(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of TripleIntegral姓名：蒋晓颖学号： 1007012048学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。

第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。

希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。

【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式Methods of Calculation of Triple IntegralJiang Xiaoying【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula目录1 引言 (1)2 三重积分的概念和性质 (1)2.1 三重积分的概念 (1)2.2三重积分的性质 (2)3 三重积分的计算方法 (3)3.1 化三重积分为累次积分 (3)3.1.1 投影法 (3)3.1.2 截面法 (4)3.1.3 三重积分化为累次积分的应用 (4)3.2 三重积分换元法 (7)3.2.1 一般坐标变换 (7)3.2.2 柱面坐标变换 (7)3.2.3 球面坐标变换 (7)3.2.4 三重积分坐标变换的应用 (8)3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分 (10)3.3.1 积分区域关于某平面对称的情形 (10)3.3.2 积分区域关于积分变换轮换对称的情形 (14)3.3.3 三重积分对称性的应用 (14)3.4 利用曲面积分计算三重积分 (15)4 小结 (19)参考文献 (20)1 引言三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法，以便于计算．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法．2 三重积分的概念和性质2.1 三重积分的概念类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V 的质量M 就可导出三重积分．设密度函数为(x,y,z)f ，为了求V 的质量，我们把V 分割成n 个小块V 1，V 2，…, Vn ，在每个小块V i 上任取一点(,,)i i i ξηζ ，则1lim (,,),ni i i i T i M f V ξηζ→==∆∑其中i V ∆ 为小块i V 的体积，{}1max ii nT V ≤≤=的直径 ．设(x,y,z)f 是定义在三维空间可求体积的有界区域V 上的有界函数．现用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，它把V 分成n 个小区域V 1，V 2，…, Vn ，记V i 的体积为i V ∆（i =1,2,…,n ），{}1max ii nT V ≤≤=的直径．在每个V i 中任取一点(,,)i i i ξηζ，作积分和1(,,)niiiii f V ξηζ=∆∑ ．定义：设(x,y,z)f 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T δ<，属于分割T 的所有积分和都有1(,,)niiii f Jξηζε=-<∑，则称(x,y,z)f 在V 上可积，数J 称为函数(x,y,z)f 在V 上的三重积分，记作(,,)(,,)dxdydz VVJ f x y z dV J f x y z ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 或其中(x,y,z)f 称为被积函数，x,y,z 称为积分变量，V 称为积分区域．当(x,y,z)f ≡1时，VdV ⎰⎰⎰在几何上表示V 的体积．2.2 三重积分的性质三重积分具有与二重积分相应的有关性质．类似于二重积分，有１、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，k 为常数，则(,,z)kf x y 在Ω上也可积，且(,,)(,,).kf x y z dV k f x y z dV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰２、若(x,y,z)f ，g(x,y,z)在区域Ω上可积，则(x,y,z)(x,y,z)f g ±在Ω上也可积，且[](,,)(,,)(,,)(,,).f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV ΩΩΩ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰３、若(x,y,z)f 在12ΩΩ和上都可积，且12ΩΩ和无公共内点，则(x,y,z)f 在12ΩΩ上也可积，且1212(,,)(,,z)d (,,z)d f x y z dV f x y V f x y V ΩΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰４、若(x,y,z)f ，g(x,y,z)在区域Ω上可积，且(x,y,z)(x,y,z)f g ≤，(,,)x y z ∈Ω，则(,,)g(,,).f x y z dV x y z dV ΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰　５、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，则(x,y,z)f 在Ω上也可积且(,,)(,,)f x y z dV f x y z dV ΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰．６、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，且(,,),m f x y z M ≤≤ (,,),x y z ∈Ω 则(,,),mV f x y z dV MV ΩΩΩ≤≤⎰⎰⎰ 这里V Ω是积分区域Ω的的体积．７、（中值定理） 若(x,y,z)f 在有界区域Ω上连续，则存在(),,ξηζ∈Ω，使得(,,)(,,)f x y z dV f VξηζΩΩ=⎰⎰⎰ ，这里V Ω 是积分区域Ω的体积．3 三重积分的计算方法3.1 化三重积分为累次积分3.1.1 设想将积分区域缩为平面区域（投影法）定理1﹑ 若函数(x,y,z)f 在长方体[][][],,,V a b c d e h =⨯⨯上的三重积分存在，且对任意[][][](,),,,x y a b c d e h ∈⨯⨯，(,)(,,)hcg x y f x y z dz =⎰存在，则积分(,)Dg x y dxdy ⎰⎰ 也存在，且(,,)dxdydz (,,).hcV Df x y z dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1） 证 用平行于坐标轴的直线做分割T ,它把V 分成有限多个小长方体[][]111,,,.ijk i i j j k k V x x y y z z ---⎡⎤=⨯⨯⎣⎦设,ijk ijk M m 分别是(x,y,z)f 在ijk V 上的上确界和下确界．对任意()[]11,,,iji i j j xx y y ξη--⎡⎤∈⨯⎣⎦ ，1(,,)kk z ijk k i j ijk k z m z f z dz M z x ξη-∆≤≤∆⎰．现按下标k 相加，有1(,,)(,,)(,)kk x hi i i i i i x ckf z dz f z dzg ξηξηξη-==∑⎰⎰以及,,,,,(,)ijki j k i j i j ijk i j k i j ki ji j kmx y z g x y M x y z ξη∆∆∆≤∆∆≤∆∆∆∑∑∑ ． （2）上述不等式两边是分割T 的下和与上和．由(x,y,z)f 在V 上可积，当0T →时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得(,)g x y 在D 上的连续函数，函数(,,)f x y z 在V 上的三重积分存在，且对任意(,)x y D ∈，21(,)(,)(x,y)(,,z)dz z x y z x y G f x y =⎰．亦存在，则积分(,)DG x y dxdy ⎰⎰存在，且21(,)(,)(,,)(,)(,,z)dz z x y z x y VDDf x y z dxdydz G x y dxdy dxdy f x y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）证 定义()()0(,,),,,,(,,)0,,\,f x y z x y z V F x y z x y z V V ∈⎧⎪=⎨ , ∈⎪⎩其中[][][]0,,,V a b c d e h =⨯⨯，对(,,)F x y z 应用定理1，则有()[][]21,,(,)(,)(,,)(,,),,(,,).VV he a b c d z x y z x y Df x y z dxdydz F x y z dxdydzdxdy F x y z dz dxdy f x y z dz ⨯= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.1.2 设想将积分区域收缩为一条直线段（截平面法）定理2、 若函数(,,)f x y z 在长方体[][][],,,V a b c d e h =⨯⨯上的三重积分存在，且对任何[],x a b ∈，二重积分()(,,)DI x f x y z dydz =⎰⎰也存在，其中[][],,D c d e h =⨯，则积分(,,)baDdx f x y z dydz ⎰⎰⎰也存在，且(,,)(,,)baVDf x y z dxdydz dx f x y z dydz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．推论 [][][],,,V a b c d e h ⊂⨯⨯，函数(,,)f x y z 在V 上三重积分存在，且对任意固定的[],z e h ∈，积分()(,,)ZD z f x y z dxdy ϕ=⎰⎰存在，其中z D 是截面(){},(,,)x y x y z V ∈，则()hez dz ϕ⎰存在，且(,,)()(,,)Zh heeVD f x y z dxdydz z dz dz f x y z dxdy ϕ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.1.3 三重积分化为累次积分的应用例1 计算积分2VdVI ρ=⎰⎰⎰其中ρ是点(),,x y z 到x 轴的距离，即222y z ρ=+，V 为一棱台，其六个顶点为()()()()()0,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,2,0,2,2A B C D E()2,2,2F .（图１）解一：（投影法）积分区域V 在yOz 平面上的投影区域ABED Ω≡(梯形)．对任意给定的点()00,y z ∈Ω，点()00,,x y z 随x 增大时，当0x =时穿入V ，当0x y =时穿出V ，故()(){},,,,0V x y z y z x y =∈Ω≤≤．所以2222022222211121ln ln 2.22y zdx yI dydz dydz y z y z y z dz dy dz y z z ΩΩ==++ ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解二：（截面法）将V 向z 轴上投影，得到的区间是[]1,2，任意取定[]1,2z ∈，z z =在V 上截口为等腰直角三角形区域:0,0z D y z x y ≤≤≤≤因此222212221ln 2.2z V D z y dVdxdyI dz y z dx dz dy y z ρ==+ ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例2 设()22221,,0,2x y z V x y z z y zx ⎧⎫++≤⎪⎪= ≥⎨⎬⎪⎪ ≥⎩⎭求积分V I y dv =⎰⎰⎰．分析 作4π的旋转变换 ,,22z x == 则22y zx =变成222y u v =-，即222u y v =+．可见22y zx =是以u 轴为对称轴的直角锥（如图2）(){}2222,1,2.z D x y xy z y zx =+≤-≤注意，化为极坐标时22y zx =变为22sin 2cos .r zr θθ=由此221cos z z r rθ--±+=．故有解（截面法）利用对称性()()222121110cos 0112220222sin 122.8zz z z r VV D y z I y dv ydv dz ydxdy dz rdr r d dz zr r z r r dr πθθπ---++≥-==== =-+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（图2）3.2 三重积分换元法3.3.1 一般坐标变换和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便． 设变换()()(),,,,,,,,T x x u v w y y u v w z z u v w :===，把uvw 空间中的区域'V 一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()()(),,,,,,,,x u v w y u v w z u v w 及它们的一阶偏导数在'V 内连续且函数行列式()(),,0,,,'dx dx dxdu dv dw dy dy dyJ u v w u v w V du dv dw dz dz dz du dv dw= ≠ ∈ ．于是与二重积分换元法一样，可以证明成立下面的三重积分换元公式：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,VVf x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.2.2 柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,,.x r r T y r z z z θθθπ= ≤<+∞ ⎧⎪= ≤≤ ⎨⎪= -∞<<+∞ ⎩（４） 由于变换T 的函数行列式()cos cos cos ,,sin sin sin ,0J r z r θθθθθθθ = = 0 1按（４）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为()'(,,)cos ,sin ,VV f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.2.3 球坐标变换sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r T y r z z ϕθϕθϕπϕθπ= ≤<+∞ ⎧⎪= ≤≤ ⎨⎪= ≤≤ ⎩由于()2sin cos cos cos sin sin ,,sin sin cos sin sin cos cos sin 0sin ,r r J r z r r r r ϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕϕϕ -=- =当ϕ在[]0,π上取值时，sin 0ϕ≥，所以在球坐标变换下，按公式（４），三重积分的球坐标换元公式为()()2',,sin cos ,sin sin ,rcos r sin ,VV f x y z dxdydz f r r drd d ϕθϕθϕϕϕθ =⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里V 为'V 在球坐标变换下的原象．3.2.4 三重积分坐标变换的应用例3 计算()Vx y dxdydz +⎰⎰⎰，其中V 是有曲面()222x y z +=与4z =为界的区域（如图3）解 V 在xOy 平面上的投影区域D 为222x y +≤．按柱坐标变换，区域'V 可表为(){}2',,24,02.V r z r z r θθπ=≤≤≤≤≤≤所以由公式（５），有()2223'2430283VV rxy dxdydz r drd dzd r dz πθπθ+= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（图３）例4 求VI zdxdydz =⎰⎰⎰，其中V 为由2222221x y z a b c ++≤与0z ≥所围区域．解 作广义球坐标变换sin cos ,:sin sin ,cos ,x ar T y br z cr ϕθϕθϕ= ⎧⎪= ⎨⎪= ⎩于是2sin J abcr ϕ=．在上述广义球坐标变换下，V 的原象为()',,01,0,02.2V r r πϕθϕθπ⎧⎫=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则有33'212322202sin cos sin cos sin cos 2.4VV zdxdydz abc r drd d d d abc r drabcd abc πππϕϕϕθθϕϕϕπϕϕϕπ= = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 计算积分()arctan VI y z zdxdydz =-⎰⎰⎰其中V 是由曲面()2221,0,2z y z R z z h +-===及所围成之立体． 解令,,x u y z z w =-==．即：,,.z u y w z w ==+=于是10001001J ==(){}222,,0,.V u v w w h u v R =≤≤+≤从而222222arctan arctan 0hu v R h u v R I dww wdwvdudv +≤+≤= =2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（有对称性，我们可以直接看出2220u v R vdudv +≤=⎰⎰．）3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分在重积分计算中，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常可使计算更为简捷．本文将对三重积分中应用奇偶性和对称性作一概述．在给出若干基本结论的基础上，对常见的几类处理方法作一介绍．3.3.1 积分区域关于某平面对称的情形3.3.1.1 空间对称区域上三元奇偶函数的定义设(,,)()u f x y z f M ==是定义在平面π为对称平面的三维区域Ω上的三元函数，'M M ∈Ω、 （M 与'M 关于π互为对称点）．若()()()()()',',f M u f M f M f M u f M ππ-=Ω⎧⎪=⎨=Ω⎪⎩则称为上关于平面的奇函数则称为上关于平面的偶函数3.3.1.2 三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及证明上述定义中，若以π为对称平面将区域Ω分为1Ω和1'Ω两部分，则1Ω的体积=1'Ω的体积，当1M ∈Ω时，1''M ∈Ω．且有()()()()10,,,,,2,,,,,f x y z f x y z dV f x y z dV f x y z ΩΩΩ⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为上的连续奇函数为上的连续偶函数事实上，设区域Ω以平面π：0Ax By Cz D +++= 为对称平面，()0001,,M x y z ∈Ω，则()0001'',',''M x y z ∈Ω．下面找出M 与'M 的关系．设过点M 与'M 的直线为l ，由于直线l 与平面π垂直，因此直线l 的方程为：000x x y y z z A B C---==． 设直线l 与平面π的交点为(),,P x y z ，解方程组0000Ax By Cz D x x y y z z AB C +++=⎧⎪⎨---==⎪⎩得P 点的坐标为()()()200020002000111x A a x ABay ACaz ADay ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ⎧=----⎪⎪=-+---⎨⎪=--+--⎪⎩其中2221a A B C=++由于P 点又是M 与'M 连线的重点，所以000000'2'2'2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，从而进一步得：()()()200002000020000'12222'21222'22122x A a x ABay ACaz ADay ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ⎧=----⎪⎪=-+---⎨⎪=--+--⎪⎩．而()()()11',,,,',',''''f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dx dy dz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ，对()1'',',''''f x y z dx dy dz Ω⎰⎰⎰作变换：()()()222'12222'21222'22122x A a x ABay ACaz ADa y ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ⎧=----⎪⎪=-+---⎨⎪=--+--⎪⎩雅克比式：()222222122221*********A a ABa ACa A AB AC J ABa B a BCa a AB B BC ACa BCa C aAC BC C - - =- - -=-- =-- - -当(,,)f x y z 为Ω上的奇函数时，(',',')(,,)f x y z f x y z =-， 因此：()()()111',','''',,,,f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．当(,,)f x y z 为Ω上的偶函数时，(',',')(,,)f x y z f x y z =， 因此：()()()111',','''',,,,f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．故有()()()()10,,,,,2,,,,,f x y z f x y z dV f x y z dV f x y z ΩΩΩ⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为上的连续奇函数为上的连续偶函数 ．3.3.1.3 空间区域关于坐标平面对称的情形作为上述问题的特例，当π取坐标xOy 平面时，我们有：设Ω关于坐标平面xOy 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点()',,M x y z -∈Ω．若()()()()()',',f M u f M z f M f M u f M z -=Ω⎧⎪=⎨=Ω⎪⎩则称为上关于的奇函数则称为上关于的偶函数那么()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z z f x y z dV f x y z dV f x y z z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为关于的奇函数为关于的偶函数当π取坐标平面xOy 时，我们有：设Ω关于坐标平面yOz 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点()',,M x y z -∈Ω．若()()()()()',',f M u f M x f M f M u f M x -=Ω⎧⎪=⎨=Ω⎪⎩则称为上关于的奇函数则称为上关于的偶函数那么()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z x f x y z dV f x y z dV f x y z x ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为关于的奇函数为关于的偶函数 当π取坐标平面xOz 时，我们有：设Ω关于坐标平面xOz 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点()',,M x y z -∈Ω．若()()()()()',',f M u f M y f M f M u f M y -=Ω⎧⎪=⎨=Ω⎪⎩则称为上关于的奇函数则称为上关于的偶函数那么()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z y f x y z dV f x y z dV f x y z y ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为关于的奇函数为关于的偶函数 3.3.2 积分区域关于积分变量为轮换对称的情形若当(),,M x y z ∈Ω时，有()',,M y z x ∈Ω﹑(),,M z x y ∈Ω，就称空间区域Ω关于变量x ﹑y ﹑z 具有轮换对称性．若三重积分的积分区域Ω具有轮换对称性．同时被积函数(),,f x y z 关于变量x ﹑y ﹑z 也具有轮换对称性（即()()(),,,,,,f x y z f y z x f z x y == ）．就有 ()()(),,,,,,f x y z dV f y z x dV f z x y dV ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰则：()()()(),,,,,,3,,f x y z dV f y z x dV f z x y dV f x y z dV ΩΩΩΩ++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.3.3 三重积分对称性的应用例6 计算()222222ln 11z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域．解： 积分区域Ω关于xOy 平面对称，而被积函数()222222ln 11z x y z x y z ++++++是关于z 的奇函数（即()()()()222222222222ln 1ln 111z x y z z x y z x y z x y z ⎡⎤-++-++++⎣⎦=-+++++-+）．故所求积分等于0． 例7 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物面2y x =所围成的区域.解: 积分区域Ω关于yOz 平面对称,而被积函数xz 是关于x 的奇函数(即()x z xz -=-),故所求积分为0.例8 计算()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,其中Ω为三个坐标平面及平面1x y z ++=所围成的闭区域.解: 由于被积函数和积分区域都满足对x y z 、、 的轮换性,因此()333x y z dxdydz xdxdydz ydxdydz zdxdydz ΩΩΩΩ++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,()()111101102101111224xyx yxx yD xxdxdydz xdxdy dz xdx dy dzxdx x y dyx x dx -----Ω-== =-- =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得:()18x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰ 例9 计算()4z y dv Ω-⎰⎰⎰,其中Ω为三个坐标平面及平面1,1,1x y z ===所围成的立方体.解:利用被积函数和积分区域关于积分变量的对称性,可知zdv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.因此:()111000344332z y dv zdv ydv zdv dx dy zdz ΩΩΩΩ-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 利用三重积分的对称性可以有效地简化计算,但在使用时必须兼顾积分区域和被积函数两个方面,否则可能导致错误的结果.另外,三重积分计算是曲面积分计算的基础,对三重积分对称性的研究可为进一步研究简化曲面积分计算做准备.3.4 利用曲面积分计算三重积分在曲面积分的计算中，高斯公式建立了空间封闭曲面上的曲面积分与三重积分的联系．但是，由于高斯公式在结构上的特殊性，在应用高斯公式是往往事蒋曲面积分的计算转化为三重积分的计算，却很少利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分的计算，忽视了曲面积分在三重积分计算中的作用．本文给出把一类三重积分在三重积分转化成曲面积分的一个定理，并举例说明这个定理的一些应用．本文中列举的例子其目的只是说明应用这个定理如何计算三重积分，也许这个例子利用三重积分的计算公式直接计算更为简单一些．3.4.1 高斯公式的另一种表示方式定理3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成，函数(),,f x y z 在V 上连续，且具有一阶连续的偏导数，若()1234,,,f f fk x k y k z k f x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂ 而12340k k k k +++≠， 则()()()12312341,,,,,VSf x y z dxdydz f x y z k xdydz k ydzdx k zdxdy k k k k =+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 其中S 取外侧．证明 取()()1,,,,P x y z k xf x y z =，()()2,,,,Q x y z k yf x y z =，()()3,,,,R x y z k zf x y z =，则()11,,P f k f x y z k x x x ∂∂=+∂∂，()22,,Qf k f x y z k y yy ∂∂=+∂∂， ()33,,P fk f x y z k z z z∂∂=+∂∂， 从而()()()()1231231234,,,,.P Q R f f f k k k f x y z k k k x y z x y z k k k k f x y z ∂∂∂∂∂∂++=+++++∂∂∂∂∂∂ =+++ 由于函数(),,f x y z 在V 上连续，且具有一阶连续的偏导数，所以(),,P x y z ，(),,Q x y z ，(),,R x y z 在V 上连续，且具有一阶连续的偏导数， 由高斯公式：,V SP Q R dxdyxy Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰得()()()()1234123,,,,,VSkk k k f x y z dxdydz f x y z k xdydz k ydzdx k zdxdy +++=++⎰⎰⎰⎰⎰从而()()()12312341,,,,.VSf x y z dxdydz f x y z k xdydz k ydzdx k zdxdy k k k k =+++++⎰⎰⎰⎰⎰推论①()1414,,0fk x k f x y z k k x∂=+≠∂当且时，()()1141,,,,;VSf x y z dxdydz k xf x y z dydz k k =+⎰⎰⎰⎰⎰②()2424,,0fk yk f x y z k k y∂=+≠∂当且时，()()2241,,,,;VSf x y z dxdydz k yf x y z dzdx k k =+⎰⎰⎰⎰⎰③()3434,,0fk zk f x y z k k z∂=+≠∂当且时，()()3341,,,,;VSf x y z dxdydz k zf x y z dxdy k k =+⎰⎰⎰⎰⎰④()124124,,0f fk x k y k f x y z k k k x y∂∂+=++≠∂∂当且时，()()()121241,,,,;VSf x y z dxdydz f x y z k xdydz k ydzdx k k k =+++⎰⎰⎰⎰⎰⑤()134134,,0f fk xk z k f x y z k k k x z∂∂+=++≠∂∂当且时，()()()131341,,,,;VSf x y z dxdydz f x y z k xdydz k zdxdy k k k =+++⎰⎰⎰⎰⎰⑥()234234,,0f fk y k z k f x y z k k k y z∂∂+=++≠∂∂当且时， ()()()232341,,,,;VSf x y z dxdydz f x y z k ydzdx k zdxdy k k k =+++⎰⎰⎰⎰⎰⑦()12341234,,0f f fk xk y k z k f x y z k k k k x y z∂∂∂++=+++≠∂∂∂当且时， ()()()12312341,,,,.VSf x y z dxdydz f x y z k xdydz k ydzdx k zdxdy k k k k =+++++⎰⎰⎰⎰⎰3.4.2 三重积分高斯公式的应用例10 计算()[][][]2,2,53,30,1.Vxy z dxdydz V + =-⨯-⨯⎰⎰⎰解 ()2,,z f x y xy z =+,()2,,2,,f f f f f f y x z x xy z x y z x y z∂∂∂∂∂∂===++=+∂∂∂∂∂∂由定理得()()()()22221,5VI xy z dxdydz x xy z dydz y xy z dzdx z xy z dxdy =+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 其中S 是立方体V 的六个面,取外侧.取(){}(){},33,01,,01,25,yz zx D y z y z D z x z x =-≤≤≤≤=≤≤-≤≤ (){},25,33.xy D x y x y =-≤≤-≤≤则()()()()22215522335yzyz zxD D D I y z dydz y z dydz x z dzdx ⎡⎢=+--+-++⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()33114zx xyD D x z dzdx xy dxdy ⎤⎥ --+-++=⎥⎦⎰⎰⎰⎰例11 计算()2222322211x y z R I dxdydz xy z<++<=++⎰⎰⎰.解: 考虑积分()()()()()()222233222222144422222222211,,,,666,,.x y z R J dxdydz f x y z xy zxy zf x f y f zx y z x y z x y z x y z <++<==++++∂∂∂=- =- =-∂∂∂++++++⎰⎰⎰则 ()()()222432222221666,,.f f f x y z x y z f x y z x y z x y z x y z ∂∂∂++++=-=-=-∂∂∂++++ 由定理得()()()33322222222213S x y z J dydz dzdx dxdy x y z x y z x y z ⎡⎤⎢⎥=-++⎢⎥++++++⎣⎦⎰⎰, 其中S 是球面2221x y z ++=与2222x y z R ++=,并取外侧.取222*22:,:1,xy yz D y z R D y z +≤+≤那么()()*32222260000322522224411.33yzyzSD D R xdydz xy zd d R R R ππθθππ=-++ =-⎡⎤ =----⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理()()()3223352222224411.33S S y zdydz dydz R R x y z x y z ππ⎡⎤==----⎢⎥++++⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 由于()32254lim 1103R R R π→∞⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦,所以 ()3225144lim 114.333R I R R πππ→+∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-----=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭4 小结综上所述,化成低重积分的不同方式,采用不同坐标系化成三次积分以及采取不同的积分次序这三者是计算三重积分的基本思路和方法.把三重积分化成低重积分而完成计算的技能技巧,还应该注意下面几个问题: 1、坐标系的选择.包括了解各种坐标系下的积分公式主要特点,给定积分区域与被积函数时选用何种坐标系更为简便,对于平面围成的积分区域,不宜使用柱面或球面坐标系.在柱面坐标系下,当积分区域与绕z 轴旋转形成的旋转体有关时,关于变量,r θ的积分可能有较为简单的积分限;当积分区域有平行于xOy 面的边界面时,关于变量z 的积分可能的较简单的积分限.而在球坐标系下,当积分区域与球有关时,关于三个变量的积分都可能有较简单的积分限,选择积分区域还要注意被积函数的特点. 2、积分方式的选择,应了解化成三次积分与化成一次积分及一个二重积分的公式的主要特点,以及给定积分区域与被积函数下使用何种公式合适.3、积分次序的选择.了解改换积分次序的方法,明确由于积分次序的不同,影响积分计算与繁简程度的可能性.4、积分区域.对于用方程或不等式的积分区域,可画出示意图;对于用图形给出的积分区域,能求出其边界方程.还可求出积分区域在某一坐标平面的投影区域及这个投影区域的边界线方程;能求出积分区域平行于某个坐标面的截面;能求出积分区域经坐标变换后的新区域的边界曲面的方程.参考文献：[1]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法 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