高一数学 必修一 第三章函数的概念与性质 单元测试卷 (1)
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当 时， ；当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
则 ，即有 不为增函数，
由 ， ，可得 ，即有 不为奇函数，④错误．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知 ．
（1）若 ，且 ，求实数 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2）2．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为奇函数，∴ ，
当 时， ，∴ ，
又 时， ，∴ ．
8．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 和 都是偶函数，则 ， ，即 是偶函数，充分性成立；
（1）用函数单调性的定义证明： 在 上是增函数；
（2）若 在 上的值域是 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）任取 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ 在 上是增函数．
（2）由（1）可知， 在 上为增函数，
∴ 且 ，解得 ．
22．（12分）已知函数 ．
（1）画出 的图象；
（2）∵“ ”是“ ”的必要条件，∴ ，
①当 时， ，∴ ；
②当 时， 或 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）在图中给定的直角坐标系内画出 的图象；
（2）写出 的单调递增区间．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）
．
（2） 的单调递增区间是 ．
20．（12分）函数 ．
对于B，∵ 的定义域 ， 的定义域为 ，
∴两个函数不是同一个函数．
对于C，∵ 的定义域为 且 ， 的定义域为 且 ，
对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．
对于D， 的定义域是 ， 的定义域是 ，
定义域不相同，∴不是同一个函数．
2．函数 的定义域是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使原式有意义只需 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ．
3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ 满足 ，
解得 ，∴ 的定义域为 ．
4．函数 的图象是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 是奇函数，排除B，C，
当 时， ，∴ ，图象在 轴的下方．故选A．
5．已知 是 上的偶函数，且当 时, ，则当 时， （）
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各对函数中，图象完全相同的是（）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【解析】对于A，∵ 的定义域为 ， 的定义域为 ，
两个函数的对应法则不Biblioteka Baidu同，∴不是同一个函数．
13．已知函数 ， 分别由表给出，则 ．
【答案】
【解析】由图表可得 ， ，故 ．
14．已知函数 为奇函数，且当 时， ，
则 ．
【答案】
【解析】根据题意，当 时， ，
则 ，
又由函数 为奇函数，则 ．
15．已知 ，则 的单调递增区间为．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，求得 或 ，
故函数的定义域为 或 ，
由题即求函数 在定义域内的增区间，
2019-2020学年必修第一册第三章
函数的概念与性质
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
【解析】（1）若 ，则 ，解得 ，满足 ；
若 ，则 ，解得 或 （舍去），
∴ 或 ．
（2）由题意， ．
18．（12分）已知函数 ，集合 ．
（1）求函数 的定义域为 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）要使 有意义，则 ，解得 或 ，
∴ 的定义域 ．
若函数为增函数，则 ，解得 ，
当 时， ，若函数为增函数，则 ， 在 上为增函数，
则 ，解得 ，
综上所述， ．
12．若函数 为偶函数，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 为偶函数，
所以 ，解得 ，
又因为函数在 单调递减，在 单调递增，
所以 ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
当 时， 是偶函数，
但是 和 都不是偶函数，必要性不成立，
∴“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件，
∴故选A．
9．已知 的定义域为 ， 的定义域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ．
10．定义在 上的偶函数 满足，对任意的 ， ，有
由二次函数的性质可得函数 在定义域内的增区间为 ．
16．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数：
，在下列命题正确的是．
① ；
②当 时， ；
③函数 的定义域为 ，值域为 ；
④函数 是增函数，奇函数．
【答案】①②③
【解析】 表示数 的小数部分，则 ，①正确，
当 时， ，②正确，
函数 的定义域为 ，值域为 ，③正确，
，且 ，则不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 对任意的 ， 恒成立，
∴ 在 上是减函数，
又 ，∴当 时， ；当 时， ，
又 是偶函数，∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的解为 ．
11．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值
范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，
（1）证明函数的奇偶性；
（2）判断函数在 上单调性，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．
【解析】（1）函数 为偶函数，∵ 的定义域为 ，
，即函数 为偶函数．
（2）函数 在 上单调递增，
证明如下：任取 ， 且 ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，故 ， ，
∴ ，即 ，则函数 在 上单调递增．
21．（12分）已知函数 ．
（2）写出 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；
（3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）由分段函数的画法可得 的图象．
（2）单调区间： ， ， ， 在 ， 递增，在 递减．
（3）函数 有两个不同的两点即为 有两个实根，
由图象可得当 或 时， 与 有两个交点，
则 的范围是 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是 上的偶函数，∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ 时， 的解析式是 ．
6．函数 ，则 的最大值和最小值分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题意得，当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ．
7．若函数 为奇函数，则实数 的值为（）
当 时， ；当 时， ，
则 ，即有 不为增函数，
由 ， ，可得 ，即有 不为奇函数，④错误．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知 ．
（1）若 ，且 ，求实数 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2）2．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为奇函数，∴ ，
当 时， ，∴ ，
又 时， ，∴ ．
8．若 ， 均是定义在 上的函数，则“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 和 都是偶函数，则 ， ，即 是偶函数，充分性成立；
（1）用函数单调性的定义证明： 在 上是增函数；
（2）若 在 上的值域是 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）任取 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ 在 上是增函数．
（2）由（1）可知， 在 上为增函数，
∴ 且 ，解得 ．
22．（12分）已知函数 ．
（1）画出 的图象；
（2）∵“ ”是“ ”的必要条件，∴ ，
①当 时， ，∴ ；
②当 时， 或 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）在图中给定的直角坐标系内画出 的图象；
（2）写出 的单调递增区间．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）
．
（2） 的单调递增区间是 ．
20．（12分）函数 ．
对于B，∵ 的定义域 ， 的定义域为 ，
∴两个函数不是同一个函数．
对于C，∵ 的定义域为 且 ， 的定义域为 且 ，
对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．
对于D， 的定义域是 ， 的定义域是 ，
定义域不相同，∴不是同一个函数．
2．函数 的定义域是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使原式有意义只需 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ．
3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ 满足 ，
解得 ，∴ 的定义域为 ．
4．函数 的图象是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 是奇函数，排除B，C，
当 时， ，∴ ，图象在 轴的下方．故选A．
5．已知 是 上的偶函数，且当 时, ，则当 时， （）
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各对函数中，图象完全相同的是（）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【解析】对于A，∵ 的定义域为 ， 的定义域为 ，
两个函数的对应法则不Biblioteka Baidu同，∴不是同一个函数．
13．已知函数 ， 分别由表给出，则 ．
【答案】
【解析】由图表可得 ， ，故 ．
14．已知函数 为奇函数，且当 时， ，
则 ．
【答案】
【解析】根据题意，当 时， ，
则 ，
又由函数 为奇函数，则 ．
15．已知 ，则 的单调递增区间为．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，求得 或 ，
故函数的定义域为 或 ，
由题即求函数 在定义域内的增区间，
2019-2020学年必修第一册第三章
函数的概念与性质
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
【解析】（1）若 ，则 ，解得 ，满足 ；
若 ，则 ，解得 或 （舍去），
∴ 或 ．
（2）由题意， ．
18．（12分）已知函数 ，集合 ．
（1）求函数 的定义域为 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）要使 有意义，则 ，解得 或 ，
∴ 的定义域 ．
若函数为增函数，则 ，解得 ，
当 时， ，若函数为增函数，则 ， 在 上为增函数，
则 ，解得 ，
综上所述， ．
12．若函数 为偶函数，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 为偶函数，
所以 ，解得 ，
又因为函数在 单调递减，在 单调递增，
所以 ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
当 时， 是偶函数，
但是 和 都不是偶函数，必要性不成立，
∴“ 和 都是偶函数”是“ 是偶函数”的充分而不必要条件，
∴故选A．
9．已知 的定义域为 ， 的定义域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ．
10．定义在 上的偶函数 满足，对任意的 ， ，有
由二次函数的性质可得函数 在定义域内的增区间为 ．
16．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函数：
，在下列命题正确的是．
① ；
②当 时， ；
③函数 的定义域为 ，值域为 ；
④函数 是增函数，奇函数．
【答案】①②③
【解析】 表示数 的小数部分，则 ，①正确，
当 时， ，②正确，
函数 的定义域为 ，值域为 ，③正确，
，且 ，则不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 对任意的 ， 恒成立，
∴ 在 上是减函数，
又 ，∴当 时， ；当 时， ，
又 是偶函数，∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的解为 ．
11．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值
范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，
（1）证明函数的奇偶性；
（2）判断函数在 上单调性，并证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．
【解析】（1）函数 为偶函数，∵ 的定义域为 ，
，即函数 为偶函数．
（2）函数 在 上单调递增，
证明如下：任取 ， 且 ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，故 ， ，
∴ ，即 ，则函数 在 上单调递增．
21．（12分）已知函数 ．
（2）写出 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；
（3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】（1）由分段函数的画法可得 的图象．
（2）单调区间： ， ， ， 在 ， 递增，在 递减．
（3）函数 有两个不同的两点即为 有两个实根，
由图象可得当 或 时， 与 有两个交点，
则 的范围是 ．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是 上的偶函数，∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ 时， 的解析式是 ．
6．函数 ，则 的最大值和最小值分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由题意得，当 时， ；
当 时， ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ．
7．若函数 为奇函数，则实数 的值为（）