中国政法大学-概率论模拟试卷1及参考答案

概率论与数理统计模拟试卷
一．判断题（10分，每题2分）
1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望
)(X E 未必存在( )
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）
1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取
得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .
(a) r n r r n p p C ----)
1(11； (b) r n r
r n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p p
C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .
3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函
数 .
(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.
4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则
方差=-)23(Y X D .
(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X Λ为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结
论中正确的是 .
(ａ)
)(~/21
n t n
X -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X n
i i ∑=-； (ｃ)
)1,0(~/21
N n
X -； (ｄ) )(~)1(41212n X n
i i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分）
1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取
一个, 则第二次才取到正品的概率为
2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数
为=)(y f Y
3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则
)51(<<-X P ＝ .
4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨⎧<<<=他其,
0;
10,,1),(x x y y x f
则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y
5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )
6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得
样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为
7. 设X 的分布律为
X
P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-
已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为
三. 计算题（40分，每题8分）
1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率
2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .
3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X Λ为总体X 的一个样本.
求常数 k , 使∑=-n
i i X X k 1为σ 的无偏估计量.
5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X
（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）
（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取
5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.
四. 证明题（7分）
设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机
变量Y X +与Z 相互独立.
附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表
6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(2
05.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t
参 考 答 案
一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）
1.1/22 ；
2. ⎩
⎨
⎧≤>=000
)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他
其0
)
2/(1)(x
y x x x y f X
Y
；
5. ),1(m F
6. 上限为 15.263 .
7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）
1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)
9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分)
.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. ⎩⎨
⎧>=-其他0
)(x e x f x
X λλ ⎩⎨⎧>=-其他
00
)(y e y f y
Y μμ (1分) 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰
∞+-∞
-=
dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(2
1 (2分)
)(232/3/3/0
]2/)[(2
1z z z x z x e e dx e μλμλλ
μλμ
λμ-------=
=
⎰
(2分)
所以
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>--=--0,
00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλ
μλμ
[ ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>--=--0
,
00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλ
μλμ
] (2分)
3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1Λ=i i X )1(~P (1分)
则一年的销售量为 ∑==
52
1
i i
X
Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
1522521852185252522)7050(-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)
6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)
4. 注意到
5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)
()n i i X X n X X n
X X ---+--=
-ΛΛ)1(1
21)
2(1)(,0)(2
分σ
n
n X X D X X E i i -=-=-)
1(1,0~2分⎪⎭⎫
⎝⎛--σn n N X X i dz
e n n z X X E n
n z i 2
2
12121|||)(|σσ
π--
∞+∞
-⎰-=-dz e n
n z
n
n z 22
120
121
2σσ
π--
∞
+⎰
-=)
3(122分σ
πn
n -=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑
∑==n
i i n
i i X X E k X X k E 1
1||||σπ
n
n kn
122-=σ
令=）
分（2)
1(2-=
n n k π
检验用的统计量 )1,0(~/0
N n
X U σμ-=
，
拒绝域为 96.1)1(025.02
==-≥z n z U α. (2分)
96.106.21065.010
/85702.5750>==-=
U ，落在拒绝域内，
故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010
/92.5695710<==-=
U , 落在拒绝域外，
故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)
(2) 要检验的假设为 2
21220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)
[2
2122079.0:,79.0:≠=σσH H ]
检验用的统计量
)1(~)(220
2
5
1
2--=
∑=n X X
i i
χσχ，
拒绝域为 488.9)4()1(2
05.022==->χχχαn 或
711.0)4()1(2
95.02122
==-<-χχχαn (2分)
41.1=x [49.1=x ]
488.9739.150023.0/0362.02
0>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.02
0<==χ,落在拒绝域内，]
故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知
X 0 1 Y X + 0 1 2
P p q
P 2q pq 2 2p (2分)
)0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；
)0()1(2)0,1(2
==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；
)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；
P
Y
P
+Z
pq
Z
)0
P；
X
Y
=
X
)0
,2
(
=
(
(2=
)2
=
=
=
+
X
+Z
P
P
Y
Y
=
P.
X
Z
p
)1
)1
(
)2
(
=
,2
=
(3=
=
+
=
X+与Z相互独立. (5分) 所以Y。