“弹性力学”期末试卷(2003)

华中科技大学土木工程与力学学院《弹性力学》试卷2003~2004学年度第一学期一 如图所示为两个平面受力体，试写出其应力边界条件。

（固定边不考虑） ❑⌧yy（a）（b）二.已知等厚度板沿周边作用着均匀压力σx=σy= - q ，若O点不能移动或转动，试求板内任意点A(x,y)的位移分量。

q三.如图所示简支梁，它仅承受本身的自重，材料的比重为γ, 考察Airy应力函数：yDxCyByyAx23532+++=ϕ1．为使ϕ成为双调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系；2．写出本问题的边界条件。

并求各系数及应力分量。

xl /2 l /2 y四. 如图所示一圆筒，内径为a ，外径为b ，在圆筒内孔紧套装一半径为a 的刚性圆柱体，圆筒的外表面受压力q 的作用，试确定其应力r σ，θσ。

q1五. 如图所示单位厚度楔形体，两侧边承受按 τ=qr 2（q 为常数）分布的剪应力作用。

试利用应力函数 θθθφ2cos 4cos ),(4244r b r a r += 求应力分量。

O yqr 2 qr 2x六. 设]274)3(1[),(22322a xy x a y x m y x F ---+=，试问它能否作为如图所示高为a 的等边三角形杆的扭转应力函数(扭杆两端所受扭矩为M)？若能，求其应力分量。

(提示：截面的边界方程是3ax -=，3323a x y ±= 。

)α α1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。

）(每小题2分)（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。

(√)（2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ϕ满足双调和方程022=∇∇ϕ，那么由),(y x ϕ确定的应力分量必然满足平衡微分方程。

（√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。

（×）（4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。

（×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：⎰⎰=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。

（×）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。

（√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。

（√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。

(×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。

（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。

(×)2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。

）（共20分，每小题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。

(2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。

(3)平衡微分方程则表示物体 内部的平衡，应力边界条件表示物体边界的平衡。

(4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是主平面。

(5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。

(6)应力函数()4224,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是033=++c b a 。

(7)轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。

(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足位移边界条件或几何可能 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。

(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变。

(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移分量有9个。

3． 分析题（共20分，每题10分）（1）曲梁的受力情况如图1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）。

θe a bqP yxM图1图24．计算题（共40分）（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q 作用，求其应力分量（体力为零）。

提示：设应力函数为：2(cos )r A B ϕθ=+ （10分）（2） 如图3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P ，不计体力，弹性模量为E ，泊松比为μ，应力函数可取323Dy Cy Bxy Axy +++=ϕ，试求应力分量。

（15分）图33． 分析题（共20分，每题10分）(1) 主要边界：()()()()q b r r b r r a r r a r r -========θθτστσ,0,0,0 次要边界：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==⎰⎰⎰===ba ba r ba M Pe rdr P dr P dr ασατασθθθθθθsin cos sin 0004．计算题（共40分）(1) 解：极坐标下的应力分量为：2222211cos 22(cos )1()sin r r A B r r r A B r A r r θθϕϕσθθϕσθϕτθθ∂∂=+=+∂∂∂==+∂∂∂=-=∂∂ 应力边界条件为cos sin r q q θθαθθασατα=±=±=-=将应力分量代入边界条件，可解得： 1,cos 2A qB q α=-=所以应力分量解答为：(cos cos )(cos 2cos )sin r r q q q θθσαθσαθτθ=-=-=-(2) 解：由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。

1）、本题所设应力函数满足双调和方程：022=∇∇ϕ (a)2）、应力分量为：22222230626Ay B yx Yy x DyC Axy Xx y xy y x --=∂∂∂-==-∂∂=++=-∂∂=ϕτϕσϕσ(b)3)、用应力边界条件求待定常数A 、B 、C 、D ：应力边界条件，在上、下表面a y 2±=处，必须精确满足：0)( ,0)(22==±=±=a y xy a y y τσ 则有：0122=--Aa B (d) X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有： X 方向力的等效：βσsin )(220P dy aax x -=⎰-=；对0点的力矩等效：βσsin )(220Pa ydy aax x =⎰-=；Y 方向力的等效：βτcos )(220P dy aax xy -=⎰-=。

将式(b)代入上式得：βββcos 164sin 32sin 833P Aa Ba Pa Da P Ca -=--=-= (e)联立式(d)和式(e)，解得：ββββsin 32 ,sin 8 ,cos 83 ,cos 3223aP D a P C a P B a P A =-==-=； (4)、应力分量为：)141(cos 83 ,0 ),431(sin 4cos 163223-==---=y aa P y a a P xy a P xy y x βτσββσ1、 图1中楔形体顶端受水平集中力P 作用，求其应力分量（体力为零）。

提示：设应力函数为：(cos sin )r A B ϕθθθ=+ （20分）4、图4所示材料密度为ρ的三角形截面坝体，一侧受静水压力，水的密度为ρ1，另一侧自由。

设坝中应力状态为平面应力状态：fy ex dy cx by ax xy y x +=+=+=τσσ,,请利用平衡方程和边界条件确定常数e d c b a ,,,,和f 。

（20分）1gy图q图55、如图5所示的半无限平面，证明应力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θτθθσθθσθ2sin 2sin 212sin 21A B A B A r rr 为本问题的解答。

（20分）1、解：极坐标下的应力分量为：22222112(cos sin )1()0r r B A r r r r rr r θθϕϕσθθθϕσϕτθ∂∂=+=-∂∂∂==∂∂∂=-=∂∂ 两斜面应力边界条件为：00r θθαθθαστ=±=±== 自动满足由隔离体平衡条件：0:cos 00:sin 0r r X rd Y rd P αααασθθσθθ--=⋅==⋅+=∑⎰∑⎰将应力分量代入上面二式，可解得：,02sin 2PA B αα==-所以应力分量解答为：2sin ,0,0(2sin 2)r r P r θθθσσταα=-==-2、如图2所示的悬臂梁结构，在自由端有一个微小的垂直位移Δ，不计体力，弹性模量为E ，泊松比为μ，应力函数可取Bxy Axy +=3ϕ，试求应力分量。

（20分）可知，体力X=0，Y=0，∆===00)(y x v 且为平面应2、 解：由题力问题。

1）、本题所设应力函数满足双调和方程：022=∇∇ϕ (a)2）、应力分量为：222222306Ay B yx Yy x AxyXx yxy y x --=∂∂∂-==-∂∂==-∂∂=ϕτϕσϕσ (b) 3）、由物理方程得应变分量为：2)1(6)1(2)1(26)(16)(1AyEB E E xy A E E Axy E E xy xy x y y y x x μμτμγμμσσεμσσε+-+-=+=-=-==-=(c)4）、由几何方程得出位移分量为：2)1(6)1(266Ay EB E x v y u xy A E y v Axy E x u xy y x μμγμεε+-+-==∂∂+∂∂-==∂∂==∂∂ (d) 由式(d)的前两式积分得：)(3)(32212x f xy A Ev y f y Ax Eu +-=+=μ (e)将上式(e)代入式(d)的第三式，整理得：B E Ay E y f Ax E x f )1(2)2(3)(3)(2122μμ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+' (f) 欲使上式恒等地成立，只能令bAy Ey f aAx Ex f =++'=+'2122)2(3)(3)(μ (g)其中，常数a ，b 满足B Eb a )1(2μ+-=+ (h) 解式(g)得：131232)2()(1)(C by Ay E y f C ax Ax Ex f +++-=++-=μ (i)则位移分量为：23213213)2(3C ax Ax Exy A E v C by Ay Ey Ax E u ++--=+++-=μμ (j)5)、由应力边界条件和位移边界条件求待定常数A 、B 、C 1、C 2和a 、b ： 应力边界条件，在上、下表面2hy ±=处，必须精确满足： 0)( ,0)(22==±=±=h y xy h y y τσ (k)则有：0432=--Ah B (l) 位移边界条件，∆===00)(y x v ，0)(0===y L x u ，0)(0===y L x v ，0)(=∂∂==y L x x v则有： 03012312=+-=∆++-=∆=a AL E aL AL E C C (m) 联立解式(l)、式(h)和式(m)得：∆==∆--=∆-=∆=∆-=213222323 ,0 ,4)2(3 , 2L 3a ,83 ,2C C L h h L b L Eh B L E A μ (n)6）、本题的应力分量：应力分量为：233232383 ,0 ,3y LE L Eh xy L E xy y x ∆+∆-==∆-=τσσ (o)4、(一)由平衡方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00g y xyx y yx yxx ρσττσ(1) 得：⎩⎨⎧=++=+0g d e f a ρ(2) (二)边界条件⎩⎨⎧=+=+y y yxxyx x f m l f m l σττσ(3) 在边界0=x 上：0,1=-=m l 故边界条件可写为⎩⎨⎧=-=01f gb ρ(4) 在边界βxctg y =上：ββsin ,cos -==m l 故边界条件可写为()()⎩⎨⎧=+-=-+0sin .cos 0sin cos .ββββββctg dx cx ex ex ctg bx ax (5) 联合方程(2)、(3)、(4)可解得βρρβρβρβρρ21213112,0gctg e g gctg d gctg gctg c gb f a -=-=-=-===5、证明：（1）应力满足相容方程()0122222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂θσσθr r r r r 代入得：()0222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂θθA 满足。