标准偏差及t分布表
(完整版)t分布的概念及表和查表方法.doc
t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。
中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。
t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生 t-分布可简称为t 分布。
其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。
之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。
标准偏差及t分布表
标准偏差标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式：S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中∑代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。
例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x拨= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)标准偏差S = Sqr(S^2)STDEV基于样本估算标准偏差。
标准偏差反映数值相对于平均值(mean) 的离散程度。
t 分布表n0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 20.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 30.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 40.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 50.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 60.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 70.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 80.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 90.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 100.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 110.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 120.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 130.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 140.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 150.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 160.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 170.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 180.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 190.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 200.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 210.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 220.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 230.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767240.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 250.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 260.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 270.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 280.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 290.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 300.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 400.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 500.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 600.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 800.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 1000.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 1200.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 infty0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291。
比对试验t分布统计分析评价表
序号
1 2 3 4 5 6
检测数据
第一组
34.5 36.8 36.2 35.4 35.3 35.6
第二组
34.5 34.1 36.2 35.4 35.3 35.6
标准偏差 第一组 第二组
F检验
F检验符合
F F表 性验证
t检验
t
Hale Waihona Puke t表0.79 0.76 1.04 5.05 进行t检验 1.006 2.228
6、编制依据：《概率论与数理统计》
1、对两组数据采用t检验的方法进行比较，即要求对同一个具有均匀稳定性质的物品进行测 试，要求所比较的两个对象各测试一组数据，为了保证平均值和标准偏差的准确度，每一组数 据测试6个结果。
2、F检验的目的在于比较两组数据精密度也即随机误差是否存在显著性差异。 t检验的目的在于比对两组数据平均值的准确度。准确度取决于精密度和系统误差,只有在精 密度一致的前提下,才能检验是否存在系统误差,因此,F检验是进行t检验必要条件,在t检验之前 必须进行F检验。
3、若F≤F表，两组精密度无显著差异，可进行t检验；若F＞F表，说明2组结果中的精密度有 显着性差异，比对结果不满意，应查找原因，进行改进。
4、若t＞t表，测定结果与标准值有显著性差异，表明比对结果不满意;若计算t≤t表，测定结 果与标准值之间无显著性差异，比对结果满意。
5、适用于两种不同方法、不同设备、不同人员、两个不同试验室间的比对，从而了解两者 之间是否存在显著的差异。
《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_答案(整合最全)(1)
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝121802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝oμm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论与数据处理答案完整版
误差理论与数据处理答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
t分布的概念表和查表方法
t分布介绍在和中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录123456历史在和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈的总体的进行估计。
它是对两个差异进行测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用代替学生t检定。
当母群体的是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的（standard normal distribution），亦称u分布。
平均值的标准偏差
什么是？
（5）标准偏差：
x
(x )
i i 1
n
2
n
μ已知
Sx
i 1
n
( xi x) 2 n 1
μ未知
（6）相对标准偏差（变异系数）
Sx RSD 100% x
（7） 平均值的标准偏差（S X ）
对于有限次的测定值而言，平均值的标准偏差
与测定次数的平方根成反比。
练习
例：同上题，求分析结果大于2.0% 的概率。
x
解： u
(2.00 1.75)% 2.5 0.10 %
查表可知, 当u从0 ~ 2.5时, P 0.4938 49.38% 分析结果大于 2.0%的概率为P' 50.00% 49.38% 0.62%
第五节
95% 95 .5% 99 .0% 99 .7%
正态分布概率积分表
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 -3 -2 - -3 -2 - 0 0
68.3% 95.5%
1 2 3 4 u 2 3 x- + +2 +3 x
99.7%
练习
练习 例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果 为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次 分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和 相对标准偏差。 解： x 10.43%
d
d d n
i
0.18 % 0.036 % 5
0.036 % 100 % 100 % 0.35 % 10 .43 % x
保留三位有效数字
第四节
偶然误差的正态分布
《误差理论与数据处理》答案解读
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1 •研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2 •试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化) ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3 •试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：180°00 02 -180°=2相对误差等于：二- = - 0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 60 6480001-6 •在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值—真值，即：△ L = L- L o 已知：L= 50,^ L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= L—A L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 •用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
t分布
第二节t分布一．t分布(t-distribution)（一）u分布在前一章中，我们已经讲述了正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。
根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n （本次试验n=10）抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N （μ，σ）。
所以，对样本均数的分布进行u变换[]，也可变换为标准正态分布N (0,1)（二）t分布由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换t=，统计量t 值的分布称为t分布。
t分布有如下特征：1．以0为中心，左右对称的单峰分布；2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。
自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
t=图4.1自由度为1、5、∞的t分布对应于每一个自由度ν，就有一条t分布曲线，每条曲线都有其曲线下统计量t 的分布规律，计算较复杂。
因此，统计学家上根据自由度ν的大小与t分布曲线下面积的关系，编制了附表2，t界值表，以便于应用。
表中的横标目为自由度ν，纵标目为概率P，表中数字表示自由度ν为某值时，P为某值时，t的界值。
因t分布是以0为中心的对称分布，故附表中只列出正值，如果算出的t 值为负值，可以用绝对值查表。
t分布曲线下面积为95%或99%的界值不是一个常量，而是随着自由度大小而变化的，分别用和表示。
T分布(t-distribution)（一）u分布正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
计1
；②给定概率保证程度，要求对总体指标做出区间估计。
例6–6 某企业对某批电子元件进行检验，随机抽取100只，测得平均耐用时间为1000小时，标准差为50小时，合格率为94%，求：（1）以耐用时间的允许误差范围Δx＝10小时，估计该批产品平均耐用时间的区间及其概率保证程度。
（2）以合格率估计的误差范围不超过2.45%，估计该批产品合格率的区间及其概率保证程度。
（3）试以95%的概率保证程度，对该批产品的平均耐用时间做出区间估计。
（4）试以95%的概率保证程度，对该批产品的合格率做出区间估计。
求（1）的计算步骤：①求样本指标：注：这应该是抽样平均误差，即标准偏差。
②根据给定的Δx＝10小时，计算总体平均数的上、下限：下限上限③根据t＝Δx/μx＝10/5＝2，查概率表得F（t）＝95.45%由以上计算结果，估计该批产品的平均耐用时间在990～1010小时之间，有95.45%的概率保证程度。
注：博主认为该示例在标准差说法方面比较模糊。
如果我们很清楚地知道标准偏差是5，50是总体标准差，我们就可以在Excel中很容易计算概率保证度：先用NORMDIST函数计算1010和990处的累积概率，两者之差就是概率保证度。
NORMDIST函数需要四个参数：x - 需要计算概率的点mean - 平均值standard_dev - 标准偏差cumulative - 是否计算累积概率求（2）的计算步骤：①求样本指标：p＝94%注：通过总体合格率计算样本合格率的标准偏差②根据给定的Δp＝2.45%，求总体合格率的上、下限：下限上限③根据t＝Δp /μp＝2.45%/2.38%＝1.03，查概率表得F（t）＝69.70%注：同样可以在Excel中用NORMDIST函数来计算概率保证度。
由以上计算结果，估计该批产品的合格率在91.55%～96.45%之间，有69.70%的概率保证程度。
解：求（3）的计算步骤：①求样本指标：②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。
第3章-2 分析化学中的数据处理
表3.2 正态分布概率积分表
随机误差出现的区间
测量值出现的区间
概率
(以σ为单位) u=±1 u=±1.96 u=±2 u=±2.58 u=±3
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
12
例1 已知某试样中质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%，又已知测量时没有系统误差，求分析 结果落在(1.75±0.15)%范围内的概率。 解： x x 1.75% 0.15%
(47.60 0.13)%
(47.60 0.23)%
置信度越高，置信区间就越大，所 估计的区间包括真值的可能性也就 越大，置信度定在 95%或 90%。
23
3.4 显著性检验
1. 平均值与标准值的比较-t检验法
步骤：a.将 x ，μ 和 n代入 t x n ,求t计
x 10.79%, s 0.042%
9 1.43
t
x s
n
10.79% 10.77% 0.042%
查表 ,P=0.95,f=8 时， t0.05 ， 8=2.31 。 t<t0.05 ， 8 ，故 x 与 μ 之间不存在显著性差异，即采用新方法后，没有 引起明显的系统误差。 25
涉及到的是测量值较少时的平均偏差；但在用统
计学处理数据时，广泛采用标准偏差来衡量数据
的分散程度。
2
总体标准偏差：
（测量次数为无限多次时）
σ
x
n
2
样本标准偏差：
（测量值不多时）
s
x x
n 1
2
excel标准误差
excel标准误差Excel标准误差。
标准误差（Standard Error）是一种统计学上的测量，用于衡量样本均值与总体均值之间的偏差。
在Excel中，我们可以利用一些函数来计算标准误差，从而更好地理解数据的分布和可靠性。
本文将介绍如何在Excel中计算标准误差，并对其意义和应用进行简要说明。
在Excel中，我们可以使用STDEV.S函数来计算样本标准偏差，然后再除以样本容量的平方根来得到标准误差。
具体的公式如下：标准误差 = STDEV.S(数据范围) / SQRT(样本容量)。
这里，STDEV.S函数用于计算样本标准偏差，而SQRT函数则用于计算样本容量的平方根。
通过这个公式，我们可以很方便地在Excel中得到标准误差的数值。
标准误差的计算结果可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
当标准误差较小时，说明样本均值比较接近总体均值，数据的可靠性较高；而当标准误差较大时，说明样本均值与总体均值之间存在较大的偏差，数据的可靠性较低。
在实际应用中，标准误差也经常用于计算置信区间。
置信区间是用来估计总体参数的范围，其计算方法为：置信区间 = 样本均值± t分布临界值标准误差。
其中，t分布临界值需要根据样本容量和置信水平进行查表或计算。
通过计算置信区间，我们可以更加准确地对总体参数进行估计，从而做出更加可靠的决策。
除了计算标准误差和置信区间，标准误差还可以用于比较不同样本均值之间的差异。
当我们比较两个样本均值时，如果它们之间的差异大于它们各自的标准误差之和，那么我们就可以认为它们之间存在显著差异，反之则认为它们之间不存在显著差异。
总之，标准误差在统计学中具有重要的意义和应用价值。
通过Excel中的函数计算，我们可以方便地得到标准误差的数值，并进一步进行数据分析和决策。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用标准误差这一概念。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
t检验怎么看显著性
t检验怎么看显著性引言t检验是一种常用的统计方法，用于比较两个样本的均值是否有显著差异。
在进行t检验时，我们关注的问题是检验结果的显著性。
本文将介绍t检验的显著性判断方法，并给出一些例子来帮助读者更好地理解如何判断显著性。
t检验的基本原理t检验通过计算样本均值之差与标准误差的比值来判断差异是否显著。
其中，标准误差是指样本均值的标准偏差，可以用来衡量样本均值的可靠性。
t检验通过计算t值来判断差异是否显著，如果计算得到的t值大于某个临界值，就可以认为差异是显著的。
显著性水平的选择在进行t检验时，我们需要选择一个显著性水平来判断差异是否显著。
常见的显著性水平有0.05和0.01两种。
0.05的显著性水平意味着在所有可能的样本中，有5%的样本存在偶然误差导致的差异。
而0.01的显著性水平则更为严格，只有1%的样本存在偶然误差导致的差异。
选择显著性水平时需要根据具体问题来决定，一般来说较为常见的选择是0.05。
t值与显著性判断在t检验中，我们需要计算得到一个t值，并与临界值进行比较来判断差异是否显著。
t值的计算公式如下：t值计算公式t值计算公式其中，x_1 和 x_2 分别表示两个样本的均值，s_1 和 s_2 分别表示两个样本的标准偏差，n_1 和 n_2 是两个样本的大小，而 df 是自由度。
自由度的计算方法是 df = n_1 + n_2 - 2。
然后，我们需要根据自由度和显著性水平来查找对应的临界值。
在统计学中，临界值被称为临界t值或临界统计量，可以从t分布表中获取。
如果计算得到的t值大于临界值，就可以认为差异是显著的。
示例为了更好地理解t检验的显著性判断方法，我们来看一个具体的例子。
假设我们想要比较两个班级的平均成绩是否有显著差异，我们采集了两个班级各自的学生成绩，并进行了t检验。
班级一的平均成绩为85，标准偏差为10，样本大小为30；班级二的平均成绩为80，标准偏差为8，样本大小为25。
我们选择显著性水平为0.05。
t分布的概念及表和查表方法
ttt分布，用于根据-distribution-分布（），可简称为在概率论和统计学中，学生的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自（确切地说与自由度tdf分布曲线形态与n愈大，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，分布曲线为标准正态分布曲线。
∞时，分布曲线愈接近正态目录历史1定义2扩展3特征4置信区间56计算历史t t）经常应用在对呈正态分布的总体-distribution分布-（Student's 在概率论和统计学中，学生检定Z测定的基础。
tt检定改进了的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生，但Z检定（超过（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大120等）时，可以应用在数据有三组以上时，t检定。
因此样本很小的情况下得改用学生Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，检定。
t因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t-分布。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生tt分布。
其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，-分布可简称为当时他还在都柏林的健力士学生t检验以）这一笔名。
之后酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
无机化学课件第16-17章-分析化学概论及定量分析误差
2、误差的正态分布(高斯分布)
y f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
无限次测量的 标准偏差
y f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
设：z (x )
正态分布曲线的特点：
（1）当x
=பைடு நூலகம்
时，y
值最大，为
1 2π
（2）曲线关于x = 对称
（3）当x = ± 处曲线有拐点，且以x 轴为水平渐近线。
系统误差(systemic errors)：测量过程中某些经常性的、固定的原因所造成 的比较恒定的误差。具有重复性、单向性。在理论上说是可以测定的—— 可测误差(determinate errors)。
系统误差
方法误差 仪器误差 试剂误差 操作（主观）误差
偶然误差(accident errors)：测量过程中一些随机的、偶然的原因造成的——随机误差(random errors)。
仪器分析：以物质的物理和物理化学性质为基础的分析方法，称为物理或物理化学分 析，这类方法都需要特殊仪器，通常叫仪器分析。
主要的仪器分析法有：
光学分析法、电化学分析法、热分析法、色谱分析法，…….。 其它：质谱法、核磁共振法、X光衍射法、电子显微镜分析、毛细管电泳……………
(四)常量分析法、半微量分析法、微量分析法： 根据试样的用量及操作规模不同，可分为：
这类误差在分析操作中是不可避免的，因此，这类误差不可能用校正的 方法减小或消除，但可用数理统计学方法对测量结果作正确的表达。
二、误差的表示方法 准确度(accuracy)：测量结果与真实值接近的程度。可用误差来衡量。
误差
正：测量结果>真实值 负：测量结果<真实值
研统计3抽样误差t分布41923
• 区间估计(interval estimation)：根据选定的置信 度估计总体均数所在的区间（a<μ <b) . a, b 为 置信限（可信限）。
• 置信度（confidence level):
• 在估计总体均数的置信区间时，如果可能估 计错误的概率为α ，那么估计正确的概率为1α , 即为置信度. 常用: 95%, 99%.
但是，条件发生了变化
• 我们通常用 SX 代替 X
u X X
X X
t
SX
S/ n
• 然而，SX 随着样本量的变化而变化，所以，我
们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
准正态分布，此时，u=t
t分布曲线
• t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 • 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中间越
• t0.05/2（20）=±2.086， • 单侧概率为0.05时，对应的t值： • t0.05（20）=1.725，
• 一般， t 0.05/2（v）≥1.96 ，t 0.01/2（v） ≥ 2.58
• 自由度越小，曲线越低平，t 比1.96，2.58大 的多；自由度变大，t接近于1.96，2.58；自 由度无穷大，t=1.96，2.58
•
按：求u值， u
X
110 119.95 2.11 4.72
• 查表：找到-2.1，上方找到0.01，二者相交处为 0.0174，概率为0.0174=1.74%，即该地7岁男童 身高在110厘米以下者，估计占1.74%，不到2%。
• 三、质量控制：
• 实验中，常以 X 2S 作为上下警戒值，
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，21802000180''=-'''oo%000031.010000030864.0648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
标准偏差
lim X = μ n→∞
当消除系统误差时，μ即为真值。
2．有限测定次数
标准偏差 ：
s = ∑ (X − X )2 /(n −1)
相对标准偏差 ：（变异系数）CV% = S / X
例 ： 已 知 一 组 测 定 结 果 ， 得 到 数 据 ： 37.45% ，
Xn － X1
（3） 求可疑数据与相邻数据之差
Xn － Xn-1 或 X2 －X1
（4） 计算：
Q = X n − X n−1 Xn − X1
或 Q = X2 − X1 Xn − X1
（5） 根据测定次数和要求的置信度。
（6）将Q与QX (如 Q90)相比， 若Q > QX 舍弃该数据, 反之则保留。 当数据较少时 舍去一个后，应补加一个数据。
∑( x x)2
s= n 1
1 = 4 (37.45% 37.34%)2 +L+ (37.25% 37.34%)2 =0.13%
平均值的标准偏差 m个n次平行测定的平均值：
X1, X 2 , X 3,⋅⋅⋅X m
由统计学可得：
sX =s / n
由 sＸ／ s -- n 作图：
由关系曲线，当n 大于5时， sＸ／ s 变化不大，实际测定 3-4 次即可,较高要求时可测定 5-9 次。
例：测定Cr 含量，两次百分含量为1.12，1.15，再 加三次，为1.11，1.16，1.12。求两种次数下的平 均值置信区间（已知置信度为95%）。
解：
n = 2时，x = 1 (1.12 + 1.15) = 1.135 2
s = (1.12 − 1.135)2 + (1.15 − 1.135)2 = 0.021 2−1
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标准偏差
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式：S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中∑代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。
例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x拨= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5
S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)
标准偏差S = Sqr(S^2)
STDEV基于样本估算标准偏差。
标准偏差反映数值相对于平均值(mean) 的离散程度。
t 分布表
n0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 20.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 30.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 40.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 50.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 60.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 70.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 80.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 90.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 100.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 110.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 120.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 130.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 140.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 150.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 160.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 170.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 180.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 190.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 200.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 210.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 220.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 230.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
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