第5章 等参单元与数值积分

2020/6/30
9
第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
y 3
2a
2b
4
2
α
1 (c,d) ０
例如左图所示的实际单元e为边长分 别为2a、2b的矩形。结点坐标为：
x1 c y1 d
x2 c 2a cos y2 d 2a sin
x3 c 2a cos 2b sin y3 d 2a sin 2b cos x4 c 2b sin y4 d 2b cos
4
4
4
4
由
N i ( , ) 1
u 1 Ni 2 Ni xi 3 Ni y j
i 1
i 1
i 1
i 1
4
Ni 1 2 xi 3 yi
i 1
2020/6/30
14
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
注意到结点位移的真实值 1 2 xi 3 yi ui
则有
1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 )
4
4
1
(5-1-2)
2020/6/30
5
第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
(1)坐标变换
F： e e
设xy平面上的实际单元e由母体单元经过变换F得到，且规定 结点(ξi，ηi)与结点(xi, yi)对应(i=1~4)。这样的变换不只一个， 利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个
2020/6/30
12
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(1)单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi 行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元 内u、v连续。
(2)刚体位移和常应变条件
对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总 体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移 场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试 探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那 样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐 标表述的，则用后一种提法更合适一些。
在母体单元中形 函数如式(5-11),坐标变换关 系如式(5-1-3)。 首先，计算出 Jacobi矩阵中的 各元素如右：
x
4
xi
i 1
N i
1 4
x1
1
x
2
1Leabharlann x31x4
1
x
4
xi
i 1
N i
1 4
x1
1
x2
1
x3
1
x4
1
y
4 i 1
yi
N i
1 4
y1
1
y2 1 y3 1 y4 1
(i 1 ~ 4)
显然 Ni (,) 有如下特点：
(i)是ξ，η的双线性函数
(ii)
Ni ( ,)＝ ij
10 当当 ji
i i
2020/6/30
4
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
(iii)
4
i 1
Ni
( ,)
1 4
(1
)(1 )
1 4
(1
)(1 )
移值所决定。从单元e和e’ 看来沿共同边界1-2上的位移处处相同，即在边界 上位移是连续的。对其他边界可用类似的方法加以证明。
y,v
３
４ e
η
4
３
ê
１
M s
２
ξ
2020/6/30
e’ x,u
１M ξ
２
16
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的灵 活性和收敛条件(主要是协调条件)之间的矛盾。但是一般的四边形单元只能 精确地再现线性变化的位移场，有限元空间Vh的次数k－1=1。虽然能保证有
a sin
b
cos
a cos
det J
a sin
ab
在单元内是常数。
b sin b cos
2020/6/30
11
第2节四结点四边形等参数单元
[单元内假设的位移场 ]
对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点(xi, yi)的位 移为ui，vi实际单元e内的假设位移场(Trial function)取为
限元解的收敛性，但精度不够满意。当实际单元是矩形时，ξ，η是x、y的线 性函数，假定的位移场将是x、y的二次多项式，但只完全到一次多项式，二
次项不完全。这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能。例如，在 分析下图的“纯弯曲”应力场时，图(a)中的单元将比图(b)中的单元效果好 ，尽管还不能说满意。提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插值 函数阶次。
情况下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函数。若detJ恒不为零(一
般使它恒正)，则[J] -1存在，变换F存在逆变换F-1,即：
F 1： e e 使单元e内的任一点(x, y)对应于单元ê内
的一确定点(ξ，η)。此时称变换F为非奇 异的。detJ称为变换特征量。
2020/6/30
8
第2节四结点四边形等参数单元
1
ξ=-1/2
ξ=-1
x,u
０
2020/6/30
x, y是ξ，η的双线性函数。沿 母体单元中η＝常数的直线(坐 标线)，x, y是ξ的线性函数，对 应于单元e中的一组直线，特 别，单元e的一组对边1-2、3-4 为直线。类似，ê中ξ＝常数的 另一组坐标线对应于单元e中
的另一组直线。特别，e的另
一组对边2-3、4-1也是直线， 单元e为直边四边形。单元ê的 其他直线(例如对角线1-3)，变 换到单元e中将是一条曲线(左 图示)
4
u Ni ( ,) ui
i 1
(5-1-5)
4
v Ni ( ,) vi
i 1
注意，这里u、v虽然是
用点的自然坐标ξ，η表
述的，但位移u、v (以
及后面的单元刚度矩阵)
却是对总体坐标系的。
这与在单元局部坐标系
下定义位移场的作法有
区别。
在坐标变换(5-1-3)和假定的位移场(51-5)中使用的是同一套变换关系(形函 数)，同一套变换参数(与(xi, yi)对应的 结点位移(ui,vi))满足这一特征的单元 称为等参数单元。这样定义单元有不 少优点，但也对我们提出了一些新问 题。假定的位移场是ξ，η的双线性函 数，当实际单元为矩形时，ξ，η可表 示成x, y的线性函数，假定的位移场u 、v是x，y的多项式。但位移场u、v不 再是x，y的多项式。
4
x Ni ( ,) xi i 1
4
y Ni ( ,) yi i 1
(5-1-3)
(5-1-3)所定义的变换有如下特点：
2020/6/30
6
第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
y,v 3 η=1
4
η=1/2
η=0
η=-1/2
2 η=-1
ξ=1
ξ=1/2
ξ=0
7
第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
(２)Jacobi矩阵和Jacobi行列式
矩阵
x
J
x
y 4
y
i 1 4
i1
N i
N i
xi xi
4
i 1
N i
yi
4
i 1
N i
yi
(5-1-4)
称为变换的Jacobi矩阵。detJ称为变换的Jacobi行列式。一般
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
detJ还具有明显的几何意义，如下图所示。设在(ξ，η)处 detJ≠0在(ξ，η)附近取一边长为dξ，dη的长方形。设此长方形 与单元e内的一个小子区域dσ对应，可以证明，此小子域的面 积dσ在略去高阶微量后有
d det J dd
ê dξ dη
(ξ,η)
dσ e (x,y)
10
第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
同样得到 ： y d asin bcos asin bcos
表明：当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的x, y是ξ， η的线性函数。Jacobi 矩阵为
Jacobi行列式
x
J
x
y
y
a cos b sin
y
4 i 1
yi
N i
1 4
y1
1
y2
1
y3 1
y4 1
2020/6/30
19
第2节四结点四边形等参数单元
[四结点单元的应用实例及相关限制条件 ]
下面计算出各单元具体的变换关系及Jacobi行列式的值
单元１：各结点的坐标为 x1 x4 0, x2 x3 2, y1 y2 0, y3 3, y4 5
2020/6/30
3
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
母体单元ê：边长为２的正
η
方形，自然坐标系ξ，η 示于左
4
3 (1,1)
图。取四个角点为结点，在单元
内的排序为１、２、３、４。仿
ξ
照矩形单元，可定义出四个形函 数
(-1,-1) １
2
Ni
(
,
)
1 4
1
i
(1
i )
(5-1-1)