(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple

Integral

姓名：蒋晓颖

学号： 1007012048

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：蒋新荣（副教授）

完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结

蒋晓颖

【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。

【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral

Jiang Xiaoying

【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．

【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

目录

1 引言 (1)

2 三重积分的概念和性质 (1)

2.1 三重积分的概念 (1)

2.2三重积分的性质 (2)

3 三重积分的计算方法 (3)

3.1 化三重积分为累次积分 (3)

3.1.1 投影法 (3)

3.1.2 截面法 (4)

3.1.3 三重积分化为累次积分的应用 (4)

3.2 三重积分换元法 (7)

3.2.1 一般坐标变换 (7)

3.2.2 柱面坐标变换 (7)

3.2.3 球面坐标变换 (7)

3.2.4 三重积分坐标变换的应用 (8)

3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分 (10)

3.3.1 积分区域关于某平面对称的情形 (10)

3.3.2 积分区域关于积分变换轮换对称的情形 (14)

3.3.3 三重积分对称性的应用 (14)

3.4 利用曲面积分计算三重积分 (15)

4 小结 (19)

参考文献 (20)

1 引言

三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法，以便于计算．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法．

2 三重积分的概念和性质

2.1 三重积分的概念

类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V 的质量M 就可导出三重积分．设密度函数为(x,y,z)f ，为了求V 的质量，我们把V 分割成n 个小块V 1，V 2，…, Vn ，在每个小块V i 上任取一点(,,)i i i ξηζ ，则

1

lim (,,),n

i i i i T i M f V ξηζ→==∆∑

其中i V ∆ 为小块i V 的体积，{}1max i

i n

T V ≤≤=的直径 ．

设(x,y,z)f 是定义在三维空间可求体积的有界区域V 上的有界函数．现用若干光

滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，它把V 分成n 个小区域V 1，V 2，…, Vn ，记V i 的

体积为i V ∆（i =1,2,…,n ），{}1max i

i n

T V ≤≤=

的直径．在每个

V i 中任取一点

(,,)i i i ξηζ，作积分和

1

(,,)n

i

i

i

i

i f V ξηζ=∆∑ ．

定义：设(x,y,z)f 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一

个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T δ<，属于分割T 的所有积分和都有

1

(,,)n

i

i

i

i f J

ξηζε=-<∑，

则称(x,y,z)f 在V 上可积，数J 称为函数(x,y,z)f 在V 上的三重积分，记作

(,,)(,,)dxdydz V

V

J f x y z dV J f x y z ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 或