第5章 等参单元与数值积分

y
4 i 1
yi
N i
1 4
y1
1
y2
1
y3 1
y4 1
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第2节四结点四边形等参数单元
[四结点单元的应用实例及相关限制条件 ]
下面计算出各单元具体的变换关系及Jacobi行列式的值
单元１：各结点的坐标为 x1 x4 0, x2 x3 2, y1 y2 0, y3 3, y4 5
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(3) 协调性
对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续。如下图所示，考虑一个实
际单元e，它的母体单元为ê。以1-2边为例。沿1-2边η＝常数，x、y、u、v都
是ξ的线性函数。设e边界上的M点与ê边界上的点对应，则M到结点１的距离
S将是ξ的线性函数。反过来ξ也是S的线性函数，因而u，v也是Ｓ的线性函数 ，完全由这个边界上两个结点1、2的位移值u1、u2、v1、v2所决定。从另一相 邻单元 e’ 看来，沿边1-2, u、v也是S的线性函数。完全被结点１、２处的位
1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 )
4
4
1
(5-1-2)
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第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
(1)坐标变换
F： e e
设xy平面上的实际单元e由母体单元经过变换F得到，且规定 结点(ξi，ηi)与结点(xi, yi)对应(i=1~4)。这样的变换不只一个， 利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个
第五章 等参单元与数值积分
上海工程技术大学机械工程学院
第五章 等参单元与数值积分
第1节 概述 第2节 四结点四边形等参数单元
第3节八结点四边形等参数单元 第4节 四～九结点等参数单元
第5节 等参单元列式 第6节 数值积分
第7节 三维数等参元
第8节 小结
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[概述]
第1节 概 述
用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能 较准确地描述实际边界。本章将要介绍的等参元(Isoparametric Element ) 是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的 描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协 调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他 类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个 规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函 数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换 涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变 换(母单元的位移模式)，由于两种变换均采用了相同的函数关 系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。
移值所决定。从单元e和e’ 看来沿共同边界1-2上的位移处处相同，即在边界 上位移是连续的。对其他边界可用类似的方法加以证明。
y,v
３
４ e
η
4
３
ê
１
M s
２
ξ
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e’ x,u
１M ξ
２
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的灵 活性和收敛条件(主要是协调条件)之间的矛盾。但是一般的四边形单元只能 精确地再现线性变化的位移场，有限元空间Vh的次数k－1=1。虽然能保证有
4
x Ni ( ,) xi 2N 2 2N3 1 i 1
y
4 i 1
Ni ( ,)
4
u Ni ( ,) ui
i 1
(5-1-5)
4
v Ni ( ,) vi
i 1
注意，这里u、v虽然是
用点的自然坐标ξ，η表
述的，但位移u、v (以
及后面的单元刚度矩阵)
却是对总体坐标系的。
这与在单元局部坐标系
下定义位移场的作法有
区别。
在坐标变换(5-1-3)和假定的位移场(51-5)中使用的是同一套变换关系(形函 数)，同一套变换参数(与(xi, yi)对应的 结点位移(ui,vi))满足这一特征的单元 称为等参数单元。这样定义单元有不 少优点，但也对我们提出了一些新问 题。假定的位移场是ξ，η的双线性函 数，当实际单元为矩形时，ξ，η可表 示成x, y的线性函数，假定的位移场u 、v是x，y的多项式。但位移场u、v不 再是x，y的多项式。
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第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
母体单元ê：边长为２的正
η
方形，自然坐标系ξ，η 示于左
4
3 (1,1)
图。取四个角点为结点，在单元
内的排序为１、２、３、４。仿
ξ
照矩形单元，可定义出四个形函 数
(-1,-1) １
2
Ni
(
,
)
1 4
1
i
(1
i )
(5-1-1)
(i 1 ~ 4)
显然 Ni (,) 有如下特点：
(i)是ξ，η的双线性函数
(ii)
Ni ( ,)＝ ij
10 当当 ji
i i
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4
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
(iii)
4
i 1
Ni
( ,)
1 4
(1
)(1 )
1 4
(1
)(1 )
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第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
y 3
2a
2b
4
2
α
1 (c,d) ０
例如左图所示的实际单元e为边长分 别为2a、2b的矩形。结点坐标为：
x1 c y1 d
x2 c 2a cos y2 d 2a sin
x3 c 2a cos 2b sin y3 d 2a sin 2b cos x4 c 2b sin y4 d 2b cos
在母体单元中形 函数如式(5-11),坐标变换关 系如式(5-1-3)。 首先，计算出 Jacobi矩阵中的 各元素如右：
x
4
xi
i 1
N i
1 4
x1
1
x
2
1
x3
1
x4
1
x
4
xi
i 1
N i
1 4
x1
1
x2
1
x3
1
x4
1
y
4 i 1
yi
N i
1 4
y1
1
y2 1 y3 1 y4 1
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第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
同样得到 ： y d asin bcos asin bcos
表明：当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的x, y是ξ， η的线性函数。Jacobi 矩阵为
Jacobi行列式
x
J
x
y
y
a cos b sin
4
u N iui i 1
4
v N i vi i 1
上述论证表明：只要所定义的形函数满足(5-1-6)(不管形函数 的具体表达式如何)，且坐标变换和假定的位移场使用同一 组形函数(等参数单元总是如此)，那么这样假设的位移场一 定能够精确地表述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应 变条件总可以得到满足。
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第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
(２)Jacobi矩阵和Jacobi行列式
矩阵
x
J
x
y 4
y
i 1 4
பைடு நூலகம்
i1
N i
N i
xi xi
4
i 1
N i
yi
4
i 1
N i
yi
(5-1-4)
称为变换的Jacobi矩阵。detJ称为变换的Jacobi行列式。一般
a sin
b
cos
a cos
det J
a sin
ab
在单元内是常数。
b sin b cos
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第2节四结点四边形等参数单元
[单元内假设的位移场 ]
对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点(xi, yi)的位 移为ui，vi实际单元e内的假设位移场(Trial function)取为
4
4
4
4
由
N i ( , ) 1
u 1 Ni 2 Ni xi 3 Ni y j
i 1
i 1
i 1
i 1
4
Ni 1 2 xi 3 yi
i 1
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
注意到结点位移的真实值 1 2 xi 3 yi ui
则有
1
ξ=-1/2
ξ=-1
x,u
０
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x, y是ξ，η的双线性函数。沿 母体单元中η＝常数的直线(坐 标线)，x, y是ξ的线性函数，对 应于单元e中的一组直线，特 别，单元e的一组对边1-2、3-4 为直线。类似，ê中ξ＝常数的 另一组坐标线对应于单元e中
的另一组直线。特别，e的另
一组对边2-3、4-1也是直线， 单元e为直边四边形。单元ê的 其他直线(例如对角线1-3)，变 换到单元e中将是一条曲线(左 图示)
1
0.0
1 0.0
21 2.0 3.0
x1 5.0
2
x
(a)
(c)
(b)
(d)
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第2节四结点四边形等参数单元
[四结点单元的应用实例及相关限制条件 ]
从图中可以看出：１、2号单元与母体单元的结点编号顺 序一致，均为逆钟向，而３号单元的编号顺序为顺钟向；１ 、３号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单 元内部，而单元２是非凸形单元，如连接结点１、３的线段 不在单元内。下面讨论这些差别在母体单元与实际单元进行 映射时的影响。
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
我们定义的形函数满足：
N i ( i ,i ) ij
1 当 j 0 当 j
i i
4
Ni ( , ) 1
i 1
(5-1-6)
设真实位移场为x，y的线性函数
u 1 2x 3 y
v 4 5x 6y
将x，y按(5-1-3)代入，
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
detJ还具有明显的几何意义，如下图所示。设在(ξ，η)处 detJ≠0在(ξ，η)附近取一边长为dξ，dη的长方形。设此长方形 与单元e内的一个小子区域dσ对应，可以证明，此小子域的面 积dσ在略去高阶微量后有
d det J dd
ê dξ dη
(ξ,η)
dσ e (x,y)
情况下，[J]的元素和detJ都是ξ，η的函数。若detJ恒不为零(一
般使它恒正)，则[J] -1存在，变换F存在逆变换F-1,即：
F 1： e e 使单元e内的任一点(x, y)对应于单元ê内
的一确定点(ξ，η)。此时称变换F为非奇 异的。detJ称为变换特征量。
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第2节四结点四边形等参数单元
限元解的收敛性，但精度不够满意。当实际单元是矩形时，ξ，η是x、y的线 性函数，假定的位移场将是x、y的二次多项式，但只完全到一次多项式，二
次项不完全。这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能。例如，在 分析下图的“纯弯曲”应力场时，图(a)中的单元将比图(b)中的单元效果好 ，尽管还不能说满意。提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插值 函数阶次。
4
x Ni ( ,) xi i 1
4
y Ni ( ,) yi i 1
(5-1-3)
(5-1-3)所定义的变换有如下特点：
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第2节四结点四边形等参数单元
[实际单元与母体单元之间的坐标变换 ]
y,v 3 η=1
4
η=1/2
η=0
η=-1/2
2 η=-1
ξ=1
ξ=1/2
ξ=0
(b)
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(a)
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第2节四结点四边形等参数单元
[四结点单元的应用实例及相关限制条件 ]
某求解域如图 (a)所示，若
将该区域用３个四结点等 y
参元进行离散，母体单元 如图 (b)所示。
5.0 42
y
3
4
e3
４
10 ３
4
3.0
1 34
4 3
3 2.0
e1
e2
2
3
e1
e2 2
eˆ
1
２
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第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(1)单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi 行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元 内u、v连续。
(2)刚体位移和常应变条件
对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总 体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移 场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试 探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那 样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐 标表述的，则用后一种提法更合适一些。
x 则由(5-1-3)，可得出坐标变换为
x c N1 N2 N3 N4 2a cos N2 N3 2b sin N3 N4
c 2a cos 1 1 2b sin 1 1
2
2
c a cos b sin a cos b sin
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