第六章常微分方程
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
高数应用数学 第6章 常微分方程
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
第六章 常微分方程
第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。
2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。
3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。
特解：通解中的任意常数确定。
初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。
第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。
b)令u(x)=,则=。
代入原式。
c)令=p(y),则=。
代入原式。
2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。
（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。
（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。
（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。
（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。
3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。
则Y=+是齐次方程的通解。
b)=0，有两个相等实根。
则Y=+=是齐次方程的通解。
c)<0，有两个不等虚根。
则Y=是齐次方程的通解。
非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。
只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。
Qn是和Pn相同形式多项式。
b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。
更多资料信息联系QQ：3324785561。
第六章常微分方程
第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。
定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
第六章 常微分方程
第六章常微分方程一、学习指导1、知识网络常微分方程微分方程偏微分方程微分方程相关概念微分方程的阶通解微分方程的解特解可分离变量微分方程一阶线性齐次微分方程常见微分方程形式一阶线性微分方程及其通解公式一阶线性非齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程2、知识重点与学习要求2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。
2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。
2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。
2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。
3、概念理解与方法掌握3.1基本概念（1）微分方程的定义含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。
注意：① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。
② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。
本章只讨论常微分方程。
（2）微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
（3）微分方程的解如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。
（4）初始条件初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。
3.2 几种常见类型微分方程的解法注意：微分方程特定类型有其特定的解法，故在解微分方程之前，一定要准确判断出它的类型。
1、可分离变量的微分方程 （1）方程形式 形如()()dyf xg y dx= 的微分方程叫做可分离变量的微分方程。
其中(),()f x g y 在其定义的某个范围内为连续函数，且()0g y ≠。
《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
第六章 常微分方程数值解(龙格-库塔法)
h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
即
k1 k2 yn 1 yn hk yn h 2 k1 f ( xn , yn ) k2 f ( xn 1 , yn hk1 )
1. （更一般地）二阶龙格-库塔方法 （选k1，k2）： xn为一点，区间[xn, xn+1]再选一点
则：
其中
（复合函数 求导）
h2 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) O (h 3 ) 2
y ( xn )=f ( xn , yn ) f n y ( xn ) ( y ( xn )) ( f ( xn , yn )) ( f n ) [
xn xn 1
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn h ), h
y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn h ),
平均斜率
0 1
0 1
k * y ( xn h )
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
1. 分别用欧拉法和改进欧拉法求初值问题，
y 2 xy y (0) 1 0 x 0.5
取步长h=0.1，并与精确解 y e x 进行比较。
2
2. P93, 实验六 6.1 (1) 分别用二阶(Ⅱ)和四阶龙格库塔公式求解此初值问题(0≤x≤1, 取步长h=0.2)
龙格-库塔方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
xn
xn+1
龙格-库塔方法（特例） 欧拉法 即 改进欧拉法
yn 1 yn hf ( xn , yn )
第六章—常微分方程的数值解法 PPT
§6.1 引言
初值问题的数 点值 ：解 按法 节特 点顺 进序 ，依 由
知的 0,yy1,,y， i 求i出 1 ，y这可以通过 得递 到推 。
初值 问题 的 常见 解法
单步法： 利用前一个单步的信息(一个点)，在y=f(x)
上找下一点yi， 有欧拉法，龙格－库格法。
预测校正法： 多步法，利用一个以上的前点信息求f(x)
第六章 常微分方程的数值解法
本章内容
§6.1 引言 §6.2 欧拉方法 §6.3 龙格—库塔方法 §6.4 边值问题的数值方法
§6.1 引言
一. 问题提出
有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分 方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。
如，一阶常微分初方值程问的题 dy f(x,y) x[a,b] dx y(x0)y0
推进Pn1(xn1, yn1， ) 显然两个顶点P， n Pn1的坐标有关系
yn1 - yn xn1 - xn
f (xn, yn),
即yn1 ynr)公式。
y
y y(x)
P2 P3 P4 Pn
P1
P0
x O
§6.2 欧拉方法及其改进
例：利用 Euler 方法求初值问题
y(x0)y(x1) hy(x0)
记为
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
几何意义：折线逼近解y y(x)曲线。
设已做出折线的顶点P， n 过Pn(xn, yn)依方向场的方向再
需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个 点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求 满足即可)。
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
第六章 常微分方程解法
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步 都会产生截断误差和舍入误差，这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一 种隐式方法，求解方程计算量大。 实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果，迭代一次即可，这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相 应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研 究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解， 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义： 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)
第六章 常微分方程
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高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】
6.3.3 形如 的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具．现实世 界中，能用微分方程建模研究的实际问题有很多，涉及的领域包括物理 学、化学、经济、生物、军事、资源等．下面举几个简单的例子，说明 如何运用微分方程解决实际问题．
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如 的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
第六章常微分方程的数值解法
第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中，常常会遇到常微分方程的求解问题。
传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式，不能处理复杂的、变系数的、非线性方程，对于这些方面的问题，只能求诸于近似解法和数值解法。
而且在许多实际问题中，确确实实并不总是需要精确的解析解，往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。
在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法，能够给出解的近似表达式，这一类方法称为近似解法。
还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解，给出解在一些离散点上的近似值，这一类方法称作为数值方法。
本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。
同时，对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。
§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数，，b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy， (1.1) 其中),(y x f 是已知函数，α是给定的数值。
通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件：(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续；(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件：212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?，， (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。
由常微分方程的基本理论可以知道，假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件，则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解，，b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。
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利用插值公式的方法：
n
f (n1) ( )
f (x) lk (x) f (xk )
k 0
(n 1)!
wn1 ( x)
n
f ( xk ) lk ( xk ) f ( xk )
k 0
f (n1) ( )
(n 1)!
wn1
(
xk
)
xk = x0 + kh (k=0，1，2)
l0 ( x)
1 2h2
(x
x1 )(x
x2 )
l1( x)
1 h2
(x
x0 )(x
x2 )
l2 ( x)
1 2h2
(x
x0 )(x
x1 )
l0
(
x)
2x
( x1 2h2
x2
)
l1 (
x)
2
x
( x0 h2
x2
)
l2 ( x)
2x
(x0 2h2
x1 )
f
( x0 )
1 [3 2h
f
(x0 )
f
n
,
nn
n 0,1,
为避免解非线性方程，与Euler 法结合：
dx
x
y(1) 3
只要函数f (x, y)适当光滑连续，且关于y满足李普 希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得
f (x, y) f (x, y) L y y 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且唯一。
微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是 [a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点 h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方 法求得y(x)在每个节点xk上y(xk)的近似值，用yk表示，即
A 用差商代替微商
dy y
x x
dx x x x
,
n
y
n
y
n1
n f (xn , y(xn ))
n1
n
x x y x y x 用 h , y , y
代替，则：
n1
n
n
n
n1
n1
y y
x y n1 n f h
,
nn
y y x y hf ,
n 0, 1, 2,
yk≈y(xk)，这样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解。
补充：
微分的数值计算
Tylor展开 方法
一阶向前差商
f (a) f (a h) f (a) O(h) h
一阶向后差商 一阶中心差商
f (a) f (a) f (a h) O(h) h
f (a) f (a h) f (a h) O(h2 ) 2h
第六章 常微分方程初值问题数值解法
6.1 基本理论
一阶常微分方程的初值问题:
dy
dx
f (x, y)
y(
x
)
0
y 0
例: 方程 xy'-2y=4x y' = 2 y 4 x
令：f(x,y)= 2 y 4 且给出初值 y(1)=-3 x
就得到一阶常微分方程的初值问题：
dy f ( x, y) 2 y 4
C 在xn 附近 y(x) 的 Taylor 展开：
y(xn
h)
y(
x
)
n
h
y
/
(
x
)
n
h2
2
y x//
( ) n
y
(
x
)
n
hf
(
x
,
n
y
(
x
))
n
h2
2
y x//
() n
y x x 取 h 的线性部分，且 y( ) 得 y( ) 的近似值：
n
n
n1
y y x y hf ( , ) n 0, 1, 2,
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
O : 数值解 : 准确解
二、向后（后退的）Euler 方法
用向后差商：
y, x n1
x y
n1
h
yxn
y y x y
则隐式算法：
n1
hf
n
,
n1 n1
y x0
y 0
比较：Euler 公式
yx0 y0
y y x y
n1
hf
y y x ，y h（f
n1
n
n
） n 0，1，2，
n
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
χ0 χ1χ2 χ3 χ
例： 求解初值问题
y y 2 y2 x y(0) 0.
(0<x<3)
解:由Euler方法得
yn1
yn
h(
yn xn
2 yn2)
dx
x
,
0
y
0
x
,
0
y
0
由于 f
x
,
0
y
0
及
x
,
0
y
0
已知，必有切线方程。
由点斜式写出切线方程：
y
y x 0
x0
dy dx
x
,
0
y
0
y
0
(
x
x
)
0
f
(
x
,
0
y) 0
等步长 为h，则
x1 x0 h，可由切线算出
y 1
：
y 1
y 0
h（f x
0，y
）
0
x 逐步计算出y （y x）在 ，点值 ： n1
( x1)
1 [ 2h
f
( x0 )
f
( x2 )
1 2h
[
f
( x0
)
4
4 f ( x1) f (x2)] f ( x1)
3
f (x2)] f (x2)]
l0( x)
1 h2
l1(
x)
2 h2
l2( x)
1 h2
f (x)
f ( x0 ) 2 f ( x1) h2
f (x2)
微分方程离散化常用方法
取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2…,15)
h=0.2;y(1)=0.2;x=h:h:3; for n=1:14
xn=x(n);yn=y(n); y(n+1)=yn+h*(yn/xn-2*yn*yn); end x0=-4:h:4;y0=x0./(1+x0.^2); plot(x0,y0,x,y,x,y,'o')
n1
n
nn
B. 数值积分
用数值积分方法离散化 :
xn1 dydx xn1 f (x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
用yn1, yn代替y(xn1), y(xn ), 对右端积分采用 取左端点的矩形公式
则有
xn1 xn
f
(x,
ห้องสมุดไป่ตู้
y)dx
hf
(xn ,
yn )
yn1 yn hf (xn , yn ) (n 0,1, )
f
(a
h)
n k 0
hk k!
f
(k) (a)
hn1 (n 1)!
f
(n1) (1 )
f (a h) n (1)k hk f (k) (a) (h)n1 f (n1) ( )
k 0
k!
(n 1)!
二阶中心差商 f (a) f (a h) 2 f (a) f (a h) O(h2 )
n1
n
nn
Taylor展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易估计
截断误差。
6.2 欧拉（Eular)方法
一、 Euler 公式 计算公式：
y
x0
y 0
y y x y
n1
hf
n
,
nn
n 0,1,
1，几何意义。
由
x
,
0
y
0
出发取曲线 y y x 的切线（存在！），则 斜率
dy
f