数值分析复习总结

xi2 (xi1)
'( ) L 1, 0平方收敛
9）确定根的重数：当 Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
r
xi xi2
x2 i 1
1
xi1
xi2 2xi1 xi xi2 xi1 xi2 xi1
10）拟 Newton 法
xi1 xi
Ai
1
(
xi1
Ai1F (xi ) xi ) F (xi1)
于唯一的根；
定理二：设(x) 满足：① x a,b 时，(x) a,b ，
② x1, x2 a,b,有 (x1) (x2 ) l x1 x2 , 0 l 1 则对任意初值 x0 a,b 迭代收敛，且：
xi
1 1l
xi1 xi
xi
li 1 l
x1 x0
定理三：设(x) 在 的邻域内具有连续的一阶导数，且' ( ) 1，则迭代格式具有局部收
Gauss-Jordan 消元法（对角阵）： M 1 n3 ； 2
列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可
用于求逆矩阵）
全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位
置；
4）三角分解法：
①：Doolittle 分解法：A=LU，L 单位下三角阵，U 上三角阵
③：至少存在一种矩阵的从属范数，使 B 1 8）Jacobi 迭代： A L D U xi1 (I D1A)xi D1b
9）Gauss-Seidel 迭代： xi1 (L D)1Uxi (L D)1b
F (xi ) 若Ai非奇异，则Hi
Ai1
Ai
1
Ai
Ai
xi1 xi Hi1(F (
HiF(xi ) xi1) F (xi
))
( xi 1
xi
)
H
i 1
Hi
Hi
f1 f1
x1i
x2i
f2 f2
其中
Ai
F '(xi )
x1i
x2i
f
n
fn
x1i x2i
11）秩 1 拟 Newton 法：
敛性；
定理四：假设 (x) 在根 的邻域内充分可导，则迭代格式 xi1 (xi ) 是 P 阶收敛的
( j) ( ) 0, j 1, , P 1,(P) () 0 （Taylor 展开证明）
4）Newton 迭代法： xi1
xi
f (xi ) ，平方收敛 f ' (xi )
5）Newton 迭代法收敛定理：
r
f (xi ) f ' (xi )
（平方收敛）
②：未知根的重数： xi1
xi
u(xi ) u' (xi )
,
u(
x)
f (x) ， f '(x)
为
f (x) 的重根，则
为 u(x) 的单
根。 8）迭代加速收敛方法：
xi1
xi xi2
x2 i 1
xi2 2xi1 xi
xi1 (xi )
当 不 动 点 迭 代 函 数 (x) 在 的 某 个 邻 域 内 具 有 二 阶 导 数 ，
aij
i1 j1
n
1 范数：
A max 1 1 jn i1
aij
，列和最大
n
范数：
A max 1 1in
aij
j 1
，行和最大
2 范数： A 2
( AH A) ，其中
( AH
A)
max
1in
i
，i
为
AH A 的特征值，( A)
A
3）Gauss 消元法（上三角阵）： M 1 n3 ； 3
A
A1 1，谱条件数： cond2 ( A)
A 2
A1 2
A
Cond (A)
x
A
x
A 1 Cond(A)
A
6）如果 B 1，则 I B 为非奇异阵，且 (I B)1 1 1 B
7）迭代法基本原理：
①：迭代法： xi1 Bxi K
②： (B) 1( lim Bi 0 ，迭代格式收敛) i
设 f (x) 在有根区间a,b 上有二阶导数，且满足：
①： f (a) f (b) 0；
②： f '(x) 0, x a,b ； ③： f ''不变号, x a,b
④：初值 x0 a,b 使得 f '' (x) f (x) 0；
则 Newton 迭代法收敛于根 。
6）多点迭代法： xi1 xi
i1
范数：
x
max 1 i n
xi
n
1
p 范数： x ( p
xi p ) p
i 1
2）矩阵范数：
①：非负性： A 0 ，且 A 0 的充要条件是 A 0 ；
②：齐次性： A A
③：三角不等式： A B A B
④：乘法不等式： AB A B
1Baidu Nhomakorabea
n
F 范数：
A F
n
2 2
f1
xni
f2
xni
fn
xni
xi 1 Ai1
xi Ai1F (xi )
Ai
( yi
Airi )
(ri )T (ri )T ri
, 其中r i
xi1
xi ,
yi
F (xi1)
F(xi )
Broyden 秩 1 方法
xi1 xi Hi1 Hi
HiF (ri
(xi ) H
②：Crout 分解法：A=LU，L 下三角阵，U 单位上三角阵
③：Cholesky 分解法：A 对称正定， A LLT ，L 为单位下三角阵
④：改进的 Cholesky 分解法：A 对称正定， A LDLT ，L 为单位下三角阵，D 为对角阵
⑤：追赶法：Crout 分解法解三对角方程
5）矩阵的条件数 cond ( A)
i
yi
)
(ri )T Hi (ri )T Hi yi
第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数：
①：非负性： x 0 ，且 x 0 的充要条件是 x 0 ；
②：齐次性： x x
③：三角不等式： x y x y
n
1 范数： x 1
xi
i1
n
1
2 范数： x ( 2
xi 2 )2
f (xi ) f (xi ) f (xi1)
f
( xi
f (xi ) f
) ( xi 1 )
xi1
f
f (xi1) (xi1) f (xi
)
xi
xi xi1
收敛阶： P 1 5 2
7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对 Newton 法进行修改
①：已知根的重数 r， xi1 xi
数值分析复习资料
第一章 非线性方程和方程组的数值解法
1）二分法的基本原理，误差：
~
x
ba 2k 1
2）迭代法收敛阶： lim i
i 1 i p
c 0 ，若
p 1则要求 0 c 1
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当 x a, b 时，(x)a,b 且 ' (x) l 1， x a,b ，则迭代格式收敛