生活中的优化问题举例 课件

2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
v∈(0,c],
①若 ba≤c,则当 v=
a b
时,全程运输成本
y
最小;
②若
a b
>
c,
此时y'<0,即
y
在(0,c]上为减函数.
所以当 v=c 时,y 最小.
综上可知,为使全程运输成本 y 最小,
当
ba≤c 时,行驶速度为
a b
km/h;
当
a b
>
c
时,行驶速度为
c
km/h.
3-
1 3
a
3
(
万元).
【变式训练3】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)
与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系为p=24
200-
1 5
x2,且生产x吨
该产品的成本为(50 000+200x)元.则每月生产
吨产品才
能使利润达到最大,最大利润是
元.(利润=收入-成本)
答案200 315万
解得
x1=1,x2=−
4 15
(舍去).
在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.
因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为
3.2-2×1=1.2(m).
分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中 函数关系式的导函数,再利用导数求最值.
解:(1)分公司一年的利润 L 与售价 x 的函数关系式为
L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].
(2)L'=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)·(18+2a-3x).
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·3x4+05
=
6x
+
800 3x+5
(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6−
2 400 (3x+5)2
,
令f'(x)=0,即
2 400 (3x+5)2
=
6,
解得x1=5,x2=−
25 3
(
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,
时,
ymax=f
2at 2t+1
= (322t+a31t)23.
综上所述,当
1≤t≤2
时,投入
2a 3
万元,y
的最大值为
32 27
a3;
当
0<t<1
时,投入
2at 2t+1
万元,y
的最大值为
(322t+a31t)23.
易错辨析 易错点:忽略实际问题中的定义域而致错
【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分 和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例 系数为b;固定部分为a元.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:
解:(1)设 y=f(x)=k(a-x)x2,
当
x=
a 2
时,y=a3,即
a3=k·2a
·a42
,
∴
k
=
8.
∴f(x)=8(a-x)x2.
∵0< 2(ax-x)≤t,∴0<x≤22t+at1.
∴函数的定义域是
x
0
<
x
≤
2at 2t+1
.
(2)f'(x)=-24x2+16ax,令 f'(x)=0,则 x=0(舍去)或 x= 23a.
面积、容积最值问题
【例 1】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制容器的底面的一条边比另一条边长 0.5 m,那么高为多少时,容
器的容积最大?并求它的最大容积.
分析:设底面一条边长为 x m,用 x 表示另一条边长和高,从而表
示出容积,利用对容积函数求导来求最值.
解:设容器底面一条边长为 x m,
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解:(1)当
x=40
时,汽车从甲地到乙地行驶了
100 40
=
2.5(h),
要耗油
1 128 000
×
403-
3 80
×
40
+
8
× 2.5 = 17.5(L).
所以,当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油
17.5 L.
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数 关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求 出L的最大值Q(a).
令 h'(x)=0,得 x=80,
当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数, 所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25 L.
正解:(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为
s v
,
全程运输成本为y=a·vs + bv2 ·vs = s
a v
+
bv
.
故所求函数为 y=s
a v
+
bv
, 定义域为(0,c].
(2)由题意知 s,a,b,v 均为正数,
由 y'=s
b-
a v2
= 0, 得v=
a b
或v=−
a b
(舍去).但
令
L'=0,得
x=6+
2 3
a
或x=12(不合题意,舍去).
∵3≤a≤5,∴8≤6+
2 3
a
≤
238.
在
x=6+
2 3
a
两侧L'的值由正变负.
∴①当
8≤6+
2 3
a
<
9,
即3≤a<
9 2
时,Lmax=(9-3-a)·(12-9)2=9(6-a).
②当
9≤6+
2 3
a
≤
28 3
,
即
92≤a≤5
时,Lmax=
当
0<x<
2a 3
时,f'(x)>0,∴f(x)在
0,
2a 3
内是增函数;
当
x>
2a 3
时,f'(x)<0,∴f(x)在
2a 3
,
+
∞
内是减函数.
∴x=
2a 3
为f(x)的极大值点.
当
2at 2t+1
≥
2a 3
,
即1≤t≤2
时,ymax=f
2a 3
=
32 27
a3;
当
2at 2t+1
<
2a 3
,
即0<t<1
键.
【变式训练 2】 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶的过程
中,每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶速度 x(单位:km/h)的函数解析
式可以表示为
y=
1 128 000
x3
−
3 80
x
+
8(0
<
x≤120).已知甲、乙两地
相距 100 km.
(1)当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 多少升?
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.