定性和安全性。
总结起来，盈建科采用振型分解反应谱法是一种有效的结构动力学分析方法。
通过该方法，我们可以更清晰地了解结构的振动模态及其对地震荷载的响应，为结构的设计和抗震评估提供依据。
通过应用实例的案例分析，我们证明了该方法在工程实践中的可行性和有效性。
盈建科将继续致力于研究和应用结构动力学领域的先进方法，为建筑行业的发展做出贡献。
§10-7--振型分解法
... 0 ... 0 ... ... ... M n
0 0 ... ... K n
广义刚度矩阵 (对角矩阵)
主振型矩阵的性质：当[M]和[K]为非对角矩阵时，如果前乘 以[Y]T、后乘以[Y]，这可以使它们转换为对角矩阵[M*]、 [K*]。利用主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方 程变为简单形式。
n (i )
8
例：图示简支梁EI=常数, θ=0.6ω1, 求动位移幅值。
P sin t
m l/3 l/3 m l/3
例1：图示简支梁EI=常数, θ=0.6ω1, 求动位移幅值。 解：1) 求柔度系数 4l 3 7l 3 δ11 δ22 , δ12 δ21 243EI 486 EI 15ml 3 λ1 (δ11 δ12 )m 486 EI ml 3 λ2 (δ11 δ12 )m 486 EI
i j i j
5
广义质量矩阵 (对角矩阵)
M 1 0 [ M ] [Y ]T [ M ][Y ] ... 0
K1 0 [ K ] [Y ]T [ K ][Y ] ... 0
0 M2 ... 0
0 ... K 2 ... ... ... 0
1
第10章 结构动力计算基础 主要内容
§10-1 动力计算的特点和动力自由度 §10-2 单自由度体系的自由振动 §10-3 单自由度体系的强迫振动 §10-4 阻尼对振动的影响 §10-5 多自由度体系的自由振动 §10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 §10-7 振型分解法
2
(1) 主坐标 任意一个位移向量{y}都可按主振型展开：
1 (2) Y 1
振型分解法描述
采用振型分解反应谱法时，对于不进行扭转耦联计算的结构，结构j振型i质点的水平地震作用标准值，按下列公式计算：(i=1,2，…n， j=1,2，…n （2-5）式中：——相应于j振型自振周期的地震影响系数，按图2-1确定；——j振型i质点的水平相对位移；——集中于质点i的重力荷载代表值；——j振型的参与系数，对于进行扭转耦联计算的结构，各楼层可取两个正交的水平位移和一个转角共三个自由度。
结构j振型i层的水平地震作用标准值，按下列公式计算：（2-6a）（2-6b）（2-6c）式中：，，——分别为j振型i层的x方向、y方向和转角方向的地震作用标准值；，——分别为j振型i层质心在x、y方向的水平位移；——j振型i层的相对扭转角；——i层转动半径，可取i层绕质心的转动惯量除以该层质量的商的正二次方根：——计入扭转的j振型的参与系数，可按下式确定：当仅取x方向地震作用时：（2-7）当仅取y方向地震作用时：（2-8）当取与x方向斜交的地震作用时：（2-9）式中：、——分别为由式（2-7）、（2-8）求得的参与系数；——地震作用方向与x方向的夹角。
地震作用效应的组合：按上述方法求出相应于j振型i质点的水平地震作用后，即可用一般结构力学方法计算相应于各振型时结构的弯矩、剪力、轴向力和变形，这些统称为地震作用效应，用表示第j振型的作用效应。
由于相应于各振型的地震作用均为最大值，所以相应各振型的地震作用效应也为最大值，但结构震动时，相应于各振型的最大地震作用效应一般不会同时发生，因此，在求结构总的地震效应时不应是各振型效应的简单代数和，由此产生了地震作用效应如何组合的问题，或称为振型组合问题。
建筑设计规范规定当不考虑平扭耦合影响时，水平地震作用效应按照平方和平方根法（SRSS）的公式确定：（2-10）式中：——水平地震作用标准值的效应；——j振型水平地震作用标准值的效应。
当考虑平扭耦合影响时，单向水平地震作用的扭转按照完全二次项平方根法（CQC）的公式确定：（2-11）（2-12）式中：——地震作用标准值的扭转效应：、——分别为j、k振型地震作用标准值的效应；、——分别为j、k振型的阻尼比；——j振型与k振型的耦联系数；——k振型与j振型的自振周期比。
河南城建学院 结构力学 结构动力学(6)
(2)式可改写为：
~ ~ ~ k x F ( t ) m1 x 1 1 1 P1
(3)
第一振型相应的频率为：
~ ~ k 1 m1
2 1
相同方法推广至第二振型或多自由度体系：
~ mi ( ( i ) )T M ( i ) , ~ k i ( ( i ) )T K ( i ) , ~ FPi ( t ) ( ( i ) )T FP ( t ). ~ ~ ~ k x F ( t ) 相应的运动微分方程： m i xi i i Pi
m( x) y
0
l
( x)dx mi y
2 i
(10-56)
假设一个位移幅值函数y(x)代入上式求频率。
通常可取结构在某个静荷载（如自重）作用下的弹性曲线作 为 y（x）的近似表达式。此时应变能可用外力功来代替，即
V max 1 l 1 n m( x) gy ( x)dx mi gyi 2 0 2 i 1
这种可以使微分方程解除耦联关系的坐标称为正则坐标，它是 一种广义坐标。振型分解法也称为振型叠加法或正则坐标法。 以两个自由度为例作如下说明。
质点的位移可用向量
y ( y1
y 表示。 T y 2 ) y 1 e1 y 2 e2
1 )T
2
若改用振型 1 、 2 为基底，位移向量表示为：
则
2
m( x) gy( x)dx m gy
l 0
n
l
0
m( x) y 2 ( x)dx mi yi2
i 1
i 1 n
i集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质 量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单 的是静力等效的集中质量法。
振型分解法的基本原理
振型分解法的基本原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊振型分解法的基本原理。
你看啊，这振型分解法就像是一个神奇的魔法工具。
咱可以把一个复杂的结构想象成一个大合唱团，每个成员就是结构的一部分。
而振型呢，就像是每个成员独特的唱歌方式。
这些振型可不是随便来的，它们就像是经过精心挑选的主唱、和声等等。
每个振型都有自己的特点和作用。
当这个大合唱团开始表演时，不同的振型就会按照自己的节奏和旋律来歌唱。
那这和我们的振型分解法有啥关系呢？其实啊，我们就是要把这个复杂的结构的振动给分解成一个个单独的振型的振动。
这就好比我们把合唱团的表演分解成每个成员的歌声。
这样做有啥好处呢？嘿嘿，这可就厉害了！一旦我们分解好了，我们就能更清楚地了解这个结构在振动时的各种表现。
就好像我们能清楚地听到每个成员的歌声，知道谁唱得好，谁可能有点跑调。
而且啊，通过振型分解，我们还能更好地预测这个结构在不同情况下的反应。
这不就跟我们了解了每个成员的唱歌风格，就能猜到他们在不同歌曲中的表现一样吗？你说神奇不神奇？这振型分解法不就是在帮我们解开结构振动的秘密嘛！再想想，要是没有振型分解法，我们面对那些复杂的结构振动，不就像听一团乱糟糟的噪音一样，完全摸不着头脑？但有了它，一切都变得清晰明了啦！我们可以根据这些分解出来的振型，来设计更稳定、更安全的结构。
就好像根据每个成员的特点，来打造一场完美的音乐会一样。
这不就是科技的魅力吗？让我们能更深入地了解这个世界，解决那些看似复杂无比的问题。
所以啊，朋友们，振型分解法真的是太重要啦！它就像一把钥匙，能打开结构振动这个神秘宝库的大门。
让我们能在这个领域里畅游，探索更多的奥秘。
你们说，这振型分解法是不是超级厉害的呀！。
振型分解法
n n
xi
i 1,2, N
j 1
j 1
xg(t)
mi m ( i xi xg )
cx k x mI g (t ) m x x
1 1 2
xi (t ) x ji D j (t )
j 1
N
x t q (t ) q (t )
2 1 2
已知
Dj (t ) 2 j j Dj j2 Dj (t ) j xg (t )
X M X j
T j
X j M I
T
g (t ) x
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
n
X M X j
T j
i ji
X j M I
T
g (t ) x
X M I j X Tj M X j
T
* * X j M I C K j j g (t ) D j (t ) Dj D j (t ) x * * * Mj Mj Mj T
2 * K* j jM j
* C* j 2 j j M j
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
振型
质点
x X sin t
1 11 11 1
x X
1 12
12
sin t
1 1 1
x12 X 12 m11 k11 1 x11 X 11 k12
2
这一比值不仅与时间无关，位移比值始终 保持不变。这种振动形式称为振型。按 1振动时称为 第一振型，按 2振动时称为第二振型。
振型分解法与振型分解反应谱法的区别
振型分解法与振型分解反应谱法的区别振型分解法和振型分解反应谱法都是结构动力学中常用的分析方法，用于评估结构在地震作用下的响应。
两种方法具有一些相似之处，但也存在一些区别。
首先，我们来看看振型分解法。
振型分解法是一种基于结构模态的分析方法。
它通过将结构的动态响应分解为一系列模态振型的叠加来分析结构的反应。
振型分解法的基本思想是将结构的响应表示为一组相互独立振动的模态组合。
这些模态是结构自由振动的解，在没有外界作用力的情况下，结构只以某一特定的频率和振形振动。
对于一个多自由度的结构，它的振型是通过解析解或数值解的方式获得的。
振型分解法需要结构的动力特性，如模态频率、阻尼比等。
而振型分解反应谱法则是将振型分解法与反应谱法相结合的一种方法。
反应谱是反映结构对地震作用的响应特点的一种图表。
它描述了结构所经历的最大加速度、最大速度、最大位移等物理量的随时间变化关系。
振型分解反应谱法的基本思想是将结构的反应谱表示为一系列模态反应谱的叠加。
与传统的反应谱法不同的是，振型分解反应谱法考虑了结构的振形特性。
它将结构响应分解为一组模态响应，每个模态振型都有自己的模态反应谱。
通过分解得到的模态响应与各自的模态反应谱相乘，再相加得到结构的总反应谱。
振型分解法和振型分解反应谱法在一些方面存在相似之处。
首先，它们都基于结构的模态特性进行分析。
无论是振型分解法还是振型分解反应谱法，都需要得到结构的振型信息。
其次，它们都可以用于评估结构在地震作用下的响应。
通过分析结构的振型和模态反应谱，可以得到结构在地震作用下的最大响应，从而进行结构的设计和安全评估。
然而，振型分解法和振型分解反应谱法也存在一些区别。
首先，振型分解法更侧重于分析结构的模态特性和振型信息，它可以用于计算结构的自由响应。
而振型分解反应谱法更侧重于评估结构在地震作用下的受力情况，它可以用于计算结构的响应谱。
其次，振型分解法可以考虑结构的阻尼特性，通过引入阻尼比来计算结构的响应。
振型分解反应谱法的基本原理
振型分解反应谱法的基本原理
振型分解反应谱法是一种结构动力学分析的方法，它的基本原理是将结构的振动以基本的振型分解为不同的模态或振型。
这种方法可以帮助工程师和研究人员了解结构的动力响应，并用于结构的设计和评估。
基本原理包括以下几个步骤：
1.振型识别：首先需要测量或计算出结构的自由振动模态，也可以使用一些模态试验技术来获取结构的振型信息。
2.数据处理：通过原始的动力学数据，如加速度或位移观测值，采用数学方法进行处理，提取出结构的振型特性。
3.振型分解：利用模态分解方法将结构的振动模态分解为独立的振型，也就是将结构的动力响应分解为各个模态的贡献。
4.振型参数识别：根据各个模态的特性，如频率、阻尼、模态形状等参数，识别各个振型对结构响应的作用，以便更好地理解和评估结构的动力响应。
振型分解法
振型分解法
振型分解法
modal analysis method
以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应，然后将对应于各阶振型的结构反应相组合，以确定结构地震内力和变形的方法。
又称振型叠加法。
振型分解反应谱法
1、定义
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
2、适用条件
（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）
（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
结构动力学 振型分解法
~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
于是有n 于是有n 个独立方程
~ ~ ~ ɺɺ M iα i + K iα i = Fi ~ F ɺɺi + ω 2 iα i = ~i α Mi
方程的解： 方程的解： （1）.同频荷载作用下
§14-8 多自由度体系在任意动力荷载 作用下的受迫振动分析——振型分解法 作用下的受迫振动分析 振型分解法
1. 问题的提出
多自由度结构受迫振动和微分方程：
[M ]{ɺɺ(t )}+ [K ]{y (t )} = {F (t )} y
这是一个关于y的两阶常系数线性非齐次微分方程组。 K为非对角矩阵，方程组为联立的，耦联的（不是一个方程只 含一个未知量） 干挠力是任意动载，微分方程的解很难求。
加速度
ɺ {ɺɺ(t )} = [Φ ]{αɺ} = [{Φ 1 } y
{Φ }
2
⋯
{Φ }]
n
代入原方程 前乘 [Φ ]T 展开
ɺ [m][Φ]{αɺ}+ [k ][Φ]{α } = {F (t )}
~ ɺɺ α 1 K1 ɺɺ α 2 + ⋮ ⋱ ~ ɺɺ M n α n
α i = Ai sin(θt
（2）.任意荷载作用下 最终解： 最终解：
{y(t )} = [Φ]{α }
1 ~ α i = ~ ∫ Fi (τ ) sin(ωi (t − τ )dτ M i ωi 0
t
~ M 1
~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
振型分解法名词解释
振型分解法名词解释
你知道啥是“振型分解法”不？听我给你讲讲哈。
有一回啊，我看到一栋高楼在大风中摇晃。
我就有点担心，这楼会不会倒啊？后来我听一个学建筑的朋友说，不用担心，这楼在设计的时候就考虑了各种情况，其中就用到了振型分解法。
振型分解法呢，就是把一个复杂的结构振动问题分解成一个个简单的振动模式来分析。
比如说，一栋高楼在地震或者大风中会产生各种不同的振动，但是这些振动可以分解成一些特定的模式，就像把一个大问题拆成了小问题。
我记得朋友还给我举了个例子，就像你玩拼图游戏。
一个大拼图很难一下子拼好，但是你可以把它分成几个小块，一个一个地拼，这样就容易多了。
振型分解法就是把复杂的结构振动问题分成一个个小问题来解决。
在生活中啊，虽然我们不一定会直接用到振型分解法，但是了解一下还是很有意思的。
比如说，我们解决一个复杂的问题的时候，也可以试试把它分解成几个小问题，一个一个地解决。
所以啊，振型分解法就是一种解决复杂结构振动问题的方法。
嘿
嘿。
振型分解法
振型分解法
振型分解法是一种将非周期信号表示为一组基本振型叠加的方法。
这种方法可以用于信号处理、图像处理、文本处理等领域。
振型分解法的基本思想是，将一个复杂的信号分解成若干个简单振型的线性组合形式，即：
f(t) = a1(t)v1(t) + a2(t)v2(t) + ... + an(t)vn(t) 其中，ai(t)是时间函数，称为系数函数；vi(t)是时间函数，称为振型函数。
通过选取适当的基本振型，可以得到较好的信号重构效果。
振型分解法的具体步骤如下：
1. 选择一组基本振型，通常选择正弦函数、余弦函数、高斯函数等。
2. 利用最小二乘法或者正交化方法来确定各个基本振型的系数函数。
3. 将系数函数和对应的振型函数线性组合，得到原始信号的近似值。
4. 对剩余误差进行迭代修正，直至误差满足要求。
振型分解法在信号处理中有广泛的应用，可以用于噪声去除、特征提取、模式识别等方面。
由于其可解释性好、计算简单等优点，也成为了近年来研究的热点之一。
振型分解反应谱法求结构的最大位移和底部最大剪力_概述说明以及解释
振型分解反应谱法求结构的最大位移和底部最大剪力概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文讨论的是振型分解反应谱法在求解结构的最大位移和底部最大剪力方面的应用。
在工程设计和结构分析中，了解结构的抗震性能是至关重要的，因为地震荷载可能会对结构造成巨大影响。
因此，准确估计结构在地震作用下的位移和剪力变化对于设计可靠、安全稳定的建筑物至关重要。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行详细介绍。
首先，在引言部分我们将概述本文的主题和研究目的。
然后，我们将详细讨论振型分解反应谱法的理论基础、求解过程以及其应用范围与限制。
接着，在第三部分中，我们将探讨如何使用等效静力法原理来求解结构的最大位移，并给出相应的求解步骤和计算公式。
第四部分将重点研究底部最大剪力的求解，包括底部剪力分布特点、剪力计算方法及公式导出过程，并通过数值模拟和实验验证结果对比来进行进一步分析。
最后，我们将在结论与展望部分总结主要研究结论，并对存在问题提出改进方向的展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍和解释振型分解反应谱法在求解结构最大位移和底部最大剪力中的应用。
通过阐述相关理论基础、求解过程以及实例分析，旨在为工程师和研究人员提供一种有效的方法来评估建筑物在地震作用下的抗震性能。
此外，本文还将探讨该方法存在的限制，并提出改进方向，以促进该领域未来的研究和应用发展。
2. 振型分解反应谱法2.1 理论基础振型分解反应谱法是结构动力学中常用的一种分析方法，通过将结构的地震作用响应按照不同振型进行分解，进而求解结构在各个振型下的最大位移和底部最大剪力。
该方法基于以下两个理论基础：首先是振型理论。
振型是描述结构在地震激励下的运动状态的数学函数形式。
结构可通过特征向量与自由振荡频率确定其对应的振型形态。
其次是反应谱理论。
反应谱是一种表征动力响应强度与频率关系的曲线。
通过将地震输入转化为加速度-频率坐标系上的曲线，可以获取到某个特定周期（频率）下结构对地震作用响应的峰值。
振型分解反应谱法公式推导过程
振型分解反应谱法公式推导过程一、振型分解反应谱法基本原理。
1. 多自由度体系的运动方程。
- 对于一个具有n个自由度的线性弹性结构体系，在地震作用下的运动方程为：M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)其中，M为质量矩阵（n× n阶），C为阻尼矩阵（n× n阶），K为刚度矩阵（n× n阶），ẍ(t)、ẋ(t)和x(t)分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量（n维），ẍ_g(t)为地震地面加速度时程，1是元素全为1的列向量。
2. 振型分解。
- 假设多自由度体系的位移x(t)可以按照体系的振型φ_j（j = 1,2,·s,n）进行分解，即：x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)其中，φ_j为第j阶振型向量（n维），q_j(t)为第j阶广义坐标（标量）。
- 将x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)代入运动方程M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)，然后左乘φ_i^T（φ_i的转置向量），得到：φ_i^TM∑_j = 1^nφ̈_jq_j(t)+φ_i^TC∑_j = 1^nφ̇_jq_j(t)+φ_i^TK∑_j = 1^nφ_jq_j(t)=-φ_i^TM1ẍ_g(t)- 由于振型具有正交性，即φ_i^TMφ_j=0（i≠ j），φ_i^TKφ_j=0（i≠ j），并且对于比例阻尼C = α M+β K，也有φ_i^TCφ_j=0（i≠ j）。
- 当i = j时，定义广义质量M_j^*=φ_j^TMφ_j，广义刚度K_j^*=φ_j^TKφ_j，广义阻尼C_j^*=φ_j^TCφ_j，则对于第j阶振型，有：M_j^*q_j(t)+C_j^*q_j(t)+K_j^*q_j(t)=-φ_j^TM1ẍ_g(t)进一步化为标准形式：q_j(t)+2ξ_jω_j q_j(t)+ω_j^2q_j(t)=-frac{φ_j^TM1}{M_j^*}ẍ_g(t)其中，ω_j=√((K_j)^*)/(M_{j)^*}为第j阶圆频率，ξ_j=frac{C_j^*}{2M_j^*ω_j}为第j阶阻尼比。
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近规范限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近规范限值时，应采用加强结构外围刚度的方法重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
规范下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，避免结构的失稳截面面积。
长细比长细比=计算长度/回转半径。
所以很显然，减小计算长度或者加大回转半径即可。
这里需要注意的是，计算长度并非实际长度，而是实际长度乘以长度系数，长度系数则与柱子两端的约束刚度有关。
说白了就是要看与柱相连的梁或者基础是否给力，如果这些构件的刚度越高，那么长度系数就越小，柱子的计算长度也就越短。
振型分解法的计算步骤
振型分解法的计算步骤振型分解法是一种用于解析和分析物体振动的方法，可以将复杂的振动现象拆分成多个简单的振动模式。
通过振型分解法，我们可以更好地理解和描述振动现象，并可以用振型分解的结果来进一步计算和分析。
1. 确定振动系统：首先，我们需要明确要分析的振动系统。
这个系统可以是一个简单的弹簧-质量系统，也可以是一个复杂的结构体系。
2. 建立振动方程：根据振动系统的特点和所受的外力，我们可以建立振动方程。
振动方程描述了系统在给定条件下的振动行为。
3. 求解特征方程：根据振动方程，我们可以得到一个特征方程。
解这个特征方程，我们可以得到系统的特征频率和相应的特征振型。
4. 振型分解：根据系统的特征频率和特征振型，我们可以将系统的振动分解为多个简单的振型。
每个振型都有自己的特征频率和振型形状。
5. 确定振型系数：对于给定的初始条件，我们可以通过求解初始值问题来确定每个振型的振型系数。
振型系数描述了每个振型在系统中的相对重要性。
6. 求解系统响应：根据振型系数和每个振型的解析表达式，我们可以求解系统在任意时间下的响应。
系统的响应可以是位移、速度、加速度等。
7. 分析结果：根据系统的响应，我们可以进一步分析系统的振动特性。
例如，我们可以计算系统的能量、频谱等。
振型分解法的优点是可以将复杂的振动现象简化为多个简单的振型，使振动问题的分析和计算更加简单和直观。
通过振型分解，我们可以更好地理解和描述振动现象，并可以预测和控制振动行为。
振型分解法的应用非常广泛，可以用于分析和设计各种振动系统，例如建筑结构、机械设备、声学系统等。
振型分解法在结构动力学、振动工程等领域有着重要的应用价值。
振型分解法是一种用于解析和分析振动现象的方法，通过将系统的振动分解为多个简单的振型，我们可以更好地理解和描述振动行为。
通过振型分解法，我们可以进一步计算和分析系统的振动特性，并可以预测和控制振动行为。
振型分解法在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
振型分解反应谱法具体解释
制作人 路建波
振型分解反应谱法
什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足
什么是振型分解反应谱法
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系， 利用振型分解和振型正交性的原理，将 求解n个自由度弹性体系的地震反应分解 为求解n个独立的等效单自由度弹性体系 的最大地震反应，进而求得对应于每一 个振型的作用效应(弯矩、剪力、 轴向 力)，再按一定法则将每个振型的作用效 应组合成总的地震作用效应进行截面抗 震验算。
振型分解反应谱法的基本假设
结构物的反应是弹性的，可以采用叠家 加原理进行振型组合。 反应谱的假定，现有的反应谱是在结构 的所有支撑处的地震动完全相同，基础 与土壤无相互作用，即标准反应谱。 结构物最不利的地震反应为最大的地震 反应，而与其他的动力反应参数无关。
振型分解反应谱法的理论依据
达朗贝尔原理(列动力平衡方程) 振型正交性 叠加原理 哈米顿原理
计算过程
将结构简化，建立n自由度结构的频率方程，求出 n个频率及周期
x(t ) M I xg (t ) M x(t ) C x(t ) K
补充
振型分解反应谱法常用于计算水平地震 作用，且前面所讲的是未考虑扭转振动 的影响，同志们可以参考相关资料得到 相应考虑扭转振动影响的计算过程。
参考文献
东南大学，建筑结构抗震设计 胡聿贤，地震工程学 卢存恕等，建筑抗震设计实例 王焕定,结构力学 朱伯龙等，建筑结构抗震设计原理
振型分解反应谱法的理论依据哈米顿原理计算过程将结构简化建立n自由度结构的频率方程求出n个频率及周期综合该地区抗震设防烈度及地震分组和反应谱确定每个振型地震影响系数计算第j振型第i个质点的水平作用然后将各个质点处的作用力叠加计算各振型层间剪力因为各个振型求出的是最大的反应需将其组合该方法只能是在结构弹性范围内计算未考虑结构的塑性状态并且该方法也没有考虑时间因素只是计算了过程中最大的加速度作为控制因素
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加速度
ɺ {ɺɺ(t )} = [Φ ]{αɺ} = [{Φ 1 } y
{Φ }
2
⋯ ]T 展开
ɺ [m][Φ]{αɺ}+ [k ][Φ]{α } = {F (t )}
~ ɺɺ α 1 K1 ɺɺ α 2 + ⋮ ⋱ ~ ɺɺ M n α n
2. 问题的解决的思路
通过变量代换进行方程解耦，使每一个方程只有一个未知量。
先看力法求解的广义未知力法
δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1 p = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0
X 1 =Y 1+Y2
X 2 =Y 1−Y2
可见：通过变量代换，使联立 方程组变成了独立的，只含 一个未知量的方程，从而简 化了计算工作量。 我们也得到启示，能否利用振 型重新组合未知量，达到解 耦联立方程组。
方程的解： 方程的解： （1）.同频荷载作用下
折算体系
展开
~ M 1
~ M2
~ ɺɺ α 1 K1 ɺɺ α 2 + ⋮ ⋱ ~ ɺɺ M n α n
~ K2
~ α 1 F1 ~ α 2 = F2 ⋮ ⋮ ⋱ ~ ~ K n α n Fn
~ M 1
~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
于是有n 于是有n 个独立方程
~ Fi (t )
~ Mi ~ Ki
Φi
~ ~ ~ ɺɺ M iα i + K iα i = Fi ~ F ɺɺi + ω 2 iα i = ~i α Mi
′ δ ′11 1 + ∆1 p = 0 Y
δ ′ 22Y2 + ∆ ′2 p = 0
运动方程 设位移
[M ]{ɺɺ(t )}+ [K ]{y(t )} = {F (t )} y
{y ( t )} = [ Φ ]{α } = [{Φ 1 }
{Φ }
2
⋯
{Φ }]
n
α 1 α 2 ⋮ α n
§14-8 多自由度体系在任意动力荷载 作用下的受迫振动分析——振型分解法 作用下的受迫振动分析 振型分解法
1. 问题的提出
多自由度结构受迫振动和微分方程：
[M ]{ɺɺ(t )}+ [K ]{y (t )} = {F (t )} y
这是一个关于y的两阶常系数线性非齐次微分方程组。 K为非对角矩阵，方程组为联立的，耦联的（不是一个方程只 含一个未知量） 干挠力是任意动载，微分方程的解很难求。
α i = Ai sin(θt + ϕ )
~ Fi 1 Ai = ~ 2 M iωi 1 − β 2
（2）.任意荷载作用下 最终解： 最终解：
{y(t )} = [Φ]{α }
1 ~ α i = ~ ∫ Fi (τ ) sin(ωi (t − τ )dτ M i ωi 0
t
~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
于是有n 于是有n 个独立方程
~ ~ ~ ɺɺ M iα i + K iα i = Fi ~ F ɺɺi + ω 2 iα i = ~i α Mi
方程的解： 方程的解： （1）.同频荷载作用下
ɺɺ α 1 αɺ ɺ 2 ⋮ αɺn ɺ
ɺ [Φ ]T [m][Φ ]{αɺ}+ [Φ ]T [k ][Φ ]{α } = [Φ ]T {F (t )}
~ M2 ~ K2 ~ α 1 F1 ~ α 2 = F2 ⋮ ⋮ ⋱ ~ ~ K n α n Fn