结构动力学 振型分解法

~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
于是有n 于是有n 个独立方程
~ ~ ~ ɺɺ M iα i + K iα i = Fi ~ F ɺɺi + ω 2 iα i = ~i α Mi
方程的解： 方程的解： （1）.同频荷载作用下
方程的解： 方程的解： （1）.同频荷载作用下
折算体系
展开
~ M 1
~ M2
~ ɺɺ α 1 K1 ɺɺ α 2 + ⋮ ⋱ ~ ɺɺ M n α n
~ K2
~ α 1 F1 ~ α 2 = F2 ⋮ ⋮ ⋱ ~ ~ K n α n Fn
§14-8 多自由度体系在任意动力荷载 作用下的受迫振动分析——振型分解法 作用下的受迫振动分析 振型分解法
1. 问题的提出
多自由度结构受迫振动和微分方程：
[M ]{ɺɺ(t )}+ [K ]{y (t )} = {F (t )} y
这是一个关于y的两阶常系数线性非齐次微分方程组。 K为非对角矩阵，方程组为联立的，耦联的（不是一个方程只 含一个未知量） 干挠力是任意动载，微分方程的解很难求。
′ δ ′11 1 + ∆1 p = 0 Y
δ ′ 22Y2 + ∆ ′2 p = 0
运动方程 设位移
[M ]{ɺɺ(t )}+ [K ]{y(t )} = {F (t )} y
{y ( t )} = [ Φ ]{α } = [{Φ 1 }
{Φ }
2
⋯
{Φ }]
n
α 1 α 2 ⋮ α n
ɺɺ α 1 αɺ ɺ 2 ⋮ αɺn ɺ
ɺ [Φ ]T [m][Φ ]{αɺ}+ [Φ ]T [k ][Φ ]{α } = [Φ ]T {F (t )}
~ M2 ~ K2 ~ α 1 F1 ~ α 2 = F2 ⋮ ⋮ ⋱ ~ ~ K n α n Fn
~ M 1
~ ---i M i ---i振型广义质量 ~ ---i K i ---i振型广义刚度 ~ ---i F i ( t ) ---i振型广义荷载
于是有n 于是有n 个独立方程
~ Fi (t )
~ Mi ~ Ki
Φi
~ ~ ~ ɺɺ M iα i + K iα i = Fi ~ F ɺɺi + ω 2 iα i = ~i α Mi
2. 问题的解决的思路
通过变量代换进行方程解耦，使每一个方程只有一个未知量。
Hale Waihona Puke Baidu
先看力法求解的广义未知力法
δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1 p = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0
X 1 =Y 1+Y2
X 2 =Y 1−Y2
可见：通过变量代换，使联立 方程组变成了独立的，只含 一个未知量的方程，从而简 化了计算工作量。 我们也得到启示，能否利用振 型重新组合未知量，达到解 耦联立方程组。
α i = Ai sin(θt + ϕ )
~ Fi 1 Ai = ~ 2 M iωi 1 − β 2
（2）.任意荷载作用下 最终解： 最终解：
{y(t )} = [Φ]{α }
1 ~ α i = ~ ∫ Fi (τ ) sin(ωi (t − τ )dτ M i ωi 0
t
加速度
ɺ {ɺɺ(t )} = [Φ ]{αɺ} = [{Φ 1 } y
{Φ }
2
⋯
{Φ }]
n
代入原方程 前乘 [Φ ]T 展开
ɺ [m][Φ]{αɺ}+ [k ][Φ]{α } = {F (t )}
~ ɺɺ α 1 K1 ɺɺ α 2 + ⋮ ⋱ ~ ɺɺ M n α n