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中国高考数学母题］(第338号)

二阶导数意义与函数性质

随着高等数学知识在初等数学中的下放，在高考中，出现了越来越多具有高等数学背景的试题，其中，以二阶导数的三种意义为背景的高考试题就是典型的例证.

［母题结构］：(1)(极值判断)设f(x)在X。处二阶可导，且f (Xo)=O, r(Xo) MO,①若r(Xo)

②若r(xo)>o,则&是f(x)的极小值点;

(H)(凹凸定理)若f(x)在(d,b)内二阶可导，①f(x)在(d,b)内的图像是凹曲线。当xW(d,b)时，r (x) ^0恒成立;② f (x)在(a, b)内的图像是凸曲线。当xe (a, b)时，广(x) <0恒成立；

(in)(拐点定理)曲线凸部和凹部的分界点叫做拐点,f(x)的拐点xo, 一定是使r(xo)-o的点，①若尸(x0)=o,旦r怎)丈0,

则X。是曲线的拐点;②(Xo)=o,且广(Xo)=o,则点X。不是曲线的拐点.

［母题解•析］:(I )①由r(Xo) <0 => f(X)在X=Xo的左右附近单调递减，又f (Xo)=O=>X在X二X。的左侧时,f(X)>O, X在x=x°的右侧时，广(X)<0 => Xo是f(x)的极大值点;②同理可证；

(11)(111)略.

1 .极值判断

子题类型I ：(2012年安徼高考试题)设函数f(x)二f+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x,,}.

(I )求数列{xj ; (n)1S{xn)的前n项和为&,求sinSn.

[解析]:(1 )由f (x) = ： +sinx => f (x) = ； +cosx n f (x)=-sinx,令f (x)=0n cosx=-； n x=2n n ±—;又因f (2n

2 2 2 3

z专)二一#<0顼(2用-号)二g>0nx=2"-亨是f(x)的极小值点= 号SWN)；

(1【)由"2n「学fl)厂手，注意到:n(n+l)为偶数nsiEin［n(n+l) 半］f n半;①当n*

(k^N )时，sinS…=-—;②当n=3kT (k〉N.)时,sinS n=—;③当n=3k-2(k「N+)时,sinS n=O. 2 -2

［点评］:利用二阶导数的符号判断函数极值点的类型，即极值点是极大值点，还是极小值点？可以避免列表的麻烦，

十分快捷方便.

［同类试题］:

1. (2008年湖北高考试题)已知函数f(x)=xW-m2x+l(m为常数，且m>0)有极大值9.

(I )求m的值；(II)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直线方程.

2. 凹凸定理

子题类型II : (1994年全国高考理科试题)己知函数f(x)=tanx, xG (0,三)，若x… x2S (0, ♦),且证明：

2 2

i［f(x.)+f(x2)］>f(^±^-).

2 2

［解析］：先证明如下命题:若f(x)在区间(0,号)上连续可导，旦广(X)在区间(0, 5)上单调递增，则当x.,x2e(0,日)，且

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x*x・2时，;[f(x)+f (xj]>f (土担)；不妨设0/ (土三);

令g(x) = i［f (x) +f (xj ］-f (壬互)，则g，(x)=广(X)一尸(冷)］>° = g(X)在区间(0, xJ 上单调递增 n g (x) >g S) =0 L £

££

当 xe (0,乙)时,由 f (x)=tanx=> f (x) =———=>

2 cos 2.r ng(x)>0n i [f(x,)+f(x 2)]>f(^-);

,〃(x)二竺S>0n r (x)在区间(0,生)上单调递增n L[f(xJ + cosr 2 2

f(X2)］>f (峥).

一

［点评］:①若f (x)在区间D 上是凸函数，则对任意的x b X2,…,x…ED,都有f (P1X1+P2X2+•••+p n x rt ) Npif (xD+p 疔(X2)+・・・+ Pnf (Xn)(其中 P ，>0, Pl+P2+---+Pn=1)；②若 f (x)在区间 D 上是凹函数，则对任意的 Xi, X2,…，Xn^D,都有 f (p 1X l+p 2X 2+—+p n Xn) Plf (Xl) +p 2f (X 2) + —+p n f (Xn)(其中 Pi>0, P1+P2+ —+Pn=1 ),当旦仅当 X1 = X 2= —= Xn 时，等号成立.

［同类试题］:

2. (2005 年全国 I 高考试题)(1 )设函数 f (x)=xlog2x+(l-x) log-2(1-x) (0

(II)设正数 Pl, P2, P3,…，P2"满足 Pl+P2+P3+・・・+P2, =1，证明:p I 1 OgaP l +P21 Og ?P2+P31()g2P<+- * * +p 2» lOgzP?" Nf.

3. 拐点定理

子题类型III : (2012年福建高考试题)己知函数f (x)二e'+ax'-ex, a ER.

(I) 若曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线平行于x 轴,求函数f(x)的单调区间;

(1【)试确定a 的取值范围，使得曲线y=f(x)±.存在雎一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

［解析］：(I )由 f (x) =e'+ax 2-ex => f (x)二e'+2ax-e;由广(l)=0=> a=0=> f (x) =e r -e => f (x)的单调递增区间为(l,+8), 单调递减区间为(-8,1)；

(II) 由广(x) =e'+2ax-e => f" (x)=e x +2a 存在零点n a<0,证明如下:①当aHO 时，广(x) =e x +2ax-e 单调递增，设曲线在任 意一点P(xo,f(xo))处的切线为y 二kx+b,则f(x)Nkx+b,当且仅当x=X 。时，等号成立n 曲线在任意一点P 处的切线与曲线 只有一个公共点P,不合题意;②当a<0时，曲线y=f(x)在点P(In(-2a), f (In(~2a))处的切线:y 二广(ln(-2a))x+f (In(- 2a))-In(-2a) f (In(-2a))令 g(x)=f (x)- 厂(In(~2a)) x-f (In(~2a)) +ln(~2a) f (In(-2a)),则 g 1 (x) = f f r (In(- 2&));①当 x f (x)递减n f (x)>/ (In(-2a)) => g f (x)>0=> g(x)递增 ng(x)>g(ln(- 2a))=0;②当 x>ln(-2a)时，f" (x) =e x +2a>0 => f (x)递增 n f (x)>/ (ln(-2a)) => g ，(x)>0ng(x)递增=> g(x)

［点评］:函数拐点是函数除极值点外的重要的点，除是函数图像凸凹性的分界点外，还有基本性质：曲线.C ：y=f(x)在拐点 x=X 。处的切线.穿过曲线,C.

［同类试题］:

3. (2010年福建高考试题)已知函数f(x) = lx 3-x 2+ax+b 的图像在点P(O,f(O))处的切线方程为y=3x-2.

(I )求实数a,b 的值；(II)设g(x)=f(x) + 4 是［2,+8)上的增函数. -V- 1

(i)求实数m 的最大值；(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q 的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这 两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标;若不存在，说明理由.

4. 子题系列：

4. (2016 年山东高考试题)设 f (x) =xlnx-ax 2+ (2a-l)x, aWR.

(I )令g(x) = f (x),求g(x)的单调区间；(II)己知f(x)在x=l 处取得极大值，求实数a 的取值范围.

5. (2009年湖南高考试题)巳知函数f (x)=x’+bx'+cx 的导函数的图象关于直线x 二2对称.

(【)求b 的值；(1【)若"、)在x=t 处取得极小值，记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域.

6. (2006年四川高考试题)己知函数f(x )=x 2+-+alnx(x>0),f(x)的导函数是f (x),对任意两个不相等的正数x“ x?,证明: -V