第67讲 多元抽象复合函数的偏导数计算

+,
= ⋅ (−2) +
⋅+
⋅ (−2) + ⋅
= −2 + ( − 2)
+
,
= −2 , 例 67.6 设变换 = + 可将方程 6 +
= 0，求常数 .
【续解】 = −2
⋅ (−2) +
⋅+
− = 0 简化为 ⋅ (−2) + ⋅
=4 −4
+
,
因此，代入原方程并整理可得
(10 + 5 ) + (6 + − ) = 0,
=+
, ，其中 具有连续的一阶偏导数，求 , .
=+
⋅ + ⋅ ⋅2
+2
.
==
⋅2 + ⋅ ⋅ =2
+
.
【注】抽象复合函数与其他函数进行四则运算而得到的函数，在对其求偏 导数时，要同时利用一元函数的求导四则运算法则及复合函数求导的链式 法则.
例67.4 设 = ( + ) + ( + )，其中 , 具有二阶连续导数， 证明： − 2 + = 0.
所以
1 = 1,1 + 1,1 ⋅ (1,1) +
= + +(+) =+ + + .
(1,1) ⋅ ( (1,1) +
(1,1)
= −2 , 例 67.6 设变换 = + 可将方程 6 +
= 0，求常数 .
− = 0 简化为
【解】由于 = + , = ⋅ (−2) + ⋅ = −2 + ,
=+
+
+ = +2
【证明】 = + + , = + + ,
= + + + =2 + + , =+ ++ , = + + + = +2 + ,
例67.4 设 = ( + ) + ( + )，其中 , 具有二阶连续导数， 证明： − 2 + = 0.
【续证】 = 2 + + ,
=+ ++ ,
= +2 + ,
因此， − 2
=
+
,
=
+
.
称上述求导公式为链式法则.
2、复合函数的高阶偏导数
设 = ( , )具有二阶连续偏导数， = ( , )和 = ( , )存在二 阶偏导数，则复合函数 = [ ( , ), ( , )]存在二阶偏导数，如
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
2、复合函数的高阶偏导数
=
+
=
+
+
+2
+
.
【注】在对 和 关于 和 求偏导数时，仍然要视其 为以 和 为中间变量的复合函数，因此，同样要用链 式法则来求它们的偏导数.
依题意，有 6 + − = 0， 但10 + 5 ≠ 0 ， 故 = 3.
高等数学典型例题与解法（二）
第67讲 多元抽象复合函数的偏导数计算
理学院 周 敏 教授
主要内容
内容提要 典型例题解析
1、复合函数的一阶偏导数
设 = ( , )具有一阶连续偏导数， = ( , )和 = ( , )存在偏 导数， 则复合函数 = [ ( , ), ( , )] 有关于 和 的偏导数如下：
+
=2 + + = 0.
−2 +
++
+2 + +
例 67.5 设函数 = ( , )具有连续的偏导数 , 且
(1,1) = 1 , | , = , | , = ,
令 ( ) = ( , ( , ( , ))), 求 (1).
【解】因为 ( ) = ⋅
,,, + ,,, ( , ( , )) + ( , ( , )) ⋅ ( ( , ) + ( , ) ,
例67.1 设函数 = ( , , ), = ( , ), = ( , )均具有一阶连续 偏导数，求 , . 【解】如图，由 至 的路径为
→, → →, → →→.
因此， = +
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+
.
同理，由 至 的路径为 → , → → → .
因此，
=+
.
【注】用树形图的方法求多元抽象复合函数的偏导数的步骤如下： (1) 按从因变量到自变量的顺序用有向线段表示函数关系，
得函数关系的树形图； (2) 从树形图中找出函数到要求偏导的自变量的所有有向折
线路径； (3) 所求偏导数为一个和式，每条路径对应于和式中的一项，
而每一项为组成该路径的所有有向折线对应的偏导数的 乘积，即 “沿线相乘，分线相加”.
例67.2 设 = , ，其中 具有二阶连续偏导数，求 , . 1
【解】 = + ,
1
=
+
1
1
1
=
+
+
+
2
1
=+
+
,
例67.2 设 = , ，其中 具有二阶连续偏导数，求 , .
1
【续解】 = + ,
1
=
+
=
⋅0−
1
1
−
+
⋅0−
=−
−
−
.
【注】在求多元抽象复合函数的偏导数时，用 或 表示对 的第一个自变量 或第二个自变量求偏导，可给表述带来极大的方便，而无需引进中间变量.
例67.3 设 = 【解】 = +