巧用圆的一般方程解题

巧用圆的一般方程解题
圆的一般方程C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .当点),(00y x P 在圆外时，0002020>++++F Ey Dx y x ，该数值的几何意义是什么呢？
经过探索，我们发现：
结论 1： 已知圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，
当点),(00y x P 在圆外时，过点P 作圆的切线PA ，切点为A ，则切线长
;002020F Ey Dx y x PA ++++=
A
Cccccccc P
证明: 由圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 可知： 圆心)2,2(E D C --
，半径F E D r 42
122-+=， 从而222r PC PA -=，即)4(41)2()2(2220202F E D E y D x PA -+-+++= 化简可得.002020F Ey Dx y x PA ++++=
已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C ；
圆)04(0:22
222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C .
若两圆相交，我们知道两圆方程相减，可得两圆公共弦方程: 0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .
若两圆外离，两圆方程相减得到的直线方程：
0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D
有什么几何意义呢？
经过探索，我们发现：
结论2： （1）已知圆)04(0:12
121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22
222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过直线
0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,.则 C
PB PA =.
（2）已知圆)04(0:12
121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过两圆外一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,，切点分别为B A ,若PB PA =，则点P 在直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.
P
A B
证明：（1）设直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点),(00y x P ，则
0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D .
即
2020210101F y E x D F y E x D ++=++
由结论1得
;101012
020F y E x D y x PA ++++=
;202022020F y E x D y x PB ++++=
从而PB PA =
（2）设两圆外任意一点),(00y x P ，因为PB PA =，所以
101012020F y E x D y x ++++202022
020F y E x D y x ++++= 化简并整理得
0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D
于是P 点在0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.
灵活运用上述两个小结论解题，常常能节省思维量和运算量，提高解题速度，节省时间，达到事半功倍的效果，下面举几个例子.
例1 （2005年江苏高考题）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P
2C 1C
分别作圆1O 与圆2O 的切线PN PM ,（M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=.试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.
P
M N
解：以21O O 所在直线为x 轴，21O O 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.设动点),(y x P ， 则圆1O ：03422=+++x y x ，圆2O ：0342
2=+-+x y x .根据PN PM 2=及结论1，知 =+++3422x y x 2)34(2
2+-+x y x ，
整理得 031222=+-+x y x
点评：本题通常用圆的标准方程来解，运算量大，且易错.用圆的一般方程和结论1来解决，不仅简单方便，而且不宜错，同时还节省了时间.
例2（2007年四川高考题）已知圆O 的方程是,0222=-+y x 圆O '的方程是.010822=+-+x y x 由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是
解：由结论2(2)得动点P 的轨迹方程0)108()2(2222=+-+--+x y x y x ，整理得2
3=x 点评：本题通常采用设动点),(y x P ，由圆的基本性质建立等式方程，然后再化简，才能得到.此过程繁琐，且等量关系不易找到，化简容易错.采用本文中的结论2一步就解决了，不仅结果正确，而且提高解题速度.
例3（2013年江苏镇江模拟）已知圆422=+y x 与圆0146622=++-+y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是
解：过直线l 上任意一点分别向两圆作切线PA ，PB ，切点分别为A,B ，由于两圆关于直线l 对称，有对称性可知PB PA =，由结论2可得直线l 的方程为0)4()1466(2222=-+-++-+y x y x y x ，整理得03=--y x .
点评：本题通常采用求两圆的圆心的连线段的中垂线方程的来解.此方法不光运算量大，而且斜率容易求错.而巧用结论2很快就能解决.
总之，有关圆的一般方程与切线长的问题都可以运用本文的两个小结论，把复杂的问题简单化，达到事半功倍的效果.
2O 1O。