理想流体力学
流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
流体力学简介
设环流速度为u,机翼远前方气流的速度和压强可视为
常量,与位置无关,分别设为v和p0,机翼上部的压强为 p1,下部为p2,则由伯努利方程,有
p0
1 2
v2
p1
1 2
(v
u)2
由此得
p0
Байду номын сангаас1 2
v2
p2
1 2
(v
u)2
p2
p1
1 2
[(v
u)2
(v
u)2 ]
2uv
a1 b1
因为时间t极短，所以 p1 S1
v1
a1b1和a2b2是两段极短的 位移，在每段极短的位
移中，压强p、截面积S
h1
和流速v都可看作不变。
a2 b2
h2 p2
v2 S2
设p1、S1、v1和p2、S2、v2分
a1 b1
别是a1b1与a2b2处流体的压 强、截面积和流速，则后方
p1 S1
v1
根据伯努利方程,在等 高(水平)流管中,有
p 1 v2 常量
2
即,流速大处压强小,流速小处压强大.
例题1 水电站常用水库出水管道处水流的动能来发 电．出水管道的直径与管道到水库水面高度h相比为 很小，管道截面积为S．试求出水处水流的流速和流 量。
解：把水看作理想流体.在 水库中出水管道很小，水 流作定常流动．如图所示， 在出水管中取一条流线ab. 在水面和管口这两点处的 流速分别为va和vb.在大水 库小管道的情况下，水面 的流速va远比管口的小,可 以忽略不计，即va=0.
网球、乒乓球中的”弧 圈球”以及足球中的” 香蕉球”偏离原运动方 向的现象,就是由于这一 效应造成的.
流体力学
表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理
想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势
能之间的转换关系,即高处的压强较小,低处 的压强较大. 两点的压强差为
p1 p2 g (h2 h1 )
空吸原理
SB SA SC
S AvA SB vB
S A SB
vB vA
1 1 2 2 P vA P vB A B 2 2
vB 2 gh
管涌
铜壶滴漏 “寸金难买寸光阴”是再熟 悉不过的诗句了,其中揭示 了计量时间的方法.我国古 代用铜壶滴漏计时,使水从 高度不等的几个容器里依次 滴下来,最后滴到最低的有 浮标的容器里,根据浮标上 铜壶滴漏 的刻度也就是根据最低容器 说明其计时原理. 里的水位来读取时间.
(三) 压强与流速的关系 在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1≈h2,伯 努利方程可直接写成 1 2 1 2 p1 v1 p 2 v 2 2 2 1 2 p v 常量 2 平行流动的流体,流速小的地方压强大,流速 大的地方压强小(例).
(2)求虹吸管内B、C 两处的压强. 解:水面为参考面,则 有A、B点的高度为零,
C 点的高度为2.50 m, D点的高度为-4.50m.
(1)取虹吸管为细流管,对于A、D 两点,根据伯 努利方程有 1 2 1 2 ghA v A p A ghD vD pD 2 2 由连续性方程有
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2
1 2 PB P0 vB 2
根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率
处处相等,vB=vD.
1 2 PB P0 vB 5.7 10 4 Pa 2 结果表明,在稳定流动的情况下,流速大处压强
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中的三个主要力学模型分别是：
1. 欧拉方程：描述流体的宏观运动，基于连续性方程和动量守恒方程。
该模型假定流体是连续分布的，无黏性、无压缩性和外部力场作用的理想流体。
2. 非牛顿流体模型：描述流体内部粘性特性与剪切速率的关系，包括粘弹性、塑性和黏度剪切等因素。
该模型适用于高浓度悬浮体、聚合物溶液等非牛顿流体。
3. 雾化模型：用于描述将一液滴或者液体流的分离成许多小液滴的现象，在工程领域得到广泛应用。
该模型包括通过理论和实验方法求解流体表面张力、液滴间距和液滴尺寸分布等参数。
流体力学
二.理想流体的稳定流动
1.理想流体:绝对不可压缩,完全没有粘滞性的流体. 2.稳定流动:流体质点通过空间任一固定点的流速不随时间 变化的流动. 3.流线:在流体空间作一些曲线,曲线上各点的切线方向都与 流体质点通过该点的流速方向一致,这些曲线称流线.
0 R
P P2 2 讨论：r o, vm 1 R , r增大，v减小， 4l r R, v 0
2.求 Q
取面积元如图，则
dQ v(r ) dS v(r )2rdr P P2 1 ( R 2 r 2 )2rdr 4l ( P P2 ) R 2 Q 1 ( R r 2 )rdr 0 2l
伯努利方程中各项的物理意义：
将方程两边同乘小流块体积
1 PV Vv 2 Vgh 恒量 2 1 PV mv 2 mgh 恒量 2
1 V 2 单位体积流体的动能； 2
由此可知：P：单位体积流体的压强能；
gh 单位体积流体的势能
伯努利方程表述：
“理想流体稳定流动时，同一细流管中，任一 截面处，单位体积内的动能、势能及压强之和 保持不变，即单位体积内总能量是一恒量。”
结合连续性原理：
“同一流管中，截面积小处流速大压强小；截面积 大处流速小压强大”。
二、伯努利方程的应用 1.小孔流速
一大蓄水池,下面开一小孔放水.设水面到小孔中 心的高度为h ,求小孔处的流速vB . 在水中取一流线,在该流线上取自由液面处一点A及 小孔处B点,应用伯努利方程 A
1 1 2 2 PA v A ghA PB vB ghB 2 2
dr dv p1 p2 r 2rl dr dv p1 p2 r 可见：随半径r增大，速度变化率增大 dr 2l p1 p2 rdr dv 2l
理想流体和真实流体的比较研究
理想流体和真实流体的比较研究流体力学是研究流体运动和相互作用的学科，其中涉及到理想流体和真实流体的比较研究。
理想流体是一种理论假设，它假设流体是无黏性的、可压缩性小的，而真实流体则会存在黏性和可压缩性。
本文将对理想流体和真实流体进行比较研究，以及它们在流体力学中的应用。
一、理想流体的特性理想流体是一种理想化的流体模型，它具有以下特性：1. 无黏性：理想流体假设没有内部摩擦力，即没有黏性，流体分子之间相互之间没有相互作用力。
2. 不可压缩性：理想流体假设密度恒定不变，不随外部力的作用而发生变化。
3. 无摩擦：理想流体中不存在摩擦力，流体在运动时的能量损失完全归因于形成流体流动的外力。
二、真实流体的特性真实流体是指真实世界中存在的流体，它与理想流体相比具有以下特性：1. 黏性：真实流体内部具有一定的摩擦力，即黏性，黏性的存在会导致能量损失和流动阻力。
2. 可压缩性：真实流体在受到外力作用时，会发生密度和体积的变化，即可压缩性。
3. 摩擦：真实流体中存在摩擦力，摩擦会使流体在受力作用下产生能量损失。
三、理想流体和真实流体的比较1. 黏性差异：理想流体假设没有黏性，而真实流体存在黏性。
黏性的存在会引起能量损失和阻力，限制了真实流体的流动性能。
2. 可压缩性差异：理想流体假设是不可压缩的，而真实流体是可压缩的。
真实流体在受到外部作用时，会发生密度和体积的变化。
3. 摩擦差异：理想流体中不存在摩擦，而真实流体具有内部和外部摩擦力。
摩擦会使流体流动的能量损失更大。
四、理想流体和真实流体在流体力学中的应用1. 理想流体的应用：理想流体常用于建立理论模型，方便分析和计算。
例如，在空气动力学中，常使用理想气体模型进行空气流动的研究和计算，以获得飞行器受力和阻力的特性。
2. 真实流体的应用：真实流体在实际应用中更为常见。
例如，在工程中，通过研究真实流体的黏性和摩擦特性，可以优化管道和流体系统的设计，并减少能量损失。
此外，真实流体的可压缩性也是航空航天领域中重要的研究方向，以确保航天器在高速飞行中的稳定性和安全性。
工程流体力学理想流体流动的基本规律
述流体质点运动随时间的变化规律。
描
述
流
位置： x = x(x,y,z,t)
速度： u=u（x,y,z,t）=dx/dt
体
y = y(x,y,z,t)
v=v（x,y,z,t） =dy/dt
流 动
z = z(x,y,z,t)
w=w（x,y,z,t）=dz/dt
的
方
同理： p=p（x,y,z,t） ，ρ=ρ(x,y,z,t)
法
到整个流场的运动规律。
a,b,c,t, 拉格朗日变数 a,b,c，t=to 时质点的坐标 ，质点标号
rr rr(a,b,c,t)
xx(a,b,c,t)
y
y(a,b,c,t)
zz(a,b,c,t)
(a,b,c,t) T T(a,b,c,t)
理想流体流动的基本规律
欧拉法
着眼于空间点，在空间的每一点上描
理想流体流动的基本规律
迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹
t5
迹
t1
t2
t3
t4
线
与
流线：在某一时刻, 流场中的一系列线，其上每一点的切
流
线方向就是该点流动速度方向
线
V
V
V
理想流体流动的基本规律
流线方程的微分形式：
dx dy dz dL 常数 u v wU
迹 线
udy vdx 0
hw
能 量
说明
守
1. 为动能修正系数，表示速度分布的不均匀性，恒大于1
恒 定
2. 粘性流体在圆管中作层流流动时，＝2
律
3. 流动的紊流程度越大，越接近于1
4. 在工业管道中 =1.01～1.1，通常不加特别说明，均取 ＝1
理想流体和实际流体的伯努利方程
理想流体和实际流体的伯努利方程
伯努利方程是描述流体力学中流动的基本定律之一，但在现实应用中，理想流体和实际流体的伯努利方程有所不同。
理想流体是指在流动中不存在黏性、摩擦、热传导等现象，而实际流体则存在这些现象。
在理想流体中，伯努利方程可以简化为P1+ρv12/2= P2+ρv22/2，其中P1和P2分别是两点处的压力，ρ是流体的密度，v1和v2分别是两点处的流速。
这个方程描述了流体在不同位置处的压力和流速之间的关系。
在实际流体中，伯努利方程的形式略有变化，需要考虑黏性和摩擦对流体的影响。
这些现象会导致流体在流动中损失能量，所以在实际流体中，伯努利方程需要添加一项损失项，即P1+ρv12/2+ρgh1= P2+ρv22/2+ρgh2-K，其中h1和h2分别是两点处的高度，g是重力加速度，K是损失项，描述了流体在流动中损失的能量。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的伯努利方程，考虑到流体的黏性、摩擦等因素，来准确描述流体的流动。
- 1 -。
大学物理D-02流体力学
大学物理
S
v
S
n
Q v S 常量
大学物理
一般形式
Q
S
v dS
vS v S
☆ 物理本质：同一流管在相同时间内流过任一截 面的体积流量都相同。因而截面大处流速小截面小 处流速大。 ☆当有多条支流时 S3 S1 v3 1 1＝ 2 2 3 3 v2 ☆适用范围：理想流体和 v1 S2 不可压缩的粘致流体。
从功能原理得
2
它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体 积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。在 工程上，上式常写成 p v2 h 常量 g 2 g
大学物理
p v2 、 、h g 2 g
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。 所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、 速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想 流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很 大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有 广泛的应用。
Q =S1 v1= S2 v2
Q S1 S 2 2 gh 2 S12 - S 2
大学物理
3.皮托(pitot)管原理
动画
是一种用来测量流体速度的装置
图2-10所示是一根两端开口弯 成直角的玻璃管，这是一种最 简单的测量流速的比较古老的 仪器，称为皮托管。1773年， 皮托就是利用这种简单的办法 测出法国塞纳河的流速。
p1 - p2 g (h2 - h1 )
大学物理
管涌
大学物理
体位对血压的影响
大学物理
2.等高线中流速与压强的关系-文特利流量计原理
1 1 2 2 P v1 P2 v2 1 2 2
流体力学流速计算公式
流体力学流速计算公式一、伯努利方程推导流速公式（理想不可压缩流体定常流动）1. 伯努利方程。
- 对于理想不可压缩流体作定常流动时，在同一条流线上有p+(1)/(2)ρ v^2+ρ gh = C（p是流体压强，ρ是流体密度，v是流速，h是高度，C是常量）。
- 假设水平流动（h_1 = h_2），则方程变为p_1+(1)/(2)ρ v_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2。
- 由此可推导出流速公式v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)。
2. 适用条件。
- 理想流体（无粘性），实际流体在粘性较小时可近似使用。
- 不可压缩流体，像水在大多数情况下可视为不可压缩流体，气体在低速流动时也可近似为不可压缩流体。
- 定常流动，即流场中各点的流速等物理量不随时间变化。
3. 示例。
- 已知水管中某点1处的压强p_1 = 2×10^5Pa，流速v_1 = 1m/s，另一点2处的压强p_2 = 1.5×10^5Pa，水的密度ρ = 1000kg/m^3。
- 根据v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)，将数值代入可得：- v_2=√(1^2)+frac{2×(2×10^{5-1.5×10^5)}{1000}}- 先计算括号内的值：2×(2×10^5-1.5×10^5)=2×5×10^4=10^5。
- 则v_2=√(1 + 100)= √(101)≈10.05m/s。
二、连续性方程推导流速公式（不可压缩流体定常流动）1. 连续性方程。
- 对于不可压缩流体的定常流动，有S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2分别是流管中两个截面的面积，v_1、v_2是相应截面处的流速）。
- 由此可推导出流速公式v_2=(S_1)/(S_2)v_1。
2. 适用条件。
- 不可压缩流体，如液体或低速流动的气体。
理想流体的流量公式
理想流体的流量公式在理想流体力学中，质量守恒定律可以表示为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度，∇是拉普拉斯算符。
通过对质量守恒定律的应用，可以推导出理想流体的流量公式，以下是两种常见的情况：1.一维恒定流动假设流体在一条长度为L的管道中以恒定速度v流动，管道横截面积为A。
根据质量守恒定律，可以得到：d(ρA)/dt = 0即流体质量在管道中的增加率为0。
根据定义，质量流量Q是单位时间内通过单位横截面的质量，即：Q=ρAv将上述的质量守恒定律代入，可以得到：dQ/dt + A(dρ/dt)v + ρ(dAv/dt) = 0由于流体的恒定流动特性，即dρ/dt = 0、dAv/dt = 0，所以上述方程可以简化为：dQ/dt = 0即质量流量是常数，表示单位时间内通过横截面的质量是不变的。
这就是流体的连续性方程。
2.不可压缩流体在管道中流动假设流体在一条长度为L的管道中以速度v流动，管道横截面积为A，流体的密度ρ保持恒定。
根据质量守恒定律，在恒定密度的条件下，可以得到：∇·v=0通过对速度v施加散度运算，可以得到速度的散度为零，即流体的速度场是无散场。
同时，根据定义，流量Q是单位时间内通过单位横截面的体积Q=Av将上述的质量守恒定律代入，可以得到：dQ/dt + A(dρ/dt)v + ρ(dAv/dt) = 0由于流体的不可压缩性质，即dρ/dt = 0、dAv/dt = 0，所以上述方程可以简化为：dQ/dt = 0即流量Q是常数，表示单位时间内通过横截面的体积是不变的。
这也是流体的连续性方程。
总结：可以看出，质量守恒定律是理想流体力学的基础，通过对守恒定律的应用和一些假设条件，推导出了流量公式。
这些公式在实际应用中，对于描述和计算流体力学现象具有重要的意义。
大学物理流体力学
例1：流体在半径为R的管内作定常流动，截面上的流速按
v v0 (1
设R=5cm,
r R)
v0
分布，r为截面上某点到轴线的距离。
1.2m s1 。求体积流量。
解：如图，取一半径为r，环宽为dr的圆环
面元ds，在则通过该面元的体积流量元为：
dQv vdS v0(1 r R) 2rdr
五.伯努利方程的应用 1.空吸作用
由连续性原理: Sv 常量
可见：S大则v小,S小则v大。 对于水平流管，伯努利方程变为：
P 1 v2 常量
2
可见：s小则P小，s大则P大。
应用：喷雾器，水流抽气机,家俱厂的喷漆机.
喷雾器
水流抽气机
1912年,有一只大的远洋轮船和一只小的巡洋舰 几乎平行地在海上航行.当它们之间的距离只有 100m多一点时,大船好象一块巨大的磁铁,小船在 强大的吸引力作用下,径直冲向大船,结果会怎样 大家是可以想象的,这特别大的吸引力是怎样产生 的呢?
即单位时间内流过流管中任一截面的流体 体积都相等.
2.讨论:
(1) 理想流体稳定流动时, v 1 s
(2) 单位时间内流过某截面的流体体积和流体 质量分别称为流体的体积流量和质量流量:
体积流量: QV vS
质量流量: Qm vS
（3）对于分支管道，连续性方程变为：
v1S1 v2S2 v3S3
故测得高度差h，即可求得流速.
应用：测飞机在空中相对空气的速度。
（P1 P2 )V
V
(
1 2
v22
gh2
)
(
1 2
v12
gh1 )
即:
P1
1 2
大学物理流体力学
流体力学
31
因为
v1 v2
h1 h2 得 A21 P1 P2
必须使管道左右两端保持足够的压强差才能维持牛顿流体的定
常流动
牛顿流体在横截面积相同的敞口渠道中作定常流动
因为 P1 P2 v1 v2 得 A21 gh1 h2
必须使渠道有足够的高度差才能维持牛顿流体的定常流动
物理
理想流体:绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体
流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。
流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。
1、 定常流动
v1
流体流经的空间称为流体空间或流场 。 定常流动：流体流经空间各点的速度不
v2 v3
随时间变化。
流体质量元在不同地点的速度可以各不相同。
流体力学
22
大学 第二节 黏滞流体的运动规律
物理
所有流体在流动时具有黏滞性，因此会有能量的 损耗。当能量损耗必须计时，将其作黏滞流体处理。
层流：当流体流速较小时，保 持分层流动，各流层之间只作 相对滑动，彼此不相混合。流 体的这种运动称为层流。 湍流：当黏滞流体流速较大时，容易产生径向流 动（垂直于管轴方向的速度分量），各流层相互 掺合，整个流体作无规则运动，称为湍流。
物理
2、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是能量守恒在流体力学中
的应用
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
（2）各量为国际单位。适用于理想流体的定常流动。
（3）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（4）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，
大学物理讲稿(第4章流体力学)第二节
第4章 流体力学§4.2 理想流体的流动一、连续性方程在一个流管中任意取两个与流管垂直的截面s 1和s 2 (如图4.2).设流体在这两个截面处的速度分别是21υυ和.则在单位时间内流过截面s 1和s 2的体积应分别等于2211υυs s 和.对于作稳定流动的理想流体来说,在同样的时间内流过两截面的流体体积应该是相等的.由此得:22112211υ=υ→∆υ=∆υS S t S t S (4.3)这就是说,不可压缩的流体在管中作稳定流动时,流体流动的速度υ和管的横截面积s 成反比,粗处流速较慢,细处流速较快.式(4.3)称为流体的连续性方程.这一关系对任何垂直于流管的截面都成立.式(4.3)表明:理想流体作稳定流动时,流管的任一截面与该处流速的乘积为一恒量. s υ表示单位时间流过任一截面的流体体积,称为流量.单位为米3／秒.(4.3)式表示"沿一流管,流量守恒".这一关系称为连续性原理.理想流体是不可压缩的,流管内各处的密度是相同的.所以 2211υρ=υρS S (4.4)即单位时间内流过流管中任何截面的流体质量都相同.进入截面s 1的流体质量等于由截面s 2流出的流体质量.所以式(4.4)表示的是流体动力学中的质量守恒定律 .二、伯努利方程伯努利方程式是流体动力学中一个重要的基本规律,用处很广,本质上它是质点组的功能原理在流体流动中的应用.当流体由左向右作稳定流动时,取一细流管,将其中的XY 这一流体块作为我们研究对象如图 4.6(a)所示.设流体在X 处的截面为s 1,压强为P 1,速度为1υ，高度(距参考面)为h 1;在Y处的截面积为s 2,压强为P 2,速度为2υ,高度为h 2.经过很短的一段时间t ∆后,此段流体的位置由XY 移到了 ''Y X ，如图4.6(b)所示,实际情况是截面s 1前进了距离1l ∆,截面s 2前进了2l ∆.在0t →∆的情况下, 01→∆l , 02→∆l .可以认为在这样微小距离内1υ和作用于s 1上的压强P 1是不变的; 2υ和作用于s 2上的压强P 2也是不变的,高度亦为h 1、h 2.同时设想s 1和s 2面积都未变,而且作用于它们上的压强是均匀的.让我们来分析一下在这段时间内各种力对这段流体所作的功以及由此而引起的能量变化.对这段流体做功的一种外力就是段外流体对它的压力,在图上用21F F 和表示,则外力所作的净功应为：V P V P t S P t S P l F l F W 212221112211-=∆υ-∆υ=∆-∆= (4.5)根据功能原理,外力对这段流体系统所作的净功,应等于这段流体机械能的增量.即 P k E E W ∆+∆= (4.6)仔细分析一下流动过程中所发生的变化可知,过程前后X '与Y 之间的流体状态并未出现任何变化.变化仅仅是表现在截面X 与X '之间流体的消失和截面Y 和Y '之间流体的出现.显然,这两部分流体的质量是相等的.以m 表示这一质量,则此段流体的动能和势能的增量分别为1221222121mgh mgh E m m E P k -=∆υ-υ=∆, )()(122122212121mgh mgh m m V P V P -+υ-υ=-于是就有 222212112121mgh m V P mgh m V P +υ+=+υ+即(4.7) 式中V m /=ρ是液体的密度.因为X 和Y 这两个截面是在流管上任意选取的,可见对同一流管的任一截面来说,均有(4.8) 式(4.7)和(4.8)称为伯努利方程式,它说明理想流体在流管中作稳定流动时,每单位体积的动能和重力势能以及该点的压强之和是一常量.伯努利方程在水利、造船、化工、航空等部门有着广泛的应用.在工程上伯努利方程常写成常数=+υ+ρh gg P 22(4.9) 上式左端三项依次称为压力头、速度头、和高度头,三项之和称为总头.于是式(4.9)说明“沿一流线,总头守恒”.很明显,式(4.8)中压强P 与单位体积的动能以及单位体积的重力势能gh ρ的量纲是相同的.从能量的观点出发,有时把称为单位体积的压强能.这样以来,伯努利方程的意义就成为理想流体在流管中作稳定流动时,流管中各点单位体积的压强能、动能与重力势能之和保持不变.具有能量守恒的性质.应用伯努利方程式时应注意以下几点：(1) 取一流线,在适当地方取两个点,在这两个点的V 、h 、P 或为已知或为所求,根据(4.7)式可列出方程.(2) 在许多问题中,伯努利方程式常和连续性方程联合使用,这样便有两个方程式,可解两个未知数.(3) 方程中的压强P 是流动流体中的压强,不是静止流体中的压强,不能用静止流体中的公式求解.除与大气接触处压强近似为大气压外,在一般情况下,P 是未知数,要用伯努利方程去求.(4) 为了能正确使用这个规律,再次强调,应用伯努利方程式时,必须同时满足三个条件：理想流体,稳定流动,同一流线.三、伯努利方程式的应用1.水平管在许多问题中,流体常在水平或接近水平的管子中流动.这时, 21h h =,式(4.7)变为)(212222112121h h P P =υρ+=υρ+ 从这一公式可以得出:在水平管中流动的流体,流速小处压强大,流速大处压强小的结论.如图4.7所示.这个结论和连续性原理:截面积大处速度小,截面积小处速度大联合使用,可定性说明许多问题.例如,空吸作用、水流抽气机、喷雾器等都是根据这一原理制成的.2. 流速计如图4.8所示,a 、b 两管并排平行放置,小孔c 在a 管的侧面,流体平行于管孔流过,这时液体在直管中上升高度为h 1;在b 管中小孔d 在管的一端,正对准流动方向,进入管内的流粒被阻止,形成流速为零的"滞止区",这时液体在管中的高度就比a 管高,设为h 2,令P 1、P 2分别为h 1、h 2与对应点处的压强,根据伯努利方程有2222112121υρ+=υρ+P P 21221υρ=-→P P gh P P 'ρ=-12而ρρ=υgh '2从而得： 在流体力学中,经常用液柱或流体柱高度(高度差)来表示压强(压强差)的大小.所以上式就可表示为gh 21212'ρ=υρ=-P P 若表示压强差的流体与管中流体相同,则gh 2=υ,若两者不同,则ρρ=υgh '2.因此,用液柱高度表示流体压强时,必须注意二者相同与否. 作业(P94)：4.5。
理想流体与非理想流体
理想流体与非理想流体理想流体和非理想流体是流体力学中两个重要的概念，它们分别描述了流体在不同条件下的行为特征。
本文将探讨理想流体和非理想流体的定义、特点以及在实际应用中的差异。
一、理想流体的特点理想流体是指在流体力学计算中假设的一种理想情况，具有以下特点：1. 不可压缩性：理想流体假设是不可压缩的，在其内部不存在体积的变化。
这种假设在一些求解速度较低的流体问题中是有效的。
2. 无粘性：理想流体假设是没有粘性的，即在流体的内部不存在黏滞阻力。
这种假设在一些较为简单的流体问题中适用。
3. 完全可压缩性：理想流体具有完全可压缩性，即在流体内部可以自由传播压力波，以及体积变化。
这种假设在一些高速流动问题的研究中是有效的。
二、非理想流体的特点非理想流体是指真实流体在某些条件下表现出来的特性，与理想流体相比，非理想流体具有以下特点：1. 可压缩性：非理想流体是可压缩的，其在流动过程中体积会发生变化。
这种特点需要通过压缩性方程进行描述，并在一些压缩性流体力学问题中得以应用。
2. 粘性：非理想流体存在粘性，即在流体的内部存在阻碍流动的摩擦力。
粘性在真实流体的运动中起着重要的作用。
3. 熵增：非理想流体的流动过程中熵会增加，熵增可以用来描述非可逆过程的发生。
这种特性在实际流体力学问题中需要考虑。
三、理想流体与非理想流体在应用中的差异理想流体和非理想流体在实际应用中存在一定的差异，主要表现在以下几个方面：1. 流动模型选择：在计算流体力学中，对于不同的流动问题，需要选择合适的模型来描述流体的行为。
对于一些简单的流体问题，可以使用理想流体模型进行计算；而对于一些需要考虑非可压缩性、粘性等因素的流动问题，则需要采用非理想流体模型。
2. 计算方法：针对理想流体和非理想流体的不同特点，需要采用不同的计算方法进行求解。
对于理想流体，可以采用欧拉方程或拉格朗日方程等计算方法进行求解；而对于非理想流体，需要考虑压缩性方程、黏性方程等因素，采用相应的计算方法进行求解。
第4章-静力学及理想流体力学
⎧ Fr = ω 2 r ⎪ 其中：⎨ ⎪ Fz = − g ⎩
其中 c 为常数。
⎛ ω 2r 2 ⎞ ⇒ p = ρg ⎜ − z⎟+C ⎝ 2g ⎠
代入边界条件：z = 0, r = r0 , p = ρ gh
习题五
⎛ ω 2 r02 ⎞ C = ρg ⎜h − ⎟ 2g ⎠ ⎝
所以，容器顶盖上（z= 0）压力分布为：
（3）、 比较两个速度场所得的结果 从计算结果可以看出，场①的等势线族为圆心为原点的一系列圆， 等流线族为通过原点的一系列射线，它的复位势对应着点源（汇）的复 位势。场②的等势线族为通过原点的一系列射线，等流线族为圆心为原 点的一系列圆，它的复位势对应着点涡的复位势。
习题五 3、证明不可压流体的理想、定常、二维流动，在忽略质量力 时，流函数ψ 和涡旋 Ω 满足 ∂ (Ω,ψ ) ∂Ω ∂ψ ∂Ω ∂ψ = − =0 ∂ ( x, y ) ∂x ∂y ∂y ∂x p 1 2 若Ω是常数，则压力方程为 + V + Ωψ = const ρ 2
习题五
（1）、速度分布②的速度势、流函数及复位势 ∂ϕ 2 −cy ⎫ ⎛ y⎞ = 2 ⇒ ϕ 2 = carctg ⎜ ⎟ + C ( y ) ⎪ ∂x x + y2 ⎪ ⎝x⎠ ⎛ y⎞ ⎬ ⇒ ϕ 2 = carctg ⎜ ⎟ + C ∂ϕ 2 cx ⎪ ⎝x⎠ = 2 x + y2 ⎪ ∂y ⎭ 等势线族为： arctg ( y x ) = θ c
习题五
⎡ ⎛V 2 p ⎞ ⎤ ⎛V 2 p ⎞ ∇⎜ + ⎟ + Ω × V = 0 ⇒ ∇ × ⎢∇ ⎜ + ⎟ + Ω ×V ⎥ = 0 ⎝ 2 ρ⎠ ⎣ ⎝ 2 ρ⎠ ⎦
1.2理想流体的稳定流动1
S1 v1= S2 v2
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第二节
理想流体的定常流动
第一章 流体力学
2. 证明：在细流管中 , 流体流经截面 S1 和S2的速率为v1和v2 , 在t时间 内流过这两个截面的流体体积 v1 分别为 V1 = S1 v1 t V2 = S2 v2 t 对于不可压缩流体 S1 v1= S2 v2 或 S v = 恒量 上式称为理想流体的连续性方程。
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h
结束
第二节
理想流体的定常流动
第一章 流体力学
Q o
在A 处气流速率为零, 在流线 OA上运用伯努利方程, 得到
A
B
p A gh A pO ghO
对于流线QB
1 2
vO
2
h
2 2 点O和点Q非常接近, 可认为各量相等。又因皮托 管一般都很细, 点A与点B的高度相差很小, hA = hB 。 考虑到这些条件, 得
结束
根据功能原理
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第二节
理想流体的定常流动
第一章 流体力学
即
1 2 1 2 1 v 2 gh2 v1 gh1 ( p1 p2 ) 2 2
整理可得
1 1 2 2 p1 v1 gh1 p2 v 2 gh2 2 2
去掉角标, 对于同一条细流管中的任一截面, 下 面的关系总是成立的
1 2
所以
v B gh
2 gh
2
vB
这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算 出待测气流速率。
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流体力学--理想流体的流动
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速：2 S1
2gH S12 S22
,
1
S2
2gH S12 S22
体积流量：QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个 竖管的高度差， 就可以测量流 速和流量
•二. 流速的测定：
应用实例3. 皮托管：常用的流速测定装置；
补充例题， 水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引入 到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为＝103 kg/m3)。
2 16m / s
p2 2.25105 (Pa)
伯努利方程：理想流体在重力场中作稳定流动时，能量守
衡定律在流动液体中的表现形式。
一. 伯努利方程的推导：
稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1 a2处：S2，2，h2, p2 经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
粘滞力：
粘滞流体在流动中各层的流速不同，相邻两流层之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力和哪些因素有关？
流体内相邻两层内摩擦力的大小：
与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正 规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量： 上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
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第三节 有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积
但随流物理量总是正的 在积分前加负号
一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动 涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处 曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一 条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量： 质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：
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第十一章 流体力学
流体：能够流动的物质 液体、气体。 流体静力学 流体动力学
理想流体的稳定流动 一、理想流体的稳定流动
1.实际流体：可压缩， 有粘滞性。 理想流体：不可压缩， 无粘滞性。 2.稳定流动：流体流经 空间各点的流速不随 时间变化。
S2
v2
v1
v2 t
S1
v1 t
2. 连续性方程的适用范围：理想流体、同一流管、 稳定流动。
伯努利方程及其应用 一、伯努利方程
1. 内容：理想流体在同一流管 中稳定流动时，流体压强、 流 速、高度的关系。 2. 公式：
P1
或
S1
S1
v1
S2 S2
P2
v2
P1 h1
h21 ρ gh1 P1 ρ v2 ρ gh2 2 2
1 2 P1 ρ v ρ gh 恒量 2
3.伯努利方程物理意义：
1 2 P1 ρ v ρ gh 恒量 2
单位体积 压强能 动能
B
f
r
v
G mg
b.运动过程： 0 G B v向下
3
v f B f G ，合力为零
则v达到最大值vm，小球开始匀速下落。
c. 计算：此时：
4 3 r 0 g 6 r v 4 r 3 g 3 3
A P PA PB PC
S1 S2 v1 v2
A g
gh1 gh2 A h1 h2
结论：上下游之间必须有一定高度差，才能维持渠道 中水的稳定流动。
泊肃叶定律、斯托克斯定律
一、泊肃叶定律
1、内容：粘滞流体在水平圆管中稳定分层流动时的流量
二、实际流体的流动。
1、实际流体的伯努利方程 考虑单位体积的流体从A流动到B克服粘滞力作动A， 则： 1 1 2 2
PA
2
v A ghA PB vB ghB A
2
PA PB PC
比较：理想流体：单位体积总能量不变 实际流体：距离 2、渠道中水的稳定流动 上部敞开 P1 P2 P0 则：
hA hB
P0
A
h
B
h1 h2
则
(水平流管）
1 1 2 2 P1 ρ v1 P1 ρ v2 2 2 1 2 或 P1 ρ v 恒量 2
可见 v P 或 v P
二、伯努利方程的应用
P0
1.小孔流速 分析： SA SB
势能
伯努利方程是流体力学中的能量转换与守恒定律。
4. 适用范围：理想流体，同一流管，稳定流动。
5. 特例： a. v 0 则 P0 ρghA PB ρghB
PB P0 ρg(hA hB ) P0 ρgh
为流体静压强公式，可见流体静 力学是流体动力学的特殊情况。 b.
v 0 PA PB P0
1 2 ρ vB 0 2
A
h
B
则： P0 0 ρ gh P0
vB 2gh
结论：小孔流速与物体自水面自由 降落到小孔处的速度相同。
2.汾丘里流量计
a. 装置与原理
b. 公式：
SA SB vA vB PA PB h
2r 2 g ( 0 ) 解得： vm 9
v m 为小球稳定下落的速度，称为终极速度。 其中：
d.分析：（1） v m 成
P1 P2 4 R 2、公式： Q 8 l
其中： P1 P2 为管道中单位长度上的压强差，称为压
l
强梯度。
4 注意： Q R
l
P1
v
P2
二、斯托克斯定律
1、内容：小球在粘滞流体中运动时所受 阻力 f 6 r v 2、应用：小球在粘滞液体中的降落。
0 4 3 a.受力分析： 浮力： B r 0 g 3 4 3 G r g 重力： 粘滞阻力：f 6 r v
2、粘度的定义 dv 流速变化率 ，称为速度梯度。
dy
y
S S
内磨擦力
f S
dv dy
O
v dv
dy
称为粘度，单位：Pa s
3、影响流体粘度的因素 a. 流体性质 b. 温度 液体： T
z
v
x
T 气体：
二、连续性方程（理想流体在同一流管中稳定流动
时，流速与截面的关系）
1. 连续性方程的推导：
' ' 流体于时间 Δt 内，由 S1 . S2 S1 . S2
则：v1 Δt S1 v2 Δt S2
v1 S1 v2 S2 v1 S2 v2 S1
Q S A SB ρgh 2 2 SA SB
3. 空吸作用 水流抽气机
原理： SC SA vC vA PC PA 吸
A
h
C
B
空气
A
B
vA
vB
E
D
液体的粘滞性，实际流体的流动
一、流体的粘滞性 1、粘滞现象 概念：流体流动时，各流层之间存在阻碍其相对运动的内 磨擦力的作用。 影响：流体的粘滞性使流体同一截面上流速不同。
A
B
A
B
a
b
3.流线与流管（流体运动的形象描述） a.流线 定义：流体质点在流场中不同位置的流动方向线。 表示：流线切线：流速方向 流线疏密：流速大小。 性质：流线不能相交。 特例：稳定流动的流线形状不随时间变化。
B
vB
N
vA
A
M
l
b.流管 定义：由一组流线组成的管状区域。 性质：流线不能穿过流管管壁，流管内外的流体不能混。