高一数学教案：苏教版高一数学三角函数的周期性

课题：三角函数的周期性

教学目标：1 •使学生理解函数周期性的概念。

2 •使学生掌握简单三角函数的周期的求法.

3 •培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

教学重点：函数周期性的概念.

教学难点：周期函数与最小正周期的意义。

课时安排：一课时

授课类型：新授课

教学过程与设计：

一、问题情境：

1、引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k.时，所

得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的

这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函

数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性.

2、问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？

二、建构数学

(一)、周期函数定义

1、我们先看函数周期性的定义.

定义对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一

个值时，f (x・T)二f (x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期•

2、需要注意的几点：

①T是非零常数。

②任意x • D，都有x D , T = 0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必

要条件。

③任取D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。

理解定义时，要抓住每一个x都满足f (x +T) = f (x),成立才行

周期也可推进，若T是y=f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期•这是因为

f (2T x) = f[T (T x)] = f (t x) = f (x)，若T 是y 二f (x)的周期，k Z 且k = 0, 则kT也是f(x)的周期.即2是函数y =sin x和y = cos x的周期，那么2k二(k ：=Z且k =0)也是y =sin x和y = cosx 的周期.

3：： 3 二

如: sin(4/sin(4),sin q ?)"(?,

J[ TE JI JI 、

但sin( )=sin , 不是y = sinx的周期.

6 2 6 2

(二)、最小正周期的概念.

对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)

的最小正周期.

例如函数y = Sin X的周期中，2n , —2n , 4 n , — 4 n ,…，存在最小正数2 n ,那么，

2 n就是y = sin x的最小正周期.

函数y =COSX的最小正周期也是2n，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不

是每个周期函数都有最小正周期.

例1 •求下列函数的最小正周期T.

(1) f (x) = 3sin x

(2) f (x) = sin 2x

(3) f (x)二2sin(— x )

2 4

解：(1) f (x)二3sin x 二 3sin( x 2二)=f (x 2二) T = 2二

(2)f(x) =sin2x =sin(2x 2~ ) = sin2(x：〔愿)=f(x：〔愿)

•••函数的最小正周期为n .

1 笄 1 仃 1 -TT

(3)f(x) =2si n( x ) =2si n( x 2二)=2s in [—(x

4二) ] = f(x 4二)

2 4 2 4 2 4

•函数的最小正周期为 4 n .

2冗总结一般规律：y=Asin(^x + ®), y = Acos(tjx的最小正周期是

G I

令z z：x，「，由y r Asinz,z・R的周期是2-，

i,z 2 ―

贝H z 亠 2 二 _ ■，x J' j 亠 2 二 _ - x 亠

1 00丿

2 气2"~[

因而自变量x只要并且至少要增加到x •，即T =

co co

例2 .求证：(1) y = cos2x sin 2x的周期为n ；

(2) y =| sinx | | cosx |的周期为一.

2

证明：(1) f (x 亠‘)=cos2(x 亠■) sin 2(x 亠‘)=cos(2 ‘ 亠2x) - sin(2 ‘ 亠2x)

=cos2x sin 2x = f (x) . y = cos2x sin 2x的周期是二

(2) f (x ' ) =|si n(x ' )| 亠|cos(x ' )=|cosx|、|—s in x|=|s in x | 亠| cosx |= f (x)

2 2 2

JT

• y sin x| • | cosx | 的周期是？.

总结：(1) 一般函数周期的定义

(2) y = Asin(，x ), y 二Acos(，x )周期求法

课堂教学设计说明

函数周期性概念的教学是本节课的重点•概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其

易而轻视. 也不能因其难而回避. 概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻•因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入

布置作业：练习2,习题1.3 1