5.2+第五章+线性方程组+第二节++齐次线性方程组的解空间与基础解系(图片+动画版)
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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
哈尔滨工业大学数学系 第五章 线性方程组
2.解的存在唯一性条件: 2.解的存在唯一性条件: 解的存在唯一性条件
(i) (ii)
AX=β有唯一解
AX=β有无穷多解 (iii) A 为方阵时，AX=β有唯一解 方阵时 唯一解
β)=n R(A)=R(A β)<n
R(A)=R(A
|A|≠0 |A|=0
AX=β无解或有无穷多解 无解或有无穷多解
设 ξ1 , ξ2 , … , ξ n-r是(2)的基础解系 η﹡是(1)的特解 的基础解系, 的特解, 的基础解系 ﹡ 的特解 通解可表示成 可表示成: 则AX=β的通解可表示成
的基础解系 和通解. x2 + x3 – 3 x4 = 0 和通解
-1 -2 2 -2 1 0
方法一： 方法一： -1 0, ξ = ξ1 = 2 1 0
为基础解系; 基础解系
2 -1 0 1
-1 2 0 -1 通解。 X= k1 + k2 为通解。 1 0 0 1 k1 , k2 为任意常数 为任意常数.
… … … … x r + br1 x r+1 + … + br,n-r x n = 0 ,
示例
x1 x2
…
= - b11 x r+1 - … - b1,n-r x n , = - b21 x r+1 -… - b2,n-r x n ,
… … … … x r = - br1 x r+1 - … - br,n-r x n ,
例2:求方程组 x1 + x2 + x3 – x4 = 0
x1 – x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 0 解： 1 1 1 -1 r2 +(-1) r1 1 1 1 A = 1 -1 1 -3 r3 +(-1) r1 0 -2 0 0 2 0 1 3 1 1 r3+r2 1 1 1 -1 1 0 1 r1 +(-1) r2 (-1/2) r2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x = – x3 +2x4 R(A)=2，同解方程为： 1 ，同解方程为 x2 = –x4
第五节 线性方程组解的结构
定理 ｎ元齐次线性方程组 Amn x 0的全体解所构成的 集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空
间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.
当rank( A) n时，线性方程组只有零解，故没有基础
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当rank( A) n时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基
础解系 1,2 ,L ,nr ，此时线性方程组的解可以表示为 k11 k22 L knr nr
L
a12 L a22 L L
am1
am 2
L
a1n a2n L
,x
x1 x2
amn
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax 0.
二、基础解系及其求法
１、基础解系的定义
方程组 Ax 0 解空间V的一组基称为齐次线性方程组的 一组基础解系,即解空间的某一个部分组 1,2 ,L ,s满足：
a 2 1 1 a 2 1 1
:
a 4a
2 10
1 3
0 0
b c
1 4
:
a 2 a4
1 0
0 0
c
b 3b
1
1
当a 4 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一. 当a 4 0 且 c 3b 1 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，
但表达式不唯一；
1
2 10
,
2
1 5
,
3
1 4
,
b c
,
试问，当a,b,c 满足什么条件时
（１）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一？
（２）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式不唯一？
（３）ｂ不能由1,2 ,3 线性表示？
齐次方程组的基础解系和通解
矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 11Biblioteka 03 04
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量， 对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r
齐次线性方程组
２．齐次线性方程组解的性质
的解， （1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则 的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
2 7 3 7 5 7 , 4 7 , 即得基础解系 ξ 1 = ξ2 = 0 1 0 1
7 3 及 x1 2 7 3 7 x2 5 7 4 7 = c1 + c2 , (c1 , c 2 ∈ R ). x3 1 0 0 1 x4
S = {x = k 1ξ 1 + ⋯ + k n− r ξ n− r k 1 ,⋯, k n− r ∈ R}.
特别的，当R( A) = n时，方程组只有零解 因而没有基础解系 ， 。此时 解空间只有一个零向量，为零维子空间 。 推论。齐次线性方程组有非零解的充分必要 1 条件是系数矩阵的秩小于未知量个数。 推论2，对于m = n, 齐次线 性方程组有非零解充分必要条件系数矩阵的行 列式为 。 0
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
《线性代数》电子教程之十二(1)(基础解系)
程 解的充要条件是系数矩阵的秩 R( A) n.
组 的
▪ n个未知数的非齐次线性方程组 Ax b有解
解 的充要条件是系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B
的 的秩；且当 R( A) R(B) n时方程组有惟一解，
结 当 R( A) R(B) n 时方程组有无限多个解.
构3Biblioteka 二、齐次线性方程组的解的构造
组 数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，
熟悉基础解系的求法；理解非齐次线性方程
续 组的通解的构造.
()
2
一、复习
第 四
1. 系数矩阵是方阵的线性方程组
节 设A为方阵，若 det A 0，则线性方程组
线 Ax b有惟一解.（克莱默法则）
性 2. 系数矩阵是一般矩阵的线性方程组
方 ▪ n个未知数的齐次线性方程组 Ax 0有非零
1. 齐次线性方程组的解的性质
性质1 若 1 ,2 为Ax 0 的解，则 1 2也是 Ax 0的解. 性质2 若为Ax 0 的解，k为实数，则 k 也是 Ax 0的解.
4
2. 齐次线性方程组的解空间
设齐次线性方程组 Ax 0的所有解组成的集
合为 S ，显然 S 非空， 根据性质1知， S对于加法封闭，根据性质2知，
xr br1c1 br 2c2 br,nrcnr .
9
即
x1 b11c1 b12c2 b1,nrcnr ,
x2
b21c1
b22c2
b c 2,nr nr
,
xr
br1c1
br 2c2
br,nr cnr ,
xr1 c1 ,
xr2 c2
,
xn cnr .
S对于数乘封闭， 所以 S 是一个向量空间，称为的解空间.
齐次线性方程组
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只 有 零 解 A 0; Ax 0有 非 零 解 A 0.
证 （1）Ax 0只 有 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有 非 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时 ， 必 有r( A) minm, n m n,此 时Ax 0必 有
br 1
1 1 ,
0
解 系 ， 证 明 ：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证 根 据 已 知 条 件 可 以 写 出矩 阵 等 式 ：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记 为B A.因 为 表 出 矩 阵 的 行 列 式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
齐次线性方程组解的结构
都是向量组 () 的极大无关组.
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
第二节 齐次线性方程组
如果1,2,,k是齐次线性方程组
AX=0的一个基础解系,则对任意常数
1,2,,k, 11+22++kk也是AX=0
的解,称这种形式的解为AX=0的通解.
注: 解齐次线性方程组的关键即求其基础 解系,进而求出通解.
若齐次线性方程组AX=0只有零解,则 它没有基础解系
定理一 设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵 的秩R(A)=r,则齐次线性方程组AX=0的基 础解系含有nr个向量.
0 0
5x1 x2 11x3 0
1 2 4
设A
（1T
,
T 2
,
T 3
)
2 -1
-1 1
3 -1
5 1 11
R(
A
A)
2
1
0
0 0
3
2 4 -5 -5
1 2 4 0 1 1
1 0 2 0 1 1
未-知39 量-个 39数（向量00 个00数）,00齐次线00性方00 程00组 有非零解
0)T
c2
(
3 7
,
4 7
,
0, 1)T
(c1 , c2 R)
25
返回
例2 求方程组的通解
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 0
x1
x2
2x3
3x4
0
1
A 1
1
1 1 1
1 1 2
1 1
3 0
3
0
1 0 0
1 2 1
1 1
4 0
2
A1 O, A2 O, A(1 2 ) A1 A O
性质2 若若1 ,是2解 是解向向量量，，则则k1也 是2也解是向解量向。 量。的A解x 空 0间
第二节 齐次线性方程组 齐次线性方程组的概念
定义
设1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0
的一组解向量，若它满足下列条件：
（1） 1 ,2 , r 线性无关；
（2）方程组 AX 0 的任一解向量都可由1 ,2 , r 线性表出 则称向量组 1 ,2 , r是齐次线性方程组
AX 0 的一个基础解系。
如果 1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 那么，对任意常数 k1, k2 , kr ,
若令
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
x2 xn
则 （1）可写成矩阵形式: AX 0 (2)
a1 j
若令
aj
a2 j
j 1,2, , n
amj
即向量组 a1 , a2 , an为齐次线性方程组（1）的
系数矩阵的列向量组
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组的概念 齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组的基础解系
一、齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn
0
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
a11
的基础解系，即证明了当 R（A）= r〈 n 时齐次
线性方程组 AX 0 中有n- r个自由变量，
使基础解系由n- r个解向量组成。
说明１．方程组的基础解系不是唯一的． ２．方程组的基础解系又称为解空间的基．
３．若1 ,2 , ,nr 是 Ax 0 的基础解系，
则其通解为
x k11 k22 knrnr .
线性方程组与解的结构
线性方程组与解的结构线性方程组是数学中最基础的概念之一，它在各个领域的应用广泛。
解决线性方程组问题不仅需要深厚的数学功底，还需要对其结构有深入的理解。
本文将介绍线性方程组以及解的结构，以帮助读者更好地掌握这一概念。
一、线性方程组的定义线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
每个方程都具有以下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁，a₁₂，...，aₙₙ为已知常数，b₁，b₂，...，bₙ是方程右边的已知常数，x₁，x₂，...，xₙ是未知数。
二、解的存在性与唯一性解决线性方程组的第一个问题是判断其解的存在性与唯一性。
对于一个线性方程组，可以有以下几种情况：1. 无解：若线性方程组存在矛盾，即方程组的系数无法同时满足所有方程，那么该方程组无解。
2. 唯一解：若线性方程组的系数矩阵是一个满秩矩阵，且方程个数等于未知数个数，那么该方程组有唯一解。
3. 无穷解：若线性方程组的系数矩阵是一个非满秩矩阵，且方程个数小于未知数个数，那么该方程组有无穷多解。
三、解的结构线性方程组的解可以通过高斯消元法或矩阵运算等方法来求解。
一旦解找到，它们具备以下几个结构特点：1. 基础解系：对于一个有解的线性方程组，它的解可以由基础解系线性组合而成。
基础解系是解空间的基，它由方程组中的特殊解和齐次方程的基础解组成。
2. 齐次方程解的结构：齐次方程组是指方程组右边的常数项全为0的线性方程组。
它的解空间是一个子空间，被称为齐次方程组的解空间。
齐次方程组的解空间至少包含一个零解，如果齐次方程组有非零解，那么它的解空间是一个超平面。
3. 特解：对于一个非齐次线性方程组，如果它有解，那么其中一个解被称为特解。
特解加上齐次方程组的解可以构成非齐次线性方程组的全部解。
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（4）由 A2 还原出最简方程组 ，自由未知数个数为n r ，
构造基础解系 , , ，得到通解（生成 n r维解空间）
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
nr
c c c X
11
22
nr nr
A 3、常用结论：若 m×n B = O
→
则矩阵B的每一列都是齐次线性方程组 Am×n X = 0 的解向量，
所以B的秩不超过方程组解空间的维数.
R( A)
=
R(1
2
) n
=r ＜ n
R( A)
=
R(1
2
) n
=r=n
A 2、基本方法：线性方程组求解基本步骤 X m×n = 0
A （1）系数矩阵 A 行变换 行阶梯阵 从上向下 1
（2）判断解的状态：
A1的非零行数= r
r n r n
——唯一解（零解） ——无穷多解（零解及非零解）
A A （3）无穷多解时 1 行变换 从下向上行最简形 2
又如果 R( A) r n， 则 R(B) n r
因此 R(A) R(B) n .
第二节 齐次线性方程组的解空间与基础解系
一、 齐次线性方程组(Ⅰ)的解空间
二、齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系
总结: 1、基本关系
齐次线性方程组
A X 0 mn
→
x11 + x2 2 + + xn n = 0
无穷多解（非零解）
唯一解（零解）
1,2, ,n 线性相关
1,2, ,n 线性无关