极坐标复习教育课件

极点的对称点的极坐标（限定 >0.-∏<≦∏)
结论： (((123)))点关关（于于直 极，点线O）的 关对于称2极点的轴是对的（称对点，称是∏点（是+（），。∏，--））..
[例 2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0； (3)ρ＝2－1cosθ.
极坐标复习
复习要点
1、极坐标系 极坐标系，点的极坐标： 狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义
2、极坐标和直角坐标的互化 互化的条件，互化公式；
3、曲线的极坐标方程 曲线的极坐标方程的概念， 求曲线的极坐标方程的方法和步骤， 基本曲线的极坐标方程， 利用极坐标方程解题；
4、极坐标系中的两点之间的距离公式；
点的极坐标：对于平面内任意一点M，用ρ表示 线段OM的长度，叫做点M的极径；用θ表示从ox 旋转到OM的角度， 叫做点M的极角，有序数对 M(ρ, θ)就叫做点M的极坐标.
M()


x
O
狭义极坐标系：极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π）.
在狭义极坐标系中，平面上的一点(除极点外) 的极坐标系是唯一的.
故λμ＝＝32，， 所以伸缩变换为xy′′＝＝23yx，
即先使圆 x2＋y2＝1 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横 坐标伸长到原来的 3 倍，得到椭圆x92＋y2＝1，再将该椭圆的 点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x92＋ y42＝1.
本例条件变为“求圆 x2＋y2＝1 经过伸缩变换xy′′＝＝32yx 后
解：(1)圆 O：ρ＝cosθ＋sinθ，即 ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ. ∴圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即(x－12)2＋(y－12)2＝12.直线
l：ρsin(θ－π4)＝
2 2
即 ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线 l 的直角坐标方程为：y－x＝1，
即 x－y＋1＝0.
(2)由xx－ 2＋yy＋2－1＝x－0，y＝0， 得xy＝＝10，， 故直线 l 与圆 O 公共点的一个 极坐标为1，π2.
坐标变换下正弦曲线 y＝sinx 的方程．
解：∵x′＝12x， y′＝3y，
x＝2x′， ∴y＝13y′. 代入 y＝sinx 得 y′＝3sin2x′.
所以，所求极坐标方程为y＝3sin2x.
1、极坐标系
极坐标系：在平面内任取一个定点O，叫做极点， 引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和 角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样建立的坐 标系叫做极坐标系。
2．极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还 经常会用到同乘(或除以)ρ 等技巧.
[自主解答] (1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x， 得(ρsinθ)2＝4ρcosθ. 化简，得ρsin2θ＝4cosθ. (2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0， 得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半
轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度
单位。
互化公式：
x cos
极坐标化为直角坐标

y


sin
直角坐标化为极坐标
y
M
2 x2 y2

tan


y x

y
O x Nx
对称性
例 于极.设轴点的A（直2线，，3分）别，求直点线A关l为于过极极轴点，且直垂线直l,
(3)∵ρ＝2－1cosθ， ∴2ρ－ρcosθ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
4．(2011·江苏省重点学校联考)在极坐标系下，已知圆 O：
ρ＝cosθ＋sinθ
和直线
l：ρsБайду номын сангаасn(θ－π4)＝
2 2.
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
1.平面直角坐标系下的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一 点，在变换_φ_：___xy′_′_＝_＝_μ_λ·_·xy_，，__μλ_＞＞__00_的作用下， 点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
[精析考题] [例 1] 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x92＋y42＝1.
[冲关锦囊]
1．将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式 ρ＝ x2＋y2， tanθ＝xy(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 tanθ＝xy(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许 θ∈ R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ＋2kπ(k∈Z)即可．
[自主解答] 将变换后的椭圆的方程x92＋y42＝1 改写为x′9 2＋ y′4 2＝1， 设伸缩变换为xy′′＝＝μλxyλμ>>00，， 代入上式得λ29x2＋μ24y2＝1，
即3λ2x2＋μ22y2＝1.与 x2＋y2＝1 比较系数，得3μλ222＝＝11，，
的图形” 解：由xy′′＝＝32yx
∴xy＝＝1312yx′′
代入 x2＋y2＝1，
得x′4 2＋y′9 2＝1.
∴经过伸缩变换xy′′＝＝32yx 后圆 x2＋y2＝1 变为椭圆x42＋y92＝1.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x， 求在这一 y′＝3y，
广义极坐标系：极径ρ∈R ，极角θ∈R.
在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标 系有无数个.
当ρ<0时，点M(ρ,θ) 的位置可以按以下规则确定： 作射线OP，使没∠xOP= θ ，在
OP的反向延长线上取一点M使
|OM|=|ρ| ，M就是极坐标
θ
为(ρ,θ)的点。
|ρ| O
x
M
2、极坐标和直角坐标的互化