量子力学答案 苏汝铿 第二章2.1-2.3#09

第九组作业
陆才雄 200431020027 龙祺 200431020025 方小龙 200431020032
2.1 一维运动的粒子处在()()000x
A x e
x x λψ-⎧≥⎪=⎨≤⎪⎩
的态，求
（i ）粒子动量的分布函数；
（ii ）动量的平均值。

解：（i ）由归一化条件：
22
2223
14x
A
d x A x e
d x λψ
λ
+∞
+∞
--∞
=
=
=⎰
⎰
得： 2
32A λ= 动量分布函数为
(
)
(
)2
2
30
11,2ip x ip x x p t x e
d x xe
d x λψ
ψ
λ+∞
+∞
-
-
∞
=
=
=
⎰
⎰
（ii ）动量平均值
()()*
p p p p d p
ψ
ψ+∞
-∞
=
⎰
结合（i ）可知，被积函数是奇函数，所以易得
0p =
2.2 设在0t =时，粒子的状态为2
1
s in c o s 2A k x k x ψ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
，求粒子的动量平均值。

解： ˆx p
i x
∂=-∂ 由平均值的定义
()()**2
1ˆs i n c o s 2
s i n 2s i n
22x
x A
p p d x i i A k x k x k k x k
k x d x x ψψψψ+∞
+∞
+∞
-∞-∞-∞
∂⎛⎫⎛⎫==-=+-- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰ 显然被积函数为奇函数，所以
0x p =
2.3 粒子在势能为()()
()()12000U x U x x a U x a ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
的场中运动，证明对于能量12
E U U
<<的状
态，能量由关系
式a rc sin
a rc sin
k k k a n π=-- 决定，其
中
k =
解： 令
1k =
，
2k =
，
k =
由于m in 0U = 显然 0E >
由定态Schrodinger 方程 2
22
2d
V E m d x
ψψψ-
+=
，考虑到束缚态的要求，ψ的一般
形式为 ()()
()()12000k x
ik x ik x
k x A e x x B e C e x a D e x ψ--⎧<⎪=+<<⎨⎪>⎩
'
ψ与ψ都在0,x a =连续，有 111C B k ik C B
-=
+， ()222i k a
i k a
i k e C B
k e
C
B
-=-
+
消去C B 得 122
12
ta n 1k k k k k a k
k k +=-
-
令 11ta n k k θ=， 22ta n k k θ= 则有 12k a n πθθ=-- 由于
2
22
2k k ⎛
+= ⎝
⎭
，2
22
1k k ⎛
+= ⎝
⎭
于是有 1s i n k θ=
，2sin k θ=
综合得
a rc sin
a rc sin
k a n π=--。