固体物理基础

固体物理基础
本课程侧重固体物理学的基本概念及理论框架的理解性掌握
第一章晶体结构
1. 固态物质的分类及其结构特点
答：（1）晶体：原子在三维空间周期地长程有序排列
（2）准晶：原子有长程准周期平移序和非晶体学旋转对称性的固态有序相
（3）非晶：原子排列短程有序，长程无序
2. 根据布拉菲晶胞选取的具体原则，证明不存在底心四方点阵或面心四方点阵
答：布拉菲晶胞的选取原则：
（1）反映出点阵的最高对称性；（2）相等的棱或角数量应最多；
（3）直角数目应最多；（4）在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。

底心四方点阵可以转化为体积更小的简单四方点阵；（画图证明）
面心四方点阵可以转化为体积更小的体心四方点阵。

（画图证明）
3. 基于CsCl晶体，讨论点阵与晶体结构
答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点是等同点，周围环境相同，只能有14种类型；
晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，能组成各种类型的排列，实际存在的晶体结构是无限的。

晶体结构=空间点阵+基元。

CsCl晶体为CsCl结构，简单立方点阵，基元为1Cs++1Cl-。

4. 分析并画出二维正方点阵的第一和第二布里渊区。

注意正、倒空间转换。

答：布里渊区为倒易空间中的概念，首先做出二维正方点阵的倒易点
阵，以(1, 0)、(-1, 0)、(0, 1)、(0, -1)倒易矢量的中垂面围成第一布里渊
区；以(1, 1)、(1, -1)、(-1, 1)、(-1, -1)倒易矢量的中垂面围成第二布里
渊区。

5. 晶体中缺陷的基本类型有哪些
答：（1）点缺陷（空位、间隙原子、俘获电子的空位、杂质原子等，如：弗兰克尔缺陷、肖特基缺陷、替位式杂质原子、色心、极化子等）
（2）线缺陷：位错（刃位错、螺位错、混合位错、不全位错、超位错等）
（3）面缺陷：表面、界面、层错、小角度晶界、大角度晶界、孪晶界、相界第二章统计热力学和量子力学基础
1. 固体中热力学平衡态的物理含义
答：给定温度下，热力学平衡态满足①系统的体积熵最大；②系统的自由能最小；对于一个具有1023个粒子数的系统，分子量子态的组合数目是个大数：假定分子总数和系统总能固定，存在这样一个分布（N1,N2,…，N i,…,N i代表E i+d E范围内分子
数目），其可能的微观量子态数目#=N!
N1!N2!N3!…。

在取对数计算热力学量时，这个大数分布就可近似成系统本身，而由于这个分布提供了大数个可能的分子量子态组合，整个系统似乎被长时间捕获在此分布中，系统宏观热力学性质表观上不随时间改变。

2. 谐振子概念和其量子化对固体科学意义
答：能量满足E=p 2
2m +kx2
2
(k=mω2)的体系称为谐振子。

它蕴含的和衍生的经典力
学、量子力学和统计热力学理论是处理一切有关平衡、相稳定、振动等问题的基础。

在研究合金的相稳定性、亚稳平衡、缺陷等众多广泛的问题中有重要的应用。

3. 写出经典配分函数公式
答：
Z=e−βE i
i
第三章固体中原子的结合
1. 以金属钠为例，结合自由电子能带理论和内聚能曲线，讨论金属键的形成
答：（1）1023个Na原子，当原子间距远大于原子直
径时，3s1代表的能级是1023重简并。

而当原子间距
接近0.37nm，1023个3s能级简并打开，具有微小能
量差，展宽成准连续的带，形成能带。

（2）由于能量最低原理和泡利不相容原理，3s能带
只填充能量较低的一半，形成半填充3s能带，降低
了基态的能量。

（3）由于简并打开获得的最低能量ε0在r=r min处取得最小值；由于电子的动能随距离的减小和增大，ε0r+W F r在r=r0处取得最小值。

（4）1023个电子在自由Na原子中被稳定所降低的能量<这些电子在Na固体中形成能带所降低的能量。

定义内聚能：εc=ε0+W F−εF，εc在r=r0处取得最小值。

r0为Na金属中的平衡原子间距。

（5）Na金属中每一个3s电子不再属于一个特定Na原子，可看做在整个Na金属中自由运动。

Na金属结构：周期排列的Na正离子实浸没于电子海中。

2. 以碱金属Na为例，简述0 K下自由电子费米球的搭建原理及方法
答：
（1）前提：①金属中电子数目密度为1028-1029/cm3; ②电子之间不可区分；
③电子态的能量分布受泡利不相容原理的限制；
④在自由电子中，一组量子数（n，l，m，s）被用于描述一个电子的运动状态。

（2）假设：①基态T=0K；②有1023个电子；③笛卡尔坐标分量加自旋量子数表
示一个电子态（k x, k y, k z）；④一块立方体钠金属，边长为L。

（3）倒空间沿着（k x, k y, k z, s）三个方向量子化成2π
L
, 电子的能量正比于n x2+n y2+n z2；
在能量最低原理的前提下在倒空间中添加1023个量子态。

（4）首先在n x 2+n y 2+n z 2=0的E 0能态填充2个电子，然后在n x 2+n y 2+n z 2=1的E 1能
态填充12个电子，再在n x 2+n y 2+n z 2=2的E 2能态填充24个电子……逐渐增大n 值，
直至填完1023个电子，得到费米球，其表面称为费米面。

3. 写出Sommerfeld 自由电子模型中的费米能公式，并图示基态电子态密度曲线
答：E F =ℏ2k F
22m =
ℏ22m 3π2 N 0V 23
N E =d N
d E =V 2π2 2m ℏ2 32 E ；
即电子态密度与能量为抛物线关系。

4. 费米温度和德拜温度
答：根据E =k B T ，可以将费米能换算成绝对温标，即E F =k B T F ，为费米温度； ωD 由3N = D (ω)dωωD 0决定；D (ω)为声子态密度
ℏωD =k B T =k B θD ，θD 为德拜温度，θD = ℏs k B 6π2N V 13
正比于声速s 。

第四章有限温度下固体中的电子
1.写出适用于任何电子系统的电子比热公式，并说明每一项的物理意义
答：C el T =π23k B 2N E F 0 T
其中：C el T 为T 温度下的电子比热，k B 为玻尔兹曼常数，N E F 0 为0K 时费米面处的电子态密度，T 为绝对温度。

2. 电子热有效质量
答：γexp
γF =m ∗m ≡m tℎ∗，任何真实金属中电子在费米能级处的态密度都偏离自由电子模型，能带结构效应、电子-声子相互作用、电子-电子相互作用都影响其有效质量。

电子比热系数的实验值与理论值的比值可以用来表示实际情况对自由电子的偏离。

3. 泡利顺磁感应系数公式，说明公式中每一项的物理意义
答：x T =μB 2N E F 0 +o T 2 ，μB 为原子尺度的磁动量，μB =μ0eℏ
2m ，
N E F 0 为0K 下费米面处的电子态密度，o T 2 表示关于温度平方的二阶修正项。

4. 图示并说明功函数的意义
答：功函数ϕ=E 0−E F ，表示将费米能级处的电子移
到无穷远处所需最小能量。

其中：E 0为将价带底最低能态的电子移到无穷远处所
需能量，E F 为费米能。

第五章点阵振动
1.周期为a 的一维无限原子链的色散关系并图示
答：ω= 4βM sin qa 2 ； 2. 点阵波的振动模式
答：对于每一个波矢存在两横一纵的振动模式。

（点阵波为两横一纵的振动模式） 横波模式：原子位移方向垂直于波传播方向或波矢方向，在垂直于波矢方向的平面内有两个相互垂直的运动方向；
纵波模式：原子位移方向平行于波传播方向或波矢方向。

三维点阵的点阵波模式可以由波矢q 和原子位移p i (i=1,2,3)唯一确定。

三维晶体(含N 个原子)的点阵振动可以被包含于第一布里渊区内的3N 个独立的点阵波模式所描述。

3. 晶格振动的比热公式
答：C lattice =9Nk B T θD 3 e x x 4dx e x −1 2
x D 0；分高温、低温两种情况讨论： （1）当T ≫θD (高温)，C lattice =3R ，与经典统计一致；
（2）当T ≪θD (低)， e x x 4dx e x −1 2+∞0=π415，C lattice =12π4Nk B 5 T θD 3=234Nk B T θD 3。

第六章周期场中的导电电子
1. 写出三维点阵Bloch 理论公式
答：Ψk r =exp ik r μk r
μk r =μk r +l
. 2. 简述Bloch 理论晶体动量的概念
答：因 ℏk =ℏ k ′ ±g ，由动量守恒，布洛赫电子和点阵交换动量约±ℏg 。

ℏk
为布洛赫波的晶体动量，它指定了相同点阵平面的无限排列，与声子无关，反映了点阵作为一个整体的运动。

3. 写出近自由电子模型色散关系公式，并讨论简单立方晶体中， 取低指数面n （100）
并结合公式 E ± k = E 0+E 100 ± E 0−E 100 2
讨论能隙形成 答：色散关系：
E ± k =12
E 0+E n ± E 0−E n 2+4V n ∗V n E 0=ℏ22m k 2；E n =ℏ22m
k −g n 2
在k=0 附近，E0−E1002=ℏ2
2m 2
k2− k−2π
a
22
=ℏ2
2m
22π
a
4
≫4V n∗V n
因E100>E0，所以E− k=E0=ℏ2
2m
k2；
在k=±π
a
附近，E0≈E100；
E± k=1
2
E0+E n± E0−E n2+4V n∗V n=
1
2
E0+E n±2V100
E+ k=E0+E n
2+V100，E− k=E0+E n
2
−V100；∆E100=2V100。

k=±π
a
处，被允许取两个值E± k，而两者之间的能量被禁止，形成能隙。

4. BCC、FCC点阵的第一布里渊区能容纳 2 (个电子/原子)
HCP点阵的第一、二布里渊区总容纳 2 （个电子/原子）
5.基于费米面与布里渊区作用关系，讨论和图示金属、半导体、绝缘体
答：检查K-space或倒易空间在第一和第二布里渊区各方向上费米
能级处是否有电子态存在。

金属：有费米面，并且在0K时费米面的电子态密度具有有限值；
绝缘体：没有费米面，∆E≫k B T；
半导体：没有费米面，0<∆E≈k B T。

第七章元素固体的电子结构
1. 简述并图示Si的内禀半导体和掺杂半导体的概念
答：Si的能隙∆E g=1.1e V，价带的电子随温度升高处于热
激活状态，在一定条件下可以被激发到导带，在价带留下等
量空穴，可以导电，这种半导体称为本征半导体（或内禀半
导体），其费米面在禁带中间。

在Si中掺杂五价P、As元素可以形成n型半导体，多一个价
电子，容易被激发到导带；
在Si中掺杂三价B、Al元素可以形成p型半导体，少一个价电
子，受主能级接近价带，容易接受电子。

2. 纯Cu中费米球与布里渊区{111} 面的中心区域相接形成“脖子”（neck），与布里渊区{200} 带平面形成“肚子”（belly）；在Na金属中，费米面形状为球形
第八章合金的电子结构
1. 稀合金中杂质对电子的散射和Linde规则；浓合金的Nordheim Law规则
答：Linde 规则表明稀合金中电阻率的增加与电荷增量的平方成正比，∆ρ∝ ∆Z 2；
Nordheim 规则表明浓合金中电阻率与成分成抛物线关系，ρ∝x 1−x 。

2. Hume-Rothery 电子浓度规则（必须记忆）
答：在Cu-Zn 、Cu-Ga 、Cu-Ge 二元体系中，随着Zn 、Ga 、Ge 含量的增加：
①相同结构的相依次出现；②合金元素提供的价电子增多时，相同结构的相推移到溶质含量少处；③在Cu-based 、Ag-based 、Au-based 体系中普遍存在Mg 、Zn 、Al 、Ga 、Sn 、Pb 等杂质或溶质。

这些相的稳定性由 e a 决定，而与具体的原子种类无关。

第九章固体的电导
1．给出Drude-Sommerfeld-Lorenz 导电率计算公式，说明公式中每一项的物理意义
答：ς=e 2
3ΛF v F N εF ；其中ΛF 为费米面上电子的平均自由程，v F 为费米速度，N εF 为费米面处的电子态密度。

FCC
α-phase e /a ≤1.4 BCC
β-phase e /a ≈1.5 β′-phase HCP
ζ-phase 复杂立方
γ-phase e /a ≈1.6 HCP
ε-phase 1.7＜e /a ＜1.9 η-phase e /a ≈2.0。