函数的概念与表示法
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义
函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),x a bu m n∈，那么[()]y f u=，(),=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是()y f xx称为y的原象，映射f也可记为：:f A B()x f xf x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2017秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：B 中，当x ＞0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性， A ，C ，D 满足函数的定义， 故选：B ．2．（2017秋•大观区校级期中）已知集合P={x |0≤x ≤4}，集合N={y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（ ） A ．f ：x→y=12xB ．f ：x→y=13xC ．f ：x→y=23xD ．f ：x→y=√x【解答】解：f ：x→y=12x ，是函数，f ：x→y=13x ，是函数，f ：x→y=23x ，不是函数，4→23×4=83∉N ；f ：x→y=√x ，是函数， 故选：C ．3．（2017秋•定远县期中）下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①y=x ﹣（x ﹣3）； ②y=√x −2+√1−x ； ③y={x −1(x ＜0)x +1(x ≥0) ④y={0(x 为有理数)1(x 为实数).．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x 在它的允许取值范围内任意取一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，故①③表示y 是x 的函数；在②中由{x −2≥01−x ≥0知x ∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y 是x的函数；在④中若x=0，则对应的y 的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以④不表示y 是x 的函数． 故选：C ．4．（2017秋•凉州区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y=x 与y=√x 2B ．y=2lgx 与y=lgx 2C ．y =√x 33与y=xD ．y=x ﹣1与y=x 2−1x+1【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域， 观察四个选项，得到A 答案中两个函数的对应法则不同，B 选项中两个函数的定义域不同，C 选项中两个函数相同，D 选项中两个函数的定义域不同， 故选：C ．5．（2017秋•鹰潭期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=|x |，g （x ）=√x 2B ．f （x ）=lg x 2，g （x ）=2lg xC ．f （x ）=x 2−1x−1，g （x ）=x +1D ．f （x ）=√x +1•√x −1，g （x ）=√x 2−1【解答】解：对于A ，∵g （x ）=√x 2=|x|，f （x ）=|x |，∴两函数为同一函数； 对于B ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＞0}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于C ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，而函数g （x ）的定义域为R ，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于D ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＜﹣1或x ＞1}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数． 故选：A ．6．（2018春•天心区校级期末）定义运算a*b ，a ∗b ={a(a ≤b)b(a ＞b)，例如1*2=1，则函数y=1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x1，x≥0∴f（x）={2x，x＜0由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．7．（2018春•海州区校级期末）若函数y=√ax2+2ax+3的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【解答】解：由题意：函数y=√ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：{a＞0f(−1)≤0⇒{a＞0a−2a+3≤0解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．8．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x【解答】解：设lnx=t则x=e t∴f（t）=3e t+4∴f（x）=3e x+4故选：A．9．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，∴{f(2)+2f(12)=6，①f(12)+2f(2)=32，②，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．10．（2017秋•咸阳期末）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=3x+2B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x﹣1D．f（x）=3x+4【解答】解：设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴函数f（t）=3t﹣1，即函数f（x）=3x﹣1故选：C．11．（2017秋•尖山区校级期末）已知f（x﹣2）=x2﹣4x，那么f（x）=（）A．x2﹣8x﹣4B．x2﹣x﹣4C．x2+8x D．x2﹣4【解答】解：由于f（x﹣2）=x2﹣4x=（x2﹣4x+4）﹣4=（x﹣2）2﹣4，从而f（x）=x2﹣4．故选：D．12．（2017秋•潮南区期末）已知函数f（x）=√3x−13ax2+ax−3的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞13B．﹣12＜a≤0C ．﹣12＜a ＜0D ．a ≤13【解答】解：由a=0或{a ≠0△=a 2−4a ×(−3)＜0可得﹣12＜a ≤0， 故选：B ．二．填空题（共7小题）13．（2017春•陆川县校级期末）已知函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）．则函数g （x ）的定义域为 [0，2） ． 【解答】解：由函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2）， 得：﹣1≤x 2﹣1＜3，故函数f （x ）的定义域是[﹣1，3）， 故﹣1≤x ﹣1＜3，﹣1≤3﹣2x ＜3， 解得：0≤x ＜2，故函数g （x ）的定义域是[0，2）， 故答案为：[0，2）．14．（2017•重庆模拟）设函数f （x ）={log 2(−x2)，x ≤−1−13x 2+43x +23，x ＞−1，若f （x ）在区间[m ，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m 的取值范围为 [﹣8，﹣1] ． 【解答】解：函数f （x ）的图象如图所示，结合图象易得 当m ∈[﹣8，﹣1]时， f （x ）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．15．（2018•榆林三模）已知二次函数f （x ）=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则a+1c +c+1a的最小值为 4 ． 【解答】解：由题意知，a ，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c ＞0，则a+1c +c+1a =a c +1c +c a +1a =（a c +c a ）+（1a +1c）≥2+2√1ac =2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．∴a+1c +c+1a的最小值为4．16．（2017秋•南阳期中）函数f （x ）=x ﹣√1−x 的值域是 （﹣∞，1] ．【解答】解：设√1−x =t ，则t ≥0，f （t ）=1﹣t 2﹣t ，t ≥0，函数图象的对称轴为t=﹣12，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，∴f （t ）max =f （0）=1，∴函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．17．（2017秋•天心区校级期末）已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是 f （x ）=3x ﹣1 ．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．18．（2017秋•清河区校级期中）已知a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=1．【解答】解：∵a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，∴1通过映射可得1∈N，解得a=1，b a →ba∈N，可得ba=0，解得b=0，∴a+b=1，故答案为1；19．（2018•开封一模）f(x)={2e x−1，x＜2log3(x2−1)，x≥2.则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为2三．解答题（共1小题）20．（2016春•江阴市期末）已知函数f （x ）满足f （x +1）=lg （2+x ）﹣lg （﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）解不等式f （x ）＜1．【解答】解：（1）由已知令t=x +1，则f （t ）=lg （t +1）﹣lg （1﹣t ）， 即f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）；由{x +1＞01−x ＞0得到﹣1＜x ＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）； （2）f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）=lg 1+x 1−x ＜1，即{1+x 1−x ＜10−1＜x ＜1，解得﹣1＜x ＜911．。
函数的概念及其表示
一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。
函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。
事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。
为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。
一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。
我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。
对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。
当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。
对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。
函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
函数的概念及表示方法
函数的概念及表示方法
1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
其中，
函数定义注意点：一个x 只能对应一个y ，集合A 中的全部元素要找到它的对应元，集合B 可以多出元素，即值域应包含于B ；
2.定义域：x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
抽象函数的定义域的求解思路：
注意两点：⎩
⎨⎧价的括号里表示的东西是等的取值范围定义域指的是f x .2.1 3.与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
4.同一函数的判定：①定义域是否相同②化简，看对应法则是否相同；
5.求值；
6.求函数解析式的方法
①代入法（已知f(x)的函数解析式）
②待定系数法（已知函数的函数类型，如一次函数等）
③配方法
④换元法
⑤解方程组
⑥赋值法
7.分段函数
8．映射
9.函数的表示法：解析式，表格，图像.。
3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版)
函数的概念及其表示方法一函数的概念1 概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) ,x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2 定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.3 值域①概念函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3) 换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4 区间实数集R表示为(−∞ ,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.2 图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.3 解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法【题型一】函数概念的理解【典题1】设集合M={x|0≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件，因为当1<x≤2时，N中没有y值与之对应.图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.图象C 不满足条件，因为对于集合M ={x|0<x ≤2}中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义.只有D 中的图象满足对于集合M ={x|0≤x ≤2}中的每一个x 值，在N ={y|0≤y ≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，故选D .【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( ) ① x 2+y 2=1 ② |x －1|+√y 2−1=0 ③ √x −1+√y −1=1 ④ y =√x −2+√1−x ． A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】①由x 2+y 2=1得y =±√1−x 2，不满足函数的定义， 比如x =0，y =±1，所以①不是函数．②由|x －1|+√y 2−1=0得|x －1|=0，√y 2−1=0， 所以x =1 ,y =±1，所以②不是函数．③由√x −1+√y −1=1得y =(1−√x −1)2+1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y =√x −2+√1−x 有意义，则{x −2≥01−x ≥0，解得{x ≥2x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．故选：C ．【点拨】函数中自变量x 与函数值y 的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数y =√−x 2+2x+3x的定义域是 .【解析】要使函数有意义，则{−x 2+2x +3≥0x ≠0，即{−1≤x ≤3x ≠0.即−1≤x <0或0<x ≤3，即函数的定义域为[−1 ,0)⋃(0 ,3]．【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( ) A ．f(x)=x ,g(x)=√x 33B ．f(x)=√x 2 ,g(x)=|x|C ．f (x )=x 2−3x ,g (t )=t 2−3tD ．f(x)=x 2−4x−2 ,g(x)=x +2【解析】A ,B ,C 的定义域和对应法则相同，表示同一函数，D中g(x)=x+2的定义域是R，f(x)=x2−4x−2=x+2定义域为{x|x≠2}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．【点拨】①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的f(x)=x2－3x ,g(t)=t2－3t是同一函数.【典题3】已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2x−1)的定义域.【解析】∵0≤x≤3 ∴−1≤x2−1≤8∴−1≤2x−1≤8 ∴0≤x≤9 2故函数f(2x−1)的定义域是[0 ,92].【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，若把题目换成“已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2t−1)的定义域.”好理解多了，①谨记定义域指的是自变量的取值范围，所以由“f(x2−1)定义域为[0 ,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t−1)的定义域”指的就是求t的范围.②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体，它们的范围是相等的这样就有“−1≤x2−1≤8 ⇒−1≤2t−1≤8”.【题型三】求函数的值域方法1 配方法【典题1】求函数y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.【解析】y=5x 2−4x+1x2=1x2−4x+5=(1x−2)2+1∵x∈[14 ,1] ∴1x∈[1 ,4]，∴1≤(1x−2)2+1≤5，即y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域[1 ,5].【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2 数形结合【典题2】 求函数f (x )={2x −x 2 ,(0≤x ≤3)x 2+6x ,(−2≤x ≤0)的值域.【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域) f (x )=2 x −x 2=−(x −1)2+1，开口向下，最大值为f (1)=1 , 而f(0)=0 ,f(3)=−3 ,f (x )=x 2+6 x =(x +3)2−9 , 开口向上，而f(−2)=−8 ,f(0)=0， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为[−8 ,1]. 【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3 换元法【典题3】 求函数f (x )=2x +√1−x 的值域.【解析】令t =√1−x (t ≥0)，(要注意新变量t 的取值范围) 得x =−t 2+1，∴原函数化为y =−2t 2+t +2=−2(t −14)2+178≤178(把函数转化为二次函数值域问题)∴函数f (x )=2 x +√1−x 的值域为(−∞ ,178].【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，即求函数f (x )=2x +√1−x 的值域⇔y =−2t 2+t +2 (t ≥0)的值域，其中特别注意t ≥0不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想.【典题4】 函数f(x)=−9−x +(13)x−1+34在[−1 ,+∞)上的值域为 ．【解析】f(x)=−9−x +(13)x−1+34=−(13)2x +3×(13)x +34，(本题主要是注意到了9−x 和(13)x−1均可(13)x 或3x 的形式，故想到换元法) 令t =(13)x ，因为x ∈[－1 ,+∞)，所以t ∈(0 ,3]，原函数的值域等价于函数g(t)=−t 2+3t +34=−(t −32)2+3(0<t ≤3)的值域， 由二次函数的性质可知，f(x)=[34 ,3]，即所求函数的值域为[34 ,3]． 【点拨】① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题3的“t≥0”，典题4中的“t∈(0 ,3]".方法4 函数单调性法【典题5】函数f(x)=2x2−2x+3 ,x∈[0 ,3]的值域为.【解析】由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0 ,1]上单减，在[1 ,3]上单增，又f(0)=23=8 ,f(1)=22=4 ,f(3)=26=64，∴函数值域为[4 ,64]．【点拨】①利用函数单调性是求函数值域最常见的方法，高二还会学到导数，它是一把利器.②复合函数的单调性是"同增异减".方法5 分离常数法【典题6】求函数f(x)=2x 2−1x2+1的值域.【解析】函数f(x)=2x 2−1x2+1=2(x2+1)−3x2+1=2(x2+1)x2+1−3x2+1=2−3x2+1，(在分子2x2−1中“凑出”分母x2+1，最终达到“分式中的分子是个常数3”的目的)∵x2+1≥1 ,∴0<1x2+1≤1⇒−3≤−3x2+1<0⇒−1≤2−3x2+1<2，故函数f(x)=x 2−1x2+1的值域是[－1 ,2).【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d 均可用分离常数法求函数值域，比如求函数y=3x+14x−2,y=3∙2x+42x−1的值域.方法6 基本不等式法(对勾函数法)【典题7】求函数f(x)=x 2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.【解析】∵f(x)=x 2+4x+1x2+1=x2+1x2+1+4xx2+1=1+4xx2+1，(也有点分离常数法的感觉)∴①当x=0时，f(x)=1；(x=0这个不能漏)②当x>0时，0<4xx2+1=4x+1x≤4√x⋅1x=2，当且仅当x=1时“=”成立；此时1<f(x)≤3，(利用对勾函数y=x+1x(x>0)的图像求解也可以)∴函数f(x)=x 2+4x+1x 2+1(x ≥0)的值域为[1,3]．【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y =dx 2+ex+fax 2+bx+c 的值域. 巩固练习1(★) 函数y =f(x −1)与函数y =f(x +1) ( ) A ．是同一个函数 B ．定义域相同 C ．图象重合 D ．值域相同【答案】 D【解析】由于函数y =f(x －1)中x －1的范围与函数y =f(x +1)中x +1的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f ，故函数y =f(x －1)与函数y =f(x +1)具有相同的值域， 故选：D ．2(★) 函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 . 【答案】[−2,4)∪(4,6]【解析】解{−x 2+4x +12≥0x −4≠0得，－2≤x ≤6，且x ≠4； ∴f(x)的定义域为：[－2,4)∪(4,6]．3(★★) 已知函数f(x +1)定义域为[1 ,4]，则函数f(x －1)的定义域为 . 【答案】[3 ,6]【解析】∵f(x +1)的定义域为[1,4]；∴1≤x ≤4；∴2≤x +1≤5； ∴f(x)的定义域为[2,5]；∴f(x －1)满足：2≤x －1≤5；∴3≤x ≤6； ∴f(x －1)的定义域为[3,6]．4(★★) 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是为 . 【答案】 [0,2]【解析】∵0≤－x 2+4x ≤4，∴0≤√−x 2+4x ≤2， ∴0≤2−√−x 2+4x ≤2，故函数y =2−√−x 2+4x 的值域是[0,2]．5(★★) 函数y =√x −1+√x +1,(x ≥1)的值域为 . 【答案】[√2,+∞]【解析】函数y =√x −1+√x +1显然在 x ≥ 1上是增函数，所以函数值域为[√2,+∞]. 6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x ≥1)的值域为 . 【答案】 [0,1)【解析】f(x)=x+3−4x+3=x+3x+3−4x+3=1−4x+3， 则当x ≥1时，f(x)为增函数， 则f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1， 即函数的值域为[0,1)．7(★★) 函数y =4x +2x+1+3的值域为 . 【答案】(3 ,+∞) 【解析】令t =2x (t >0)，∴函数y =4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)=t 2+2t +3=(t +1)2+2(t >0), ∴f(t)>3，即函数y =4x +2x+1+3的值域为(3,+∞)． 8(★★★) 求函数y =2x 2−x+12x−1(x >12)的值域.【答案】[12+√2 ,+∞) 【解析】 y =2x 2−x+12x−1=x(2 x−1)+12 x−1=x +12 x−1=x −12+12 x−1+12∵ x >12， ∴ x −12>0 ∴ x −12+12x−12≥2 √( x −12)×12x−12=√2当且仅当 x −12=12x−12时，即x =1+√22时等号成立，∴ y ≥√2+12 ，所以原函数的值域为 [12+√2,+∞) .【题型四】分段函数【典题1】设函数f(x)={x 2+2 (x ≤2)2x (x >2)，若f(x 0)=8，则x 0= ．【解析】由题意，得①当x 0≤2时，有x 02+2=8，解之得x 0=±√6， 而√6>2不符合，所以x 0=−√6；②当x 0>2时，有2x 0=8，解之得x 0=4． 综上所述，得x 0=4或−√6．【典题２】已知函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0，若互不相等的实数x 1 ,x 2 ,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围为 .【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设f (x 1)=t ，本题就函数y =t 与y =f(x)交点横坐标的问题，自然想到数形结合)函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2 ,x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6， 且x 1满足−73<x 1<0；则x 1+x 2+x 3的取值范围是−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6； 即x 1+x 2+x 3∈(113 ,6)．【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域. 处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型五】求函数解析式 方法1 配凑法【典题1】已知f(x +1x )=x 2+1x 2(x >0) , 求f(x)的解析式. 【解析】 ∵x >0 ∴x +1x ≥2∵ f (x +1x )=(x +1x )2−2 , ∴ f(x)=x 2−2 (x ≥2) (注意函数的定义域)【点拨】本题主要是观察到x +1x 与x 2+1x 2之间存在“完成平方”的关系.方法2 待定系数法【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0 ,且f(x +1)=f(x)+x +1，求f(x)的解析式． 【解析】依题意可设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0)，若f(0)=0，且f(x +1)=f(x)+x +1，∴c =0且a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+bx +c +x +1 即c =0且(2a +b )x +a +b +c =(b +1)x +c +1， ∴{c =02a +b =b +1a +b +c =c +1，解得a =12,b =12,c =0． ∴f(x)=x 2+x2；【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法【典题３】已知f(√x +1)=x +2√x , 求f(x +1). 【解析】令t =√x +1，则t ≥1 , x =(t −1)2，∵ f(√x +1)=x +2√x∴ f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1，∴ f (x )=x 2−1 (x ≥1) ∴ f (x +1)=(x +1)2−1=x 2+2x (x ≥0). 【点拨】② 用换元法时注意新变量的取值范围.② 用配凑法f(√x +1)=x +2√x =(√x +1)2−1⇒f (x )=x 2−1 (x ≥1)，但要求观察力足够好.方法4 构造方程组法【典题４】设f(x)满足f(x)−2 f(1x )=x , 求f(x)的解析式. 【解析】∵ f(x)−2 f(1x )=x ①显然x ≠ 0，将x 换成1x，得：f(1x)−2 f(x)=1x②解①②联立的方程组，得：f(x)=−x 3−23x .方法5 代入法【典题５】与函数y =x 2−3x +2的图象关于点(0,1)对称的函数是 . 【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于点(0,1)对称的点是Q(−x ,2−y)．由题意知点Q(−x ,2−y)在函数y =x 2−3x +2的图象上，则2−y =x 2+3x +2，化简得y =−x 2−3x ．【点拨】① 由下图可对本题有个更清晰的理解.② 求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y =x 2−3x +2换成y =2x 或者把“关于点(0,1)对称”换成“关于y =−1对称”，其解题过程大同小异.巩固练习1(★) 已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x >0)，若f(a)=10，则a 的值是 ． 【答案】 －3或5【解析】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =−2；当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．2 (★★) 已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(−∞ ,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 [38 ,12) 【解析】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(－∞,+∞)上单调递减 则{2a −1<00<a <1(2a −1)+7a −2≥a解得：38≤a <12 故答案为：[38,12)3(★★) 已知一次函数f(x)满足条件f(x +1)+f(x)=2x ，则函数f(x)的解析式为 ．【答案】 f(x)=x −12【解析】设f(x)=kx+b，k≠0，∵f(x+1)+f(x)=2x，∴k(x+1)+b+kx+b=2x，即2kx+k+2b=2x，∴{2k=2k+2b=0，解可得k=1，b=−1 2，∴f(x)=x−12.4(★★)已知f(√x)=x2−2x，则函数f(x)的解析式为．【答案】f(x)=x4－2x2(x≥0)【解析】f(√x)=x2−2x=(√x)4−2(√x)2，∴f(x)=x4－2x2(x≥0)．5(★★★) 已知f(0)=1，对于任意实数x ,y，等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)，求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=x2+x+1【解析】对于任意实数x、y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)恒成立，不妨令x=0,则有f(−y)=f(0)−y(−y+1)=1+y(y−1)=y2−y+1再令−y=x,得函数解析式为f(x)=x2+x+1 .。
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
26
随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
27
随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念及其表示方法
教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的概念及其表示法ppt课件
∴2aa＋＝b1＝，－1，
即ab＝ ＝12－，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x，
得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由fx＝2f1x· x－1， f1x＝2fx· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
2 (1)lgx－1(x>1)
解析 (1)f56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时， 则 ff56＝f52－b＝352－b－b＝4， 解之得 b＝78，不合题意舍去． 若52－b≥1，即 b≤32，则 ＝4，解得 b＝12.
(2)当 x<1 时，ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2， 所以 x<1.
当 x≥1 时， ≤2，解得 x≤8，所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则 2ax＋a＋b＝x－1，
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
函数的概念及表示法PPT课件
4
5
6
y（元）
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
解 f 0 20 1
3
f 5 2 5 1
3
， f 2 2 2 1
3
， f b 2b 1
3
， ．
巩固知识 典型例题
动 脑思考 探索新 知
作函数图像的一般方法——描点法
.
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
总结演示
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1)能(2)不能(3) 能 (4)不能
应用知识 强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
x4
2．已知 f x 3x 2 ，求 f 0 ， f 1 ， f a ．
函数的概念及表示方法
函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是 非空实数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的 每一个实数，在集合B 中都有 唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 定义域 ，与x 的值相对应的y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 叫做函数的 值域，显然，值域是集合B 的子集。
注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素： 值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 在本质上也是相同的,则称两个函数相等。
4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。
举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。
优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做 分段函数 。
拓展一 判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？ （ ）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二 函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）拓展三 求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
函数的概念及其表示法
时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础，通过拟合数据点， 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
函数的概念
函数的概念及表示一、函数的定义初中定义:在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与对应. 那么就说y 是x 的函数，其中x 叫做自变量。
高中定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。
初中所学函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数1．一次函数:b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函:xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数:c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且:定义域R,值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且:定义域+R ,值域为R ；二、区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
函数的概念及其表示
ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。
（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。
三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
函数的概念及表示法
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、 链表、树等）的基本操作和性能特点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
描述
表格表示法通常将输入值和输出值按 照一定的顺序排列成表格，以便查看 和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可 能无法完全准确地表达，且需要大量 的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数 图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标 系中绘制曲线或曲面来表示 函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距 离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即 扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对 称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性 质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。
函数的概念及其表示
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( ) (A)π2 (B)π (C) π (D)不确定
1．如图，可表示函数 y＝f(x)的图象的只可能是( )
2.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中， 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2.已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)
3.若
f
(x)
满足
f
(x)
2
f
(1) x
ax,
求
f
(x)
4.已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 3，求 f(x)的解析式．
1.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义 域内存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函 数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合 M 的函数是________．
第1节 函数的基本概念(一)
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域．
f(x)≤1 的解集为( )
(A)(－∞，－3]∪[－1，＋∞) (B)[－3，－1]
(C)[－3，－1]∪(0，＋∞) (D)[－3，＋∞)
.求函数的解析式
变【式例、5】根1据. 已条知件f求( 下x列 1各) ＝函x数＋的2，解求析f(x式)的：解析式．
函数的定义及其表示法
定义: 设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集.
如果对任何的x D，变量y按照一定的规律，有确定
的数值与之对应，则称y是x的函数，记作
y=f (x) 称D为该函数的定义域.称x为自变量，称y为因变量.
当自变量x取数值 x0 D 时，与 x0对应的因变量y 的值称为函数y=f (x)在点x0 处的函数值，记为f (x0 ) 或y |xx0 .当x取遍D的各个数值时，对应的变量y取值 的全体组成数集称做这个函数的值域.
函数的记号f :表示自变量x与因变量y的对应规则，
也可用
F,, f1等, f.2
函数的定义域:使函数表达式有意义的自变量的
一切实数值所组成的数集.
实际问题中，函数的定义域由实际意义确定.
函数的值域:全体函数值的集合.
两个函数相同:(1)定义域相同 (2)对应规则相同
例1：设f(x)=x2-2x+3,求f(0),f(3),f(-3),f(a) 解：f(0)=3
2x+1 (x≥0) f(x)=
-2x (x<0) 就是一个分段函 数。这里f(1)=3,f(-1)=2。
分段函数的表达式虽然不止一个， 但它不是几个函数，而是一个函数.
例2 求函数y x 1的定义域 . x3
解 当分母x 3 0时,此函数式都有意义. 因此函数的定义域为 (,3)和(3,).
以确定相应的s值.
复利问题 :存入银行 元ko本金,月利率为2%,
那么在第t个月后的存款余额(本利和) 与at t的关系:
at ko 1.02t
两个变量按一定的规律相联系,其中一个变量 的变化将会引起另一个变量的变化,当前者(自变量) 的值确定后,后者(因变量)的值按照一定的关系相 应被确定.
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
函数的概念与表示
函数的概念与表示
（一）函数的概念：在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x值，
相应的就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
说明：1.符号y=f(x)的意义：x是自变量，f表示对应法则，y是x的函数；遂于定义域
内的每一个x的值，在对应法则f的作用下，都有唯一确定的y的值和它对应，和x值对应的y的值用f(x)表示
2．f(x)与f(a)的区别：f(x)表示自变量x的函数，f(a)表示当x=a是对应的函数值。
（二）函数的三要素：1）定义域 2）值域 3）对应法则
其中值域被定义域与对应法则唯一确定，因此我们常说函数有两要素，即定义域和对应法则，对应法则是函数的核心，定义域是函数的灵魂。
（三）两个函数相等的条件：1）定义域想同 2）对应法则相同；即对应定义域内的每一个x，他们都有相同的函数值。
（四）区间的概念
设a，b属于R,且a<b
（五）函数的表示方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ）① A={x x ∈Z}，B={yy ∈Z}，对应法则f ：x →y=3x ; ② A={xx>0,x ∈R}, B={yy ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x;③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ）A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2y =④.y=t ⑤.33x y =；⑥.2x y =变式1.下列函数中哪个与函数y = ）A. y =B. y =-C. y =-D. y x = 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. 293x y x -=- 与 3y x =+B. 1y 与 1y x =-C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（x ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-，x ∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f考点三：求函数的定义域（1）当f （x ）是整式时，定义域为R ；（2）当f （x ）是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值集合；（3）当f （x ）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合；（4）当f （x ）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值集合；（5）当f （x ）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x 取值集合；已学函数的定义域和值域1．一次函数y ax b =+)0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函ky x=)0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}|0y y ≠; 3．二次函数2y ax bx c =++)0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2例3.①函数y =的定义域是（ ）A. {}1,1-B. ( -1 , 1 )C. [ -1 , 1 ]D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) ②函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)________．变式1. 求下列函数的定义域 (1)21)(-=x x f ； (2)23)(+=x x f ； (3)xx x f -++=211)(.(4)1x y +=(5)y ＝x ＋1x 2－4；(6)y ＝1|x |－2； (7)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域变式1. 已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域变式2. 已经函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5 ( 配方法 ：形如2y ax bx c =++)② 2y x =-( 换元法：形如y ax b =+±)④21x y x =+ ( 分离常数法：形如cx dy ax b+=+ ) ④ 221y x x x =++ ( 判别式法：形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++ )变式1. 求下列函数的值域① 2243y x x =-+② y x =+② 2()234f x x x =++ ④2()234f x x x =++ (12)x -≤≤⑤ y =213x x +- ⑥2224723x x y x x +-=++考点五：求函数的解析式例7 . 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）变式1. 已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式变式2. 已知f （x+1）= 233x x ++，求f （x ）的解析式变式3. 已知1)f x =+()f x 的解析式.例8. 若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式 （ 待定系数法 ）变式1. 已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）.变式2.一次函数()f x 满足[()]45f f x x =+，求该函数的解析式.变式3．已知多项式7)(+=ax x f ，222)(b x x x g ++=，且922)()(2++=+x x x g x f .试求a 、b 的值.变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x －1，求f(x)的解析式.变式5．已知二次函数f （x ）＝x 2－bx ＋c 满足f （1＋x ）＝f （1－x ）， 且f （0）＝3，求f （x ）的解析式.变式6.已知函数f （x ）是一次函数，且满足3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f （x ）.例9. 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1. 已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式变式2. 已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭= 3x ，求函数f （x ）的解析式例10. 设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）变式1. 已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数f （x ）= 32x x +，求f （2）和f （a ）+f (-a)的值变式1. 已知f （2x ）= 21x x+，求f （2）的值例12. 已知函数()510320x x x x f x ⎧+ ≥⎪⎨-+ <⎪⎩=，求f （1）+f （1-）的值变式1. 已知函数()()2122111f x x x x x x f x ⎧+ , ≤-⎪⎪+ , -<<⎨⎪2-4 , ≥ ⎪⎩= ，求f [f （4-）]的值变式2. 已知函数()1(2)2n f n n fn *⎧1 , (= 1)⎪=⎨1+- , (∈N )⎪⎩，求f （5）的值 例13 . 设函数()812l ,1]og (1,)(,xf x x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩∈-∞ ∈+∞ ,，求满足f （x ）=12的x 值变式1. 已知函数()11xf xxx x3⎧⎪=⎨⎪⎩≤- , >,，若f（x）=2，求x的值考点七：映射例1．判断下列对应是否是映射？变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→xxf（2）设}1,0{,*==BNA，对应法则得的余数除以2:xxf→（3）NA=，}2,1,0{=B，:3f x x→被除所得的余数（4）设111X{1,2,3,4},Y{1,,,}234==取倒数xxf→:（5）NBNxxxA=∈>=},,2|{，的最大质数小于xxf→:考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法例1某种笔记本每个5元，买 x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例3 画出函数y=|x|=00xx xx ≥⎧⎨-<⎩的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域. ①142+-=x x y ； ③ ]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④ ]5,0[,142∈+-=x x x y函数的单调性与最值增函数与减函数 单调性与单调区间例1 如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数.练习1．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A 、1[,)2-+∞ B 、（-1，+∞） C 、1(,]2-∞- D 、（-∞，+∞） 2．下面说法正确的选项 （ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3．函数f(x)=2x 2－mx+3,当x ∈[2,)-+∞时,增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f （1）等于（ ） A ．－3 B ．13 C ．7 D ．由m 而定的其它常数4.如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥35. 函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b６. 已知函数2122y x x =- 求:(1) 当03x <≤时， 函数的最值; (2) 当35x ≤<时， 函数的最值．函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x x=偶函数：奇函数：例1．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x=∈-（2）32()1x xf xx-=-（3）2211(0)2()11(0)2x xg xx x⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x=（2）5()f x x=（3）1()f x xx=+（4）21()f xx=例3．已知()f x是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x在（－∞，0）上也是增函数．练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6]f x x=∈--②()|2||2|f x x x=-++2．设()f x R x 在上是奇函数,当＞0时，()(1)f x x x =-，试问：当x ＜0时，()f x 的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）观图回答：: f A Ba b→ 的意义是什么？1．试求函数231x y x +=-的值域. (提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表：3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4．试求(1)y=2x+1 (2)y=2x+11()2x ≥-的反函数,并对比有何不同.5．求解反函数的步骤:A BAB例 求下列函数的反函数(1))(13R x x y ∈-= (2)212x y x +=- (3))(13R x x y ∈+= (4))0(1≥+=x x y练习1.已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2.函数2(0)1(0)2x xyx x 的反函数是( )A 、2(0)0x x y x xB 、2(0)0x x yx xC 、1020x x yx x D 、1020x x y x x3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A 、))(,(1a fa - B 、()()b b f,1- C 、()()a a f ,1- D 、()()b f b 1,-4.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、3 5.函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ，求a ,b,c 的值6.已知132)(1≥-=-x x x f，，求f(x)学案（7）反函数（二）（选讲）目标：1．了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明； 2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习：1．反函数的定义：2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x fy -=间的关系：3．反函数的求法：一反解、二互换、三标明； 4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称. 新课：例1．求函数2(0)y x x =<的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例2．求函数2385-+=x x y 的值域.例3 已知)(x f =211x - (x ＜-1)，求)31(1--f . 例4若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a ,b 的值. 例5若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x fy -=.练习：1．求下列函数的反函数： （1）)3(32-≤-=x x y ；（2）y=2x -6x+12(x ≤3); （3）y=2--x (x ≤-2).2. 已知函数y=a x+2的反函数是y=3x+b ，求a ,b 的值.3.函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。