可测函数空间的完备性

可测函数空间的完备性

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可测函数空间的完备性

学生姓名：张权指导老师：宋儒瑛

<太原师范学院数学系14011班山西·太原 030012）

【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测

函数空间,若,引入距离,

则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数

空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某

一可测函数，则这样的空间就是完备的。b5E2RGbCAP

【关键词】可测函数度量空间完备性

在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间

的完备性做进一步的探讨。p1EanqFDPw

一、可测函数空间与度量空间

设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若

。对任意两个可测函数及，由于。故这

是X上的可积函数。DXDiTa9E3d

令如果把中两个几乎处处相等的

函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空

间。下面验证一下：

⑴在中任取及。≥0显

然。若，当且仅当，也是显然的。

⑵ 因为，所以。

⑶ 注意函数<求导大于0）是单调上升的，那么，任取有

从而上的实值Lebesgue可测函数有

由前面知，上式两边均可积分。则

即，。所以，按构成度量空间。

二、可测函数空间的完备性

⑴ 定义：Cauchy点列或基本点列：

在度量空间中，是中的点列，如果对于任意正

数，在自然数，使得当时，必有。则

称是中的Cauchy点列或基本点列。RTCrpUDGiT

如果度量空间中每个柯西点列都收敛，那么称是完备的

度量空间。

⑵的完备性：

设及分别是中的点列和点，则点列收敛

于的充要条件是函数列依测度收敛于。

证明：充分性：

若依测度收敛于，则对任何的，

有。对任意给定的正数(不妨设

>.取，则，对于这个，由

依测度收敛于，存在自然数,使时，

。

所以，

即

必要性：

若对任何的，由于故，

且，由此可知。即依测度收敛于。

【结论】可见，可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列

依测度收敛于，则这样的空间就是完备的。

三、一个例子

在这个例子中，将用到一个引理：若柯西列内有收敛子序列，则它本身是收敛序列。

例：可测函数空间是完备的。

证明：设是柯西列，任取，有自然数，使得对每

一对，都有。据此，对每

一自然数可以找到一个自然数, 使它满足条件：

5PCzVD7HxA

⑴．

⑵．

由此得，。由Levi定理知级数

在上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点

，那么对充分大的总有。因为当

时，有。由于是收敛点，故产生

矛盾。于是，对充分大的总有。由此

得，收敛。jLBHrnAILg

从而便知在几乎处处收敛。

这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测

度收敛，那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子

列，故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。

xHAQX74J0X

【参考资料】

[1] 孙永生等《泛函分析讲义》北京师范大学出版社北京 1986,5LDAYtRyKfE

[2] 侯友良等《实变函数基础》武汉大学出版社武汉 2002,3Zzz6ZB2Ltk

[3] 程其襄等《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社北京 2002,1

[4] 许天周等《应用泛函分析基础》科学出版社北京 2003,6dvzfvkwMI1

The Completion of Measurable Function Space

Name of the student ,Zhang quan Sponsor,Song

ruyingrqyn14ZNXI

(Mathematics department of Taiyuan teacher’s

college,class14011 EmxvxOtOco

Shanxi·Taiyuan 030012>

【Abstract】

is a measurable function space which defined on the

and is made up of the whole measurable function of Lebesgue .If exists andSixE2yXPq5

we bring into .

We can info is a metric space .

In this thesis ,w e can get an important conclusion “in the measurable function space ,only if each Cauchy

function sequence , converges at measurable with

measurement,the space is complete .”6ewMyirQFL

【Key words】measurable function , metric space, completionkavU42VRUs

【指导教师意见】

本文通过对可测函数中，距离收敛等价于测度收敛；利用这一结论，讨论一个例子，文中结构简明扼要，说理清楚，有一定的基本功。但研究的结果和方法都有待创新。y6v3ALoS89