Matlab黄金分割法求极小值
matlab函数求极限
matlab函数求极限使用Matlab函数求极限极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某个点无限接近某个值的情况。
求解极限可以帮助我们理解函数的性质和行为，对于数学建模和问题求解也具有重要意义。
在Matlab中，我们可以利用一些函数来求解极限，本文将介绍一些常用的方法和技巧。
一、符号计算工具箱Matlab中的符号计算工具箱(Symbolic Math Toolbox)提供了一系列函数，可以用于进行符号计算和代数运算。
在求解极限时，可以使用其中的limit函数。
limit函数的调用格式为：limit(f, x, a)其中，f是要求极限的函数，x是自变量，a是自变量趋近的点。
通过调用limit函数，我们可以得到函数f在x趋近于a时的极限值。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x)/x 在x趋近于0时的极限。
可以使用以下代码：syms xf = sin(x)/x;limit(f, x, 0)运行以上代码，可以得到极限值为1。
这是由于当x趋近于0时，sin(x)/x的值趋近于1。
二、数值计算工具箱除了符号计算工具箱，Matlab还提供了数值计算工具箱(Numerical Computing Toolbox)，可以进行数值计算和数值优化。
在求解极限时，我们可以利用数值计算工具箱中的一些函数来进行近似计算。
例如，我们要求函数f(x) = (1+x)^(1/x) 在x趋近于0时的极限。
由于这个函数在x趋近于0时的极限不存在，我们可以通过数值计算来逼近这个极限值。
可以使用以下代码：x = linspace(-1, 1, 1000);f = (1+x).^(1./x);limit_value = f(end)运行以上代码，可以得到极限值为2.7183。
这是通过将x取一个足够小的范围，并计算函数在该范围内的取值来进行近似计算得到的。
三、图形方法除了数值计算，我们还可以利用图形方法来求解极限。
在Matlab中，可以使用plot函数绘制函数的图像，并观察函数在某个点附近的行为。
matlab最大值最小值函数
matlab最大值最小值函数MATLAB提供了多个函数来寻找一组数据的最大值和最小值。
其中，最常用的函数是max和min函数。
这两个函数可以用于向量、矩阵、数组等不同类型的数据。
我们来看一下max函数的使用方法。
max函数可以接受一个向量、矩阵或数组作为输入，返回其中的最大值。
例如，对于一个向量v，我们可以使用max(v)来找到向量中的最大值。
如果输入的是一个矩阵或数组，max函数会返回每列的最大值。
我们也可以通过指定维度来获取不同维度上的最大值。
同样，min函数的用法与max函数类似。
min函数可以找到一组数据中的最小值。
对于向量、矩阵或数组，我们可以使用min函数来获取最小值。
min函数的用法与max函数相似，可以指定维度来获取不同维度上的最小值。
除了找到最大值和最小值，max和min函数还可以返回最大值和最小值的索引。
我们可以使用两个输出参数来接收这些索引。
例如，对于向量v，我们可以使用[maxValue, maxIndex] = max(v)来获取最大值及其索引。
同样，对于最小值，我们可以使用[minValue, minIndex] = min(v)来获取最小值及其索引。
除了max和min函数，MATLAB还提供了其他一些相关的函数，用于寻找最大值和最小值。
例如，range函数可以返回一组数据的范围，即最大值减去最小值。
另外，sort函数可以对一组数据进行排序，从而方便地找到最大值和最小值。
sort函数可以按升序或降序进行排序，并且可以指定排序的维度。
在实际应用中，最大值最小值函数在数据分析和处理中经常被使用。
例如，在统计学中，我们经常需要找到一组数据的最大值和最小值，以计算平均值、中位数等统计指标。
此外，在工程领域，最大值最小值函数也被广泛用于信号处理、图像处理等领域。
总结一下，MATLAB的最大值最小值函数提供了寻找一组数据中最大值和最小值的便捷方法。
通过max和min函数，我们可以快速找到数据的最大值和最小值，并且可以获取最大值和最小值的索引。
黄金分割法
黄金分割法实验报告院系:机电工程学院专业:机制自动化黄金分割法实验报告一.黄金分割法基本思想黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a，b]内适当插入两点x1，x2，并计算其函数值。
x1，x2将区间分成三段。
应用函数单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。
然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
二.黄金分割法的程序框图针对例题3--1函数f（x）=x*x+2*x，当给定区间[-3,5]用黄金分割法求极小点三.程序#include <stdio.h> #include <math.h> double ff(double x) {double z;z=x*x+2*x;return (z);}int main(){double a,b,e,f1,f2,x1,x2;double n=0.618;int sign=1;int i=1;a=-3.0;b=5.0;e=0.001;x1=b-n*(b-a);f1=ff(x1);x2=a+n*(b-a);f2=ff(x2);printf("a=%5.3f, b=%5.3f, x1=%5.3f, x2=%5.3f, f1=%5.3f, f2=%5.3f\n",a,b,x1,x2,f1,f2);while(sign==1){if(f1>=f2){a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+n*(b-a);f2=ff(x2);}else{b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=b-n*(b-a);f1=ff(x1);}printf("第%d次循环各数值为：\n",i++);printf("a=%5.3f, b=%5.3f, x1=%5.3f, x2=%5.3f, f1=%5.3f, f2=%5.3f\n",a,b,x1,x2,f1,f2);if (fabs((b-a)/b)<e&&fabs((f2-f1)/f2)<e)sign=0;}if(sign==0)printf(" 近似解为%10.3f\n",(a+b)/2);return 0;}四.运行结果。
黄金分割法及其代码
黄⾦分割法及其代码线性搜索之黄⾦分割法及其应⽤摘要最优化理论和⽅法⽇益受到重视，已经渗透到⽣产、管理、商业、军事、决策等各个领域，⽽最优化模型与⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通讯和政府机关等领域。
伴随着计算机技术的⾼速发展，最优化理论与⽅法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB 软件已经成为最优化领域应⽤最⼴的软件之⼀。
有了MATLAB这个强⼤的计算平台，既可以利⽤MATLAB优化⼯具箱（OptimizationToolbox）中的函数，⼜可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
在最优化计算中⼀维最优化⽅法是优化设计中最简单、最基本的⽅法。
⼀维搜索，⼜称为线性搜索，⼀维问题是多维问题的基础，在数值⽅法迭代计算过程中，都要进⾏⼀维搜索，也可以把多维问题化为⼀些⼀维问题来处理。
⼀维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。
⽽黄⾦分割法是⼀维搜索⽅法中重要的⽅法之⼀，它适⽤于任何单峰函数求最⼩值的问题，甚⾄于对函数可以不要求连续，是⼀种基于区间收缩的极⼩点搜索算法。
关键词：最优化、黄⾦分割法、MATLAB软件、⼀维搜索引⾔数学科学不仅是⾃然科学的基础，也是⼀切重要技术发展的基础。
最优化⽅法更是数学科学⾥⾯的⼀个巨⼤的篇幅，在这个信息化的时代，最优化⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各领域；它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。
⽽最优解问题是这些所有问题的中⼼，是最优化⽅法的重中之重，在求最优解问题中，有多种⽅法解决，我们在这⾥着重讨论⽆约束⼀维极值问题，即⾮线性规划的⼀维搜索⽅法之黄⾦分割法。
黄⾦分割法也叫0.618法，属于区间收缩法，⾸先找出包含极⼩点的初始搜索区间，然后按黄⾦分割点通过对函数值的⽐较不断缩⼩搜索区间。
当然要保证极⼩点始终在搜索区间内，当区间长度⼩到精度范围之内时，可以粗略地认为区间端点的平均值即为极⼩值的近似值。
Matlab中求函数的最小值
MATLAB优化应用§1 线性规划模型一、线性规划课题：实例1：生产计划问题假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0实例2：投资问题某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金锪百分比)如下表：B和C的投资要大于项目D的投资。
试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。
建立数学模型：设x1、x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4≤0x2+ x3- x4≥0x1+x2+x3+ x4=1x j≥0 j=1,2,3,4实例3：运输问题有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。
三个厂每天生产食品箱数上限如下表：四个市场每天的需求量如下表：求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。
建立数学模型：设a i j 为由工厂i 运到市场j 的费用，x i j 是由工厂i 运到市场j 的箱数。
b i 是工厂i 的产量，d j 是市场j 的需求量。
b= ( 60 40 50 ) d= ( 20 35 33 34 )s.tx i j ≥0当我们用MATLAB 软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。
约束g i (x)≥0，化为 –g i ≤0来作。
机械优化设计Matlab-优化工具箱基本用法
Matlab 优化工具箱x = bintprog （f ， A, b, Aeq, Beq ， x0, options ） 0—1规划 用MATLAB 优化工具箱解线性规划命令：x=linprog(c ，A ，b ） 2、模型：命令：x=linprog(c ，A ，b ，Aeq ，beq ） 注意：若没有不等式：存在，则令A=［ ]，b=[ ］. 若没有等式约束， 则令Aeq=［ ]， beq=[ ].min z=cX1、模型：3、模型：命令：［1］x=linprog（c，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）[2］x=linprog（c，A，b，Aeq,beq，VLB，VUB, X0）注意：［1] 若没有等式约束，则令Aeq=[ ］，beq=［]. [2]其中X0表示初始点4、命令:［x,fval]=linprog（…）返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max解编写M文件小xxgh1。
m如下：c=［-0.4 —0。
28 —0.32 —0.72 -0.64 -0。
6］；A=[0。
01 0.01 0.01 0.03 0。
03 0.03;0。
02 0 0 0。
05 0 0;0 0。
02 0 0 0。
05 0;0 0 0.03 0 0 0。
08］；b=[850；700；100;900]；Aeq=[]; beq=［];vlb=[0；0；0;0;0;0]；vub=[］；[x，fval］=linprog(c,A，b，Aeq，beq,vlb,vub)例2解: 编写M文件xxgh2.m如下：c=[6 3 4］；A=[0 1 0]；b=[50];Aeq=［1 1 1］；beq=［120];vlb=[30,0,20］;vub=［];［x，fval]=linprog（c,A,b,Aeq，beq,vlb，vub例3 (任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求,又使加工费用最低？解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。
求函数最大值黄金分割法matlab程序
黄金分割法是一种用于求解函数最大值的数值优化算法。
它利用黄金比例的特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，找到函数的最大值。
本文将介绍黄金分割法的原理和实现方法，并给出利用Matlab编写的程序示例。
一、黄金分割法的原理黄金分割法基于黄金比例的性质，即将一段线段分割成两部分，使整段线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
利用这一特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，最终找到函数的最大值。
二、黄金分割法的实现1. 确定初始搜索范围：根据实际问题确定函数的定义域，确定搜索范围[a, b]。
2. 计算黄金分割点：根据搜索范围[a, b]计算黄金分割点x1和x2，使得搜索范围按照黄金比例减小。
3. 计算函数值：计算函数在x1和x2处的取值f(x1)和f(x2)。
4. 更新搜索范围：比较f(x1)和f(x2)的大小，确定新的搜索范围[a, b]。
5. 重复步骤2-4，直到满足收敛条件或达到迭代次数上限。
三、Matlab程序示例以下是利用Matlab编写的黄金分割法程序示例：```matlabfunction [x_opt, f_opt] = golden_section_method(f, a, b, tol, max_iter)phi = (1 + sqrt(5)) / 2; 黄金比例x1 = b - (b - a) / phi;x2 = a + (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);f2 = feval(f, x2);iter = 0;while (b - a) > tol iter < max_iterif f1 < f2a = x1;x1 = x2;f1 = f2;x2 = a + (b - a) / phi;f2 = feval(f, x2);elseb = x2;x2 = x1;f2 = f1;x1 = b - (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);enditer = iter + 1;endx_opt = (a + b) / 2;f_opt = feval(f, x_opt);end```四、结语黄金分割法是一种简单而有效的数值优化算法，可以用于求解函数的最大值。
黄金分割法,进退法,原理及流程图
1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。
a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
（2）黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法,进退法,基础原理及经过流程图
1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于［a , b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a, b］内适当插入两点al, a2,并计算其函数值。
al, a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
(2)黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法(0.618法)。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
rl=a+0,382(>-a) r2=a+0,618Cb-a) 如图班2户母4) 所以新区间为［a ,于2］以为新区间，继域求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间［a,b］内搜索极小点* *的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数［6］,即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间［7］。
具体步骤是：在区间［a,b］内取点：al , a2把［a,b］分为三段。
如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2) ,令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a), 如果 | (b-a)/b | 和 | (y1-y2)/y2 | 都大于收敛精度e重新开始。
黄金分割法
黄金分割法学习目标➢理解单谷函数及其性质➢理解黄金分割法的基本原理➢掌握黄金分割法的步骤➢编程实现黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩方法。
首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。
当然，要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间中点为极小点的近似值。
黄金分割法适用于单谷函数，即在某一区间中存在唯一极小点的函数。
f (x )O a 1 x * b 1 x一、单谷函数及其性质定义1设单变量函数f(x)在区间a 1,b 1内存在唯一的极小点x ∗,x ∗∈a 1,b 1,且f(x)在x ∗点的左侧严格下降，在x ∗点的右侧严格上升，则称f(x)在区间a 1,b 1上是单谷函数或者下单峰函数，a 1,b 1为f(x)的单谷区间，见图1。
图1 单谷区间与单谷函数单谷函数具有一个重要的消去性质(I) 若f(a) < f(b), x *∈[a1,b]f(x)xa 1b 1(I) 消去[b, b 1]x *b a （II ）若f(a)≥f(b)，x *∈[a,b 1]f(x)xa 1b 1(II) 消去[a 1, a ]x *a b单谷区间与单谷函数有如下性质：若f(x)是单谷区间a1,b1上的单谷函数，极小点为x∗，在a1,b1任取两点a和b，且a<b，计算这两点的函数值f(a)和f(b)，则：(1)当f a<f(b)时，x∗∈a1,b。
(2)当f a≥f(b)时，x∗∈a,b1。
由单谷函数的性质可知:➢在单谷区间a1,b1内任取两点a和b都可以求得一个相对更小的单谷区间。
➢这个过程可以一直重复下去，如果某个单谷区间的长度足够小，该区间的中点就可以作为极小点的近似。
二、黄金分割法的基本原理设计思路：反复使用单谷函数的消去性质，不断缩小包含极小点的搜索区间，直到满足精度为止。
设计原则：（1）迭代公式简单；（2）消去效率高；（3）对称性：a−a1=b1−b；（4）保持缩减比，即保留的区间长度与原区间长度之比保持不变。
matlab编程实现求解最优解
《现代设计方法》课程关于黄金分割法和二次插值法的Matlab语言实现在《现代设计方法》的第二章优化设计方法中有关一维搜索的最优化方法的一节里，我们学习了黄金非分割法和二次插值法。
它们都是建立在搜索区间的优先确定基础上实现的。
为了便于方便执行和比较，我将两种方法都写进了一个程序之内，以选择的方式实现执行其中一个。
下面以《现代设计方法》课后习题为例。
见课本70页，第2—7题。
原题如下：求函数f(x)=3*x^2+6*x+4的最优点，已知单谷区间为[-3,4],一维搜索精度为0.4。
1、先建立函数f(x),f(x)=3*x^2+6*x+4。
函数文件保存为：lee.m源代码为：function y=lee(x)y=3*x^2+6*x+4;2、程序主代码如下，该函数文件保存为：ll.mclear;a=input('请输入初始点');b=input('请输入初始步长');Y1=lee(a);Y2=lee(a+b);if Y1>Y2 %Y1>Y2的情况k=2; Y3=lee(a+2*b);while Y2>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a+k*b);endA=a+b;B=a+k*b;elseif Y1<Y2 %Y1<Y2的情况k=1;Y3=lee(a-k*b);while Y1>=Y3 %直到满足“大，小，大”为止k=k+1;Y3=lee(a-k*b);endA=a-k*b;B=a;elseA=a;B=a+b; %Y1=Y2的情况enddisp(['初始搜索区间为',num2str([A,B])])%输出符合的区间xuanze=input('二次插值法输入0，黄金分割法输入1');%选择搜索方式T=input('选定一维搜索精度');if xuanze==1while B-A>T %一维搜索法使精度符合要求C=A+0.382*(B-A);D=A+0.618*(B-A); %黄金分割法选点if lee(C)>=lee(D); %缩小区间A=C;elseB=D;endendelsewhile B-A>T %二次插值法是精度符合要求C=(A+B)/2;W=[1,A,A^2;1,B,B^2;1,C,C^2];w=[lee(A);lee(B);lee(C)];x=W\w; %求线性方程组解，求拟合曲线xx=perms(x)';for n=1:(factorial(3)); %使解得值与a0,a1,a2一一对应t=1+(n-1)*3;a0=xx(t);a1=xx(t+1);a2=xx(t+2);if a0+a1*A+a2*A^2~=lee(A)||a0+a1*B+a2*B^2~=lee(B)...||a0+a1*C+a2*C^2~=lee(C);continueendbreakendxp=-a1/(2*a2); %拟合直线的最低点if lee(C)>=lee(xp); %缩小区间if C>=xp; %xp与C大小不定，导致缩小方式不同B=C;elseA=C;endelseif C>=xp;A=xp;elseB=xp;endendendendX=(A+B)/2;Y=lee(X);disp(['极小值点为',num2str(X),'极值为',num2str(Y)]);%输出结果3、由于我编的程序，其搜索区间是自定的。
黄金分割法进退法求极小值matlab程序
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-----进退法求合适区间-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear;syms x; %创建一个符号变量h=diff(f(x),x); %求对x的一阶导数x0=10;g=subs(h,x0); %在x0处h的值%%%%%%%%---------初始值在极小值点左侧的时候-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%if g<0step=10;x1=x0+step;if f(x1)<=f(x0)step=2*step;x2=x1+step;while f(x1)>f(x2)x0=x1;x1=x2;step=2*step;x2=x1+step;endelsestep=0.5*step;x2=x1-step;while f(x0)>f(x2)x0=x0+0.5*step;x2=x2+step;endenda=x0;b=x2;disp(['f(x)极小值点所在区间为（',num2str(a),',',num2str(b),')']);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%当极小值点在初始点右侧时%%%%%%%%%%%if g>0step=6;x1=x0-step;%以下方法仅仅适用于初始值在极小值点右侧的时候if f(x1)<=f(x0)step=2*step;x2=x1-step;while f(x1)>f(x2)x0=x1;x1=x2;step=2*step;x2=x1-step;endstep=0.5*step;x2=x1+step;while f(x0)>f(x2)x0=x0-0.5*step;x2=x2-step;endenda=x2;b=x0;disp(['f(x)极小值点所在区间为（',num2str(a),',',num2str(b),')']);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%----------当极小值点就是初始点时---------------%%%%%%%%%%%if g==0xm=x0;fm=f(x0);disp(['使用黄金分割法可得到f(x)在xm=',num2str(xm),'处取最小值fm=',num2str(fm)]);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-----黄金分割法求极值-------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%e=10^(-6);x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);while abs(b-a)>eif f1<f2b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);else if f1==f2a=x1;b=x2;x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);x1=a+0.382*(b-a);f1=f(x1);elsea=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);endendxm=0.5*(b+a);fm=f(xm);disp(['使用黄金分割法可得到f(x)在xm=',num2str(xm),'处取最小值fm=',num2str(fm)]);自定义函数程序为：function y=f(x)y=3*x^2+2*x+5;%y=10*x^2+15*x+7;运行结果为：f(x)极小值点所在区间为（-8,10)使用黄金分割法可得到f(x)在xm=-0.33334处取最小值fm=4.6667。
黄金分割法
黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，它是一种基于区间收缩的极小值点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小值点包含于搜索区间内，但是具体是哪个点，无法得知。
1. 算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小值点包含于搜索区间内，那么可以不断地缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小值点。
[]a,b 为搜索区间，黄金分割法首先根据黄金比例产生两个内点12,x x 。
120.382*()0.618*()x a b a x a b a =+-=+-然后根据()1f x ，()2f x 的大小关系来重新选择搜索区间。
（1） 若()()12f x f x <，则搜索区间变为1[,]x b ；（2） 若()()12f x f x >，则搜索区间变为2[,]a x 。
2. 算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1） 选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2） 若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k ff λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3） 置 11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （4） 置11111110.382*()k k k k k kk k k k a a b a b a μμλλ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5） （5） 令1k k =+，转步骤（2）。
3. 算法的MATLAB 实现在MATLAB 中编程实现黄金分割法的函数为：min HJ 。
功能：用黄金分割法求解一维函数的极值。
调用格式：[,min ]min (,,,)x f HJ f a b eps =其中，f ：为目标函数；a ：极值区间的左端点；b ：极值区间的右端点；e p s ：精度；x ：目标函数取最小值时的自变量值；m i n f ：目标函数的最小值。
机械优化设计期末复习题及答案
机械优化设计期末复习题及答案一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
最优化方法
经过有限次迭代后(在 matlab 可见全部迭代结果)满足要求的结果为： f ������ ∗ = −1.00000047499302 。 采用解析法可求得其精确解为： ������ ∗ = −1， f ������ ∗ = −1，可见通过有限次迭代后可求得精度相当高的数值解，而且收 敛速度也很快。 因此在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法就是黄金 分割法。
������1 ← ������ − ������ ������ − ������ ������1 ← ������ ������1
Y
������ − ������ ������2 − 1 < ������和 < ������ ? ������ ������2
N
������∗ ←
1 ������ + ������ 2
对函数f ������ = ������ 2 + 2������,在给定的搜索区间−3 ≤ x ≤ 5上，试用黄金分 割法求极小值点������ ∗ 。如图 2。
四、 算法描述：
黄金分割法的搜索过程是： 1） 2） 给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将μ赋以 0.618。 按坐标点计算公式������1 = b − μ ������ − ������ , ������2 = ������ − μ ������ − ������ , 计算������1 和 ������2 ，并计算其对应的函数值f(������1 ), f ������2 。 3） 跟区间消去法原理缩短搜索区间。 为了能用原来的坐标点计算公式， 需要进行区间名称的代换， 并在保留区间中计算一个新的试验点及 其函数值。 4） 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近， 如果条件不满 足则返回到步骤 2。 5） 如果条件满足， 则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似 解。