2020届河南省焦作市高三年级第一次模拟数学文科试题
河南省焦作市2021-2022学年高三第一次模拟考试文科数学试题及答案
绝密★启用前★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2A =，{}22,Z B x x x =-<<∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．已知复数z 满足2i 13i z =+，则z 的虚部为（ ） A ．32B ．12C ．12-D ．32-3．已知命题p ：N*x ∃∈，lg 0x <，q ：R x ∀∈，cos 1x ≤，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（ ） A ．20B ．25C ．40D ．505．设函数()23x xf x =+的零点为0x ，则0x ∈（ ） A ．()4,2--B ．()2,1--C ．()1,2D ．()2,46．设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（ ） A ．2633B ．23C ．1322D ．13117．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为坐标原点，若AF ，FO ，OB 成等比数列，则C 的离心率为（ ）ABCD8．已知函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，则使得()01f x <<的x 的取值范围是（ ）A ．9,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．90,11⎛⎫⎪⎝⎭C ．9,011⎛⎫-⎪⎝⎭D ．99,0,11111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．21-B ．22-C ．322-D ．642-10．已知函数()()32,02a f x x x bx ab =-++>的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（ ） A ．49 B ．94 C ．1681 D ．811611．已知数列{}n a 的前n 项和()()11N*2nn n n S a n =-+∈，则100S =（ ）A ．10012-B ．0C ．10012D ．1011212．如图，在正四面体ABCD 中，E 是棱AC 的中点，F 在棱BD 上，且4BD FD =，则异面直线EF 与AB所成的角的余弦值为（ ）A 3B 2C ．12D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),1a x =-，()0,5b =，若()2a a b ⊥+，则x =______．14．写出一个离心率与双曲线22:13y C x -=的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______． 15．已知,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，且4cos tan 32παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭α=______． 16．已知三棱锥P ABC -的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且32PA =5PB PC ==，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 某校举办歌唱比赛，A G 七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委 ABCDEFG选手甲 91 94 96 92 93 97 95选手乙929590969491a（Ⅰ）若甲和乙所得的平均分相等，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率； （Ⅲ）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a 的值（直接写出结果，不必说明理由）． 18．（12分）在锐角ABC △中，60B =︒，3AB =，7AC =．（Ⅰ）求ABC △的面积；（Ⅱ）延长边BC 到D ，使得4BD BC =，求sin ADB ∠． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AD ==，120BAD ∠=︒，平行四边形ABCD 的面积为43，设E 是侧棱PC 上一动点．（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）当E 是棱PC 的中点时，求点C 到平面ABE 的距离． 20．（12分）已知函数()()e ln 1xf x k x =-+，R k ∈．（Ⅰ）若12x =是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：当()0,e k ∈时，()0f x >． 21．（12分）已知抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线Γ于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,2x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O 的极坐标方程为()282cos sin ρρθθ-=+． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆O 的直角坐标方程； （Ⅱ）当,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()()3621R f x x x m m =-++-∈． （Ⅰ）当2m =时，解不等式()12f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()10f x x ++≤无解，求m 的取值范围．★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案 C 命题意图 本题考查集合的表示与运算．解析因为{}1,0,1B =-，{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-．2．答案 C 命题意图 本题考查复数的概念和计算．解析由已知得()213i i 13i 3i 31i 2i 2i 222z ++-+====--，所以z 的虚部为12-． 3．答案 B 命题意图 本题考查简单的逻辑联结词以及命题的真假判断．解析因为N*x ∀∈，lg 0x ≥，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题．因为R x ∀∈，cos 1x ≤成立，所以命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题． 4．答案 A 命题意图本题考查分层抽样的概念和有关计算．解析 应抽取博士生的人数为200180201200400200⨯=++．5．答案 B 命题意图 本题考查函数的零点判定定理．解析易知()f x 在R 上单调递增．()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．6．答案 A 命题意图 本题考查等差数列的性质．解析由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；139********b b b b b b +++=+=，所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()1137131********a a a S +⨯===，()111611*********b b b T +⨯===，因此，13112633S T =．7．答案 D 命题意图 本题考查椭圆的性质．解析设(),0F c -，则AF a c =-，FO c =，OB a =，根据题意可得()2a a c c -=，整理可得210e e +-=，解得e =． 8．答案 C 命题意图 本题考查函数的单调性与奇偶性的应用．解析令()()0lg 20f a =+=，得1a =-，所以()21lg 1lg 11x f x x x -⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，定义域为()1,1-，因为11xy x-=+在()1,1-上单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，又()00f =，9111f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以使得()01f x <<的x 的取值范围是9,011⎛⎫- ⎪⎝⎭．9．答案 D 命题意图 本题考查几何概型的概念与相关计算．解析设大圆的半径为R ，则等腰直角三角形的边长分别为2R，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，则()11222R r +=，解得)1r R =，则阴影部分的面积为()()222122212322S r R R πππ⎡⎤=⨯=⨯-=-⎣⎦，大圆的面积为22S R π=，则该点取自阴影部分的概率为()122322642S P S ==-=-． 10．答案 D命题意图 本题考查导数的计算与应用．解析对()322a f x x x bx =-++求导得()23f x x ax b '=-++，因为函数()f x 的一个极值点为1，所以()130f a b '=-++=，所以3a b +=，又,0a b >，于是得2239224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32a b ==时取“=”，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116． 11．答案 B命题意图 本题考查数列的递推关系与数列求和．解析由题意知10210210212S a =+，所以10210210110212S a S -==，又10110110112S a =-+，所以10110212a =，故1001011010S S a =-=． 12．答案 C命题意图 本题考查空间几何体的结构，异面直线所成的角的计算．解析设G 为棱AD 上与点D 最近的一个四等分点，连接EG ，FG ，AF ，CF ，则GF AB ∥，所以异面直线EF 与AB 所成角即为EFG ∠（或其补角）．不妨设正四面体ABCD 的棱长为4，则114GF AB ==．在ADF △中，4AD =，1DF =，60ADF ∠=︒，由余弦定理得222411cos 602412AF +-︒==⨯⨯，解得13AF =，同理，13CF =．在等腰三角形ACF 中，()221323EF =-=．在AEG △中，2AE =，3AG =，60EAG ∠=︒，由余弦定理得cos60︒=2222312232EG +-=⨯⨯，解得7EC =．在EFG △中，由余弦定理得()2221371cos 2132EFG +-∠==⨯⨯．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案 3±命题意图本题考查平面向量的坐标运算．解析因为()()()2,120,5,9a b x x +=-+=，且()2a a b ⊥+，所以()()()2,1,90a a b x x ⋅+=-⋅=，解得3x =±． 14．答案 22143x y +=（答案不唯一） 命题意图 本题考查双曲线与椭圆的性质．解析双曲线22:13y C x -=的离心率为1321e +==，则椭圆的离心率为12e '=，所以椭圆的标准方程可以为22143x y +=． 15．答案 518π命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．解析cos 4cos sin cos 2sin 2cos 4cos tan 4cos 32sin sin sin παααααααααααα--⎛⎫--=-=== ⎪⎝⎭，所以2sin 23sin cos 2sin 6παααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52,6123πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则26παα=+或26πααπ++=，得6πα=（舍去）或518πα=． 16．答案 34π命题意图 本题考查多面体与球的关系以及有关计算．解析根据题意，三棱锥P ABC -可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则22218a b PA +==，22225a c PB +==，22225b c PC +==，解得3a =，3b =，4c =．所以该三棱锥的外接球的半径为22222233434222a b c R ++++===，所以该三棱锥的外接球的表面积为223444342S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图 本题考查平均数与方差的概念与计算，概率的性质．解析（Ⅰ）由题意得()()119194969293979592959096949177a ++++++=++++++， 解得100a =．（Ⅱ）七名评委中，有C ，F 两名评委对甲的打分高于对乙的打分，所以所求概率为27． （Ⅲ）a 的值可以为93． 18．命题意图 本题考查解三角形，正弦定理和余弦定理的应用．解析（Ⅰ）设BC x =．由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =．当1x =时，222BC AC AB +<，此时ABC △是钝角三角形，不符合条件．当2x =时，符合条件，1sin 22ABC S AB BC B =⋅=△． （Ⅱ）根据题意48BD BC ==，由余弦定理得2222cos 49AD AB BD AB BD B =+-⋅=，所以7AD =．由正弦定理知sin sin AD ABB ADB =∠3sin ADB=∠，解得sin 14ADB ∠=． 19．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明，以及点到平面的距离计算．解析（Ⅰ）平行四边形ABCD 的面积为4AD =，120BAD ∠=︒，所以4sin120AB ⨯⨯︒=2AB =．在ACD △中，由4AD =，2CD =，180********ADC BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，得2222cos60164812AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=+-=，AC =所以22212416AC CD AD +=+==，即AC CD ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又PA AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥．（Ⅱ）当E 是PC 的中点时，AE 是PAC △的中线，在Rt PAC △中，12AE PC === 因为CD AE ⊥，CD AB ∥，所以AB AE ⊥．设点C 到平面ABE 的距离为h ．由E ABC C ABE V V --=三棱锥三棱锥，得1111132232AB AC PA AB AE h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即1111124232232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得7h =． 20．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）由题意得()e x kf x x'=-，0x >， 因为12x =是()f x的极值点，所以1202f k ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以2k =．所以()1e f '=-()1e f =-， 所以曲线()y f x =在()()1,1f处的切线方程为e 2y x ⎛=- ⎝⎭． （Ⅱ）因为()0,e k ∈，所以11,e k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()e e ln 1ln 1e x x f x x x k k =-->--， 设()e ln 1e x g x x =--，则()e 1e x g x x'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()()10g x g ≥=，所以()0f x k>，即()0f x >． 21．命题意图 本题考查双曲线和抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．解析（Ⅰ）双曲线方程22221y x -=化为标准方程是2211122y x -=，其焦点坐标为()0,1，()0,1-， 因为抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合， 所以()0,1F ，12p=，2p =，故抛物线Γ的方程为24x y =． （Ⅱ）设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2440x kx --=，设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124x x k +=，124x x ⋅=-，直线()2111:4x AB y x x k -=--，所以点2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k --=⋅-=+- ()()()22221212811118124k x x x x k k k kk++=+-=+⋅+=，由抛物线的对称性，只需考虑0k >的情形，则()22381182k S k k kk +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以()()2222283111832k k S k k k -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令0S '=，得k =0k <<时，0S '<，当k >0S '>，所以当k =ABCD ． 22．命题意图 本题考查方程的互化以及有关计算．解析（Ⅰ）由,2,x t y t =-⎧⎨=-⎩得2y x =+，即直线l 的普通方程是20x y -+=．由()282cos sin ρρθθ-=+，代入cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得22822x y x y +-=+，即圆O 的直角坐标方程为222280x y x y +---=．（Ⅱ）由222280,20,x y x y x y ⎧+---=⎨-+=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩或2,4,x y =⎧⎨=⎩因为,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,4x y =⎧⎨=⎩舍去，所以2,0,x y =-⎧⎨=⎩ 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为()2,π． 23．命题意图 本题考查含绝对值不等式的解法以及性质．解析（Ⅰ）当2m =时，()12f x >即为3621212x x -++->，①当1x <-时，不等式可化为()()3621212x x ---+->，解得2x <-；②当12x -≤≤时，不等式可化为()()3621212x x --++->，解得6x <-，舍去；③当2x >时，不等式可化为()()3621212x x -++->，解得185x >． 综上，()12f x >的解集为()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）不等式()10f x x ++≤无解，即3631x x m -++≤无解， 所以()min 3631m x x <-++， 因为()()3631363336339x x x x x x -++=-++≥--+=， 所以9m <，即m 的取值范围是(),9-∞．。
2020年河南省焦作市城关中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年河南省焦作市城关中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：D由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的，又，∴,，∴,当时，便退出循环，∴输出。
2. 已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．无穷个参考答案：C3. 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B． +C．7+D．6参考答案：D 【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．4. （5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． 12+ B． 12+ C． 4+ D． 4+参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作直观图，从而求各部分的体积，再求和．解：由题意作直观图如下，其上方为半球V1=××π×23=π；其下方为长方体V2=2×2×3=12；故该几何体的体积为12+π；故选B．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图用图的能力，属于基础题．5. 若函数，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有恒成立，此时T为的假周期，函数是M上的a级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当函数，若，使成立，则实数m的取值范围是（）A．B．(－∞,12] C．(－∞,39]D．[12,+∞)参考答案：B根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的3级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=33?f（x﹣6），则有﹣≤f（x）≤，则f（8）=27 f（2）=27 f（0）=，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为，最小值为﹣；对于函数，有g′（x）=分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值g（1）=+m，若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤，得到m范围为.故答案为：B.6. 在直角中，，，为直线上的点，且，若，则的最大值是（）A．B． C. 1 D．参考答案：A解析：因，故由可得，即，也即，解之得，由于点，所以，应选答案A。
2019-2020学年河南省焦作市高三(上)第一次模拟数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年河南省焦作市高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|7−2x<5}，B={x|3x−x2≥0}，则A∪B=()A. [0,3]B. (1,3]C. [0,+∞)D. (1,+∞)2.已知i是虚数单位，复数z=2i1−i，在复平面内其共轭复数z对应的点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)3.函数y=sinxcosx的最小正周期是()A. π2B. π C. 3π2D. 2π4.已知不重合的平面α、β和不重合的直线a、b，下列说法正确的是()A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α//βC. 若a⊥α，b⊥β，且a//b，则α//βD. 若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b5.函数在区间上是增函数，则a的取值范围是()A. B. (−4,4] C. D. (−4,2]6.已知命题p：sinx+4sinx≥4，命题q：“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是()A. p∧qB. p∨(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.若函数f(x)=ax−3在R上单调递增，则a的取值范围为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. [1,+∞)D.(−∞,1]9.由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为()A. 594B. 546C. 592D. 64410. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bc cosC +ba cosA =1，则cos B 的最小值为( )A. √33B. 13C. √22D. 1211. 已知三棱锥A −BCD 四个顶点都在半径为3的球面上，且BC 过球心，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，则三棱锥A −BCD 的表面积为( )A. 18+6√3B. 18+8√3C. 18+9√3D. 18+10√312. 函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，AB =3，AC =5，若O 为△ABC 的外心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 14. 若函数f(x)是R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +x +a ，则f(−2)=____． 15. 正实数x,y 满足2x +y −3=0，则4y−x+6xy的最小值为_________．16. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，若b n =log 2a n ，则1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b n b n+1=___________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n −2+n ，求数列{b n }的前10项和．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2bc=2sinB−sinAsinC．(1)求角C 的值；(2)若a +b =4，当边c 取最小值时，求△ABC 的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．kx2．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+12(1)当k=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处切线方程；(2)求f(x)的单调区间．21.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=π4，cos∠C=35．(Ⅰ)求sin∠ADB的值；(Ⅱ)若BD=2DC=5，求△ABD的面积．22.已知函数f(x)=lnx+ax2(a∈R)．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与x轴平行，求f(x)的极值；(2)若函数g(x)=f(x)−x−1在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|0≤x≤3}；∴A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算，一元二次不等式的解法．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的运算，考查共轭复数及复数的几何意义，属于基础题．化简可得z=−1+i，得到共轭复数z−=−1−i，即可得到答案．【解答】解：z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，则z−=−1−i，所以z−在复平面内对应的点为(−1,−1)．故选C．3.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的周期性，由二倍角公式化简已知函数解析式，由周期公式可得答案．【解答】解：y=sinxcosx=12sin2x，故最小正周期T=2π2=π．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力是中档题．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的性质定理得α//β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若a//α，b//β，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，b⊥β，且a//b，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；在D中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．5.答案：B解析：【分析】本题考查复合函数的单调性的判断，二次函数的单调性及对数函数的性质，属于中档题．根据复合函数的单调性“同增异减”，转化为g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且恒大于0，列出不等式求解即可．【解答】解：函数在上是增函数，即g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且均大于0，即g(2)>0且a2≤2，即{22−2a+3a>0a2≤2,解得−4<a≤4，则a的取值范围是(−4,4]．故选B．6.答案：C解析：解：命题p：sinx+4sinx≥4，sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−11=a+3−1，解得a=−1．∴“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是(￢p)∧q．故选：C．命题p：sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−1 1=a+3−1，解得a，即可判断出真假．本题考查了三角函数的单调性、直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查推理能力，属于基础题．利用一次函数的性质即可求解．【解答】解：因为f(x)=ax−3在R上递增，所以a>0，故选B．9.答案：A解析：本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．先观察再进行归纳推理得：第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46=594，得解．【解答】解：由图可知，第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，第21行第4列的数为462+42+44+46=594，故选：A．10.答案：D解析：解：∵bc cosC+bacosA=1，∴由余弦定理可得：bc ⋅a2+b2−c22ab+ba⋅b2+c2−a22bc=1，整理可得：b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac≥2ac−ac2ac=12，当且仅当a=c时等号成立，即cos B的最小值为12．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，利用余弦定理，基本不等式可求cos B的最小值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的外接球，几何体的体积与几何体的位置关系的判断，表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．判断几何体的体积最大时的位置，然后求解三棱锥的表面积．【解答】解：因为三棱锥A−BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，所以BC是球的直径，D在以球心为直径的大圆面上，当三角形DBC是等腰直角三角形时，底面积最大，当A与球心的连线与BCD平面垂直时，三棱锥A−BCD的高最大，则此时几何体的体积最大，此时OA为该三棱锥的高；此时OA =OB =OD =OC =3，AB =AD =AC =3√2，BD =DC =3√2， 则三棱锥的表面积为：2×12×6×3+2×√34×(3√2)2=18+9√3．故选：C ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则△>0，解得答案． 【解答】解：若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则方程x 2+ax +1=0有两个不同的根， 则△=a 2−4>0，解得：a >2或a <−2． 故选D ．13.答案：8解析：解：过O 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC 垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AT ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3×32+5×52=8 故答案为：8作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．14.答案：−5解析： 【分析】本题考查了奇函数的性质及已知函数解析式求值问题，属于基础题.解题时利用奇函数的性质求出a ，再求出f(−2)即可．【解答】解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=20+0+a=0，即a=−1，所以f(−2)=−f(2)=−(22+2−1)=−5．故答案为−5．15.答案：9解析：【分析】本题考查基本不等式，属于中档题．正实数x，y满足2x+y−3=0，可得4y−x+6xy =3(1y+2x)，利用“1”的用法即可得解．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y−3=0，∴4x+2y=6，则4y−x+6xy=4y−x+4x+2yxy=3(1y+2x)=(2x+y)(1y+2x)=5+2xy+2yx≥5+2√2xy·2yx=9，当且仅当x=y=1时取等号．∴4y−x+6xy的最小值为9．故答案为9．16.答案：nn+1解析：【分析】本题考查了数列推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对n∈N∗都有S n=1−a n，n=1时，a1=1−a1，解得a1.n≥2时，a n=S n−S n−1.利用等比数列的通项公式可得a n .b n =log 2a n =−n.可得1b n b n+1=1n−1n+1．【解答】解：对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，n =1时，a 1=1−a 1，解得a 1=12． n ≥2时，a n =S n −S n−1=1−a n −(1−a n−1)，化为：a n =12a n−1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12． a n =(12)n ．∴b n =log 2a n =−n ． ∴1b n b n+1=1−n(−n−1)=1n −1n+1．则1b1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．故答案为nn+1．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=4，a 4+a 7=15，得a 1+d =4，(a 1+3d)+(a 1+6d)=15， 解得a 1=3，d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =3+n −1=n +2； (2)由(1)可得b n =2a n −2+n =2n +n ， 所以b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+⋯+(210+10) =(2+22+23+⋯+210)+(1+2+3+⋯+10) =2×(1−210)1−2+(1+10)×102 =(211−2)+55 =211+53=2101．解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；(2)求得b n =2a n −2=2n +n ，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．18.答案：解：(1)由条件和正弦定理可得b 2+c 2−a 2bc=2b−a c，即b 2+c 2−a 2b =2b −a ，整理得b 2+a 2−c 2=ab 从而由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ab=ab2ab =12．又∵C是三角形的内角，∴C=π3．(2)由余弦定理得c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=16−3ab，∵4=a+b≥2√ab，∴√ab≤2，ab≤4，则−ab≥−4，即c2=16−3ab≥16−12=4，当且仅当a=b=2时等号成立．∴c的最小值为2，故S△ABC=12absinC=12×4×√32=√3．解析：(1)由余弦定理和正弦定理进行化简即可(2)结合余弦定理以及基本不等式求出c的最小值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理和余弦定理进行转化是解决本题的关键．19.答案：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为PC的中点，从而EH//PA，因为HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE；(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，由(Ⅰ)知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，从而AC⊥平面PBD：(Ⅲ)解：在△BCD中，DC=1，DB=2√2，∠BDC=45°得BC2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC=√5．在Rt△PDC中，PC=BC=√5，DC=1，从而PD=2，则S ABCD=2S△BCD，故四棱锥P−ABCD的体积V P−ABCD=13S ABCD×PD=43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC∩BD=H，连接EH，说明H为AC的中点，证明EH//PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD⊥AC，然后证明AC⊥平面PBD：(Ⅲ)求出S ABCD，然后求四棱锥P−ABCD的体积．20.答案：解：(1)k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2，f′(x)=11+x−1+2x，由于f(1)=ln2，f′(1)=32，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=32(x−1)，即3x−2y+2ln2−3=0；(2)f′(x)=x(kx+k−1)1+x，x∈(−1,+∞)，当k<0时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−∞,−1)舍去；因此，在区间(−1,0)上，f′(x)>0，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f′(x)=−x1+x，因此在区间(−1,0)上，f′(x)>0；在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；所以f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk>0；因此，在区间(−1,0)和(1−kk ,+∞)上，f′(x)>0；在区间(0,1−kk)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f′(x)=x21+x，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−1,0)；因此，在区间(−1,1−kk )和(0,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk,0)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)；综上所述，当k<0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于较难题．(1)求导数，确定切线的斜率，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求导，分类讨论，利用导数的正负，可得f(x)的单调区间．21.答案：解：(I)在△ABC 中，∵cosC =35，∴sinC =45．∴sin∠ADC =sin(C +∠CAD)=sinCcos∠CAD +cosCsin∠CAD =45×√22+35×√22=7√210． ∵∠ADB +∠ADC =π， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =7√210． (II)在△ACD 中，由正弦定理得CDsin∠CAD =ADsinC ， ∴52√22=AD45，解得AD =2√2．∴S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =12×5×2√2×7√210=7．解析：(I)求出sin C ，则sin∠ADB =sin∠ADC =sin(C +∠CAD)；(II)在△ACD 中使用正弦定理计算AD ，代入三角形的面积公式S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB 即可． 本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．22.答案：解：，∴f′(x)=1x +2ax(x >0)，由条件可得f′(2)=12+4a =0，解得a =−18，，f′(x)=1x −14x =−(x−2)(x+2)4x(x >0)，令f′(x)=0可得x =2或x =−2(舍去)，当0<x <2时，f′(x)>0；当x >2时，f′(x)<0， 即f(x)在(0,2)上单调递增，在上单调递减，故f(x)有极大值，无极小值；(2)由题意知，则g′(x)=1x+2ax −1=2ax 2−x+1x(x >0)，设ℎ(x)=2ax 2−x +1， ①当a =0时，g′(x)=−x−1x，当0<x <1时，g′(x)>0，当x >1时，g′(x)<0， 即g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，不满足条件；②当a <0时，ℎ(x)=2ax 2−x +1是开口向下的抛物线， 方程2ax 2−x +1=0有两个实根，设较大实根为x 0． 当x >x 0时，有ℎ(x)<0，即g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减，故不符合条件；③当a >0时，由g′(x)⩾0可得ℎ(x)=2ax 2−x +1在上恒成立，故只需或，即{1⩾0 14a⩽01−8a>0 a>0，或{1−8a⩽0a>0，解得a⩾18．综上可知，实数a的取值范围是．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、单调性，注意分类讨论思想的应用．(1)对函数f(x)求导，依条件得a=−18，再根据单调性分析即可得出f(x)有极大值，无极小值；(2)对函数g(x)求导，再对a的取值分类讨论，进行分析即可．。
2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)
又在菱形 中， ，
∴ .
（2）设 与 交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨设 ，
则 ， .
， .
由（1）知 ，
∵平面 平面 ，
∴ 平面 .
则 ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
∵ ，∴ ，
取 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
∵ ，∴ ，
取 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，选B.
3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高 （体重单位为 ，身高单位为 ）.其判定标准如下表：
BMI
18.5以下
18.5～23.9
24～29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标
某小学生的身高为 ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( )
9．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列说法正确的个数为( )
① ；② 的一个周期为8；③ 图象的一个对称中心为 ；④ 图象的一条对称轴为 .
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据 是偶函数， 是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.
【答案】
【解析】根据等比数列基本量的计算，求得 和 ，结合函数 ， 的图像，夹逼出不等式，解不等式即可.
【详解】
由题意可知 且 ，
解得 ，所以 ， .
由 ，得 .
结合函数 ， 的图像如下图所示：
若原不等式的解集中有6个正整数，
则 ，
解得 ，
2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省焦作市第二十中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析
河南省焦作市第二十中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，若，则直线：与圆：的位置关系是（）A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离参考答案：C2. 如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为参考答案：答案：D解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B 正确；根据对称性知C正确。
选D3. 在递增等比数列{a n}中，，则公比＝A．-1 B．1 C．2 D．参考答案：C略4. 函数的定义域是(A). (B). (C). (D) .参考答案：C略5. 已知x的取值范围是[0，8]，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．6. 已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于(A)4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：C 【解析】本小题主要考查等差数列的性质。
由得：，故选C。
7. 以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则等于( )A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}参考答案：A9. 将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为A．B．C．1 D．参考答案：A10. 下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；简易逻辑．【分析】由若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则P且q真假不确定，即可判断A；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断C；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断D．【解答】解：对于A．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q的真假不定，则A错误；对于B．若a＞0，b＞0，则+≥2=2，当且仅当a=b取得等号，反之，若+≥2即为≥0，即≥0，即有ab＞0，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，则B错误；对于C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，则C错误；对于D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则D正确．故选D．【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要考查复合命题的真假、充分必要条件的判断和四种命题及命题的否定形式，属于基础题和易错题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．参考答案：试题分析：由，解得：，所以函数的定义域是．考点：函数的定义域．12. 设变量x，y满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：913. 已知函数．若存在，使得，则实数b 的取值范围是____．参考答案：∵f(x)=e x(x?b)，∴f′(x)=e x(x?b+1)，若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，则若存在x∈[,2],使得e x(x?b)+xe x(x?b+1)>0，即存在x∈[,2],使得b<成立，令，则，g(x)在递增，∴g(x)最大值=g(2)=，则实数的取值范围是14. 在中，，则的最大值为。
河南省焦作市2021届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题
别与直线 OP 和 OB 交于点 M 和 N（O 为坐标原点），求证：｜AM｜＝｜MN｜．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
1
而一，即 V＝ （2AB＋EF）×AD×h，其中 h 是刍甍的高，即点 F 到平面 ABCD 的距
6
离．若底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF＝2，且 EF∥平面 AB—CD，△ADE 和 △BCF 是等腰三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，则 该刍甍的体积为
20 2
A．
3
20 3
B．
3
C．10 3
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 T 的值为
1
A．
2
50
B．
99
D． 4 3
100
C．99D．1源自10．在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出
的分数都是两位的正整数，且十位数字都是 5，则两位老师
焦作市普通高中 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试
文科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
2020河南省焦作市高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2532．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A ．3B ．3C ．1D ．53．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -6．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -7．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-9．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+10．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间 B ．3阶区间 C ．4阶区间 D ．5阶区间11．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．40012．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)
2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|-1≤x≤5}，B={x|x2-2x＞3}，则 A∩B=（A. {x|3＜x≤5}B. |x|-1≤x≤5|C. {x|x＜-1 或 x＞3}D. R2. 已知复数 z 满足 i（3+z）=1+i，则 z 的虚部为（ ）A. -iB. iC. -1）D. 13. 已知函数，若 f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（ ）A.B.C. a2＜abD. ln（a2+1）＞ln（b2+1）4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A. 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为B. 12 个月的 PMI 值的平均值低于 50% C. 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4% D. 12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%5. 已知函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数的图象，则 φ 的最小值为（ ）A.B.C.D.6. 已知数列{an}满足 an+1-an=2，且 a1，a3，a4 成等比数列．若{an}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn 的最小值为（ ）第 1 页，共 14 页A. -10B. -14C. -187. 已知 cos（2019π+α）=- ，则 sin（ -2α）=（ ）D. -20A.B.C. -D.8. 已知双曲线的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. S＞-1？B. S＜0？C. S＜-1？D. S＞0？10. 过抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知函数 f（x）=x3-ax-1，以下结论正确的个数为（ ）①当 a=0 时，函数 f（x）的图象的对称中心为（0，-1）；②当 a≥3 时，函数 f（x）在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数 f（x）在（-1，1）上不单调，则 0＜a＜3；④当 a=12 时，f（x）在[-4，5]上的最大值为 15．A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知四棱锥 E-ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，ED=1，平面 ECD⊥平面ABCD，当点 C 到平面 ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 =（1，1），| |= ，（2 + ）• =2，则| - |=______．14. 为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的 拔河比赛．每两班之间只比赛 1 场，目前（一）班已赛了 4 场，（二）班已赛了 3 场，（三）班已赛了 2 场，（四）班已赛了 1 场．则目前（五）班已经参加比赛的 场次为______．15. 将底面直径为 4，高为 的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大 值为______．16. 如图，已知圆内接四边形 ABCD，其中 AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则=______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列{an}的各项都为正数，a1=2，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[lg（log2an）]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1， 求数列{bn}的前 2020 项和．18. 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为 AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC1∥平面 B1CE； （Ⅱ）求斜三棱柱 ABC-A1B1C1 截去三棱锥 B1--CBE 后剩 余部分的体积．19. 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天 种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新 奇水果的箱数 x（单位：十箱）与成本 y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y 与 x 可用回归方程（其中 ， 为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱 的利润是多少元．|． （Ⅱ）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数 的频率分布直方图如图． （i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在第 3 页，共 14 页[80，120）内的概率； （ⅱ）求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用 该组区间的中点值作代表） 参考数据与公式：设 t=lgx，则0.546.81.530.45线性回归直线中，，．20. 已知椭圆的左，右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|=2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF1F2 的面积的最大值为 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）若 A（a，0），B（0，b），四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB∥CD，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值．21. 已知直线 y=x-1 是曲线 f（x）=alnx 的切线． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）若 t≤3-4ln2，证明：对于任意 m＞0， 个零点．第 4 页，共 14 页有且仅有一22. 以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ，P 是 C1 上一动点，，Q 的轨迹为 C2．（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点 M（0，1），直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l与曲线 C2 的交点为 A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线 l 的普通方程．23.已知 a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c 恒成立． （Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：．2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. C8. A9. B10. C 11. C 12. B13. 314. 215.16.17. 解：（I）由题意，且，即-an+1an-2 =0，整理，得（an+1+an）（an+1-2an）=0． ∵数列{an}的各项都为正数， ∴an+1-2an=0，即 an+1=2an． ∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，第 5 页，共 14 页∴an=2n． （Ⅱ）由（I）知，bn=[lg（log2an）]=[lg（log22n）]=[lgn]，故 bn=，n∈N*．∴数列{bn}的前 2020 项的和为 1×90+2×900+3×1021=4953．18. 解：（Ⅰ）如图，连接 BC1，交 B1C 于点 M，连接 ME，则 ME∥AC1．因为 AC1⊄平面 B1CE，ME⊂平面 B1CE，所以 AC1∥平面 B1CE．（Ⅱ）因为 B1C1 平面 ABC， 所以点 B1 到平面 ABC 的距离等于点 C1 到平面 ABC 的距离． 如图，设 O 是 AC 的中点，连接 OC1，OB． 因为△ACC1 为正三角形，所以 OC1⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 A1ACC1，平面 ABC∩平面 A1ACC1=AC， 所以 OC1⊥平面 ABC． 所以点 C1 到平面 ABC 的距离 OC1= ，故三棱锥 B1-BCE 的体积为 V= S△BCE•OC1= × ×1× × = ，而斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V=S△ABC•OC1= AB•CE•OC1= ×2× × =3，所以剩余部分的体积为 3- = ．19. 解（Ⅰ）根据题意，=，，∴．又 t=lgx，∴．∴x=10 时，（千元），即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润 15000-8364=6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为．设这两天分别为 a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为，设这四天分别为 A，B，C，D． ∴随机抽取 2 天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC）， （BD），（Ba），（Bb），第 6 页，共 14 页（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共 15 种． 满足恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb）， （Ca），（Cb），（Da），（Db）共 8 种，所以估计恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：×（箱）．20. 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，△MF1F2 的面积取得最大值 ．所以，所以 a=2，b= ，故椭圆 E 的标准方程为．（Ⅱ）根据题意可知 A（2，0），B（0， ），kAB=-因为 AB∥CD，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去 y 可得 6x2-4+4m2-12=0，所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，所以 k1k2=•，=，=，==．故 k1k2 为定值．21. 解：（Ⅰ）根据题意，f′（x）= ，设直线 y=x-1 与曲线相切于点 P（x0，y0）根据题意，可得，解之得 x0=a=1，因此 f（x）=lnx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 h（x）=mx- +lnx+t（x＞0）， 则当 x→0 时，h（x）＜0，当 x→+∞时，h（x）＞0， 所以 h（x）至少有一个零点．第 7 页，共 14 页h′（x）= +m=m- +（ - ）2①m≥ ，则 h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）有唯一零点．②若 0＜m＜ ，令 h′（x）=0 得 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），所以 ＞ ，即 0＜x1＜16． 可知 h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递 增．所以极大值为 h（x1）=mx1- +lnx1+t=（ - ）x1- +lnx1+t=- -1+lnx1+t，又 h′（x1）=- + = ＞0，所以 h（x1）在（0，16）上单调递增， 则 h（x1）＜h（16）=ln16-3+t≤ln16-3+3-4ln2=0，所以 h（x）有唯一零点． 综上可知，对于任意 m＞0 时，h（x）有且仅有一个零点．22. 解：（Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有 ρ= ρ0=2cosθ+4sinθ，故曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ， 故 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+4y，即（x-1）2+（y-2）2=5； （Ⅱ）设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，则|MA|=t1，|MB|=t2，设直线 l 的参数方程，（t 为参数），代入 C2 的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=5 中， 整理得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0． 由根与系数的关系得 t1+t2=2（cosα+sinα），t1t2=-3， 则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥2， 当且仅当 sin2α=-1 时，等号成立， 此时 l 的普通方程为 x+y-1=0．23. 证明：（Ⅰ）∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1，∴a+b+c≥1． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac， ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca， ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2≥1，∴．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2，即两边开平方得，同理可得，三式相加，得．第 8 页，共 14 页【解析】1. 解：由题意 B={x|x＜-1 或 x＞3}，所以 A∩B={x|3＜x≤5}， 故选：A． 求出集合 B，再求出即可． 本题考查一元二次不等式的解法集合的基本运算，基础题．2. 解∵i（3+z）=1+i，∴3+z=，∴z=-2-i，∴复数 z 的虚部为-1．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：易知 f（x）在 R 上单调递增，故 a＞b．因为 a，b 的符号无法判断，故 a2 与 b2，a2 与 ab 的大小不确定，所以 A，C，D 不一定正确；B 中正确．故选：B．易知 f（x）在 R 上单调递增，可得 a＞b，再逐项判断即可．本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．4. 解：从图中数据变化看，PMI 值不低于 50%的月份有 4 个，所以 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为 = ，所以 A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于 50%，所以 B 正确； 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%，所以 C 正确； 12 个月的 PMI 值的中位数为 49.6%，所以 D 错误． 故选：D． 根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可． 本题主要考查了统计图表的识别以及样本的数字特征问题，也考查了数形结合思想，是 基础题．5. 解：把函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数 y=sin（2x+2φ- ）的图象，即得到的图象，∴2φ- =2kπ+ ，k∈Z，∴φ 的最小值为 ，故选：A． 由题意利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6. 【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质及二次函数的单调性，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式、等比中项的性质，列方程求基本量，再求和结合二次函数性 质即可得出． 【解答】 解：根据题意，可知{an}为等差数列，公差 d=2．由 a1，a3，a4 成等比数列，可得=a1（a1+6），解得 a1=-8．第 9 页，共 14 页所以 Sn=-8n+=-．根据单调性，可知当 n=4 或 5 时，Sn 取到最小值，最小值为-20． 故选：D．7. 解：由 cos（2019π+α）=- ，可得 cos（π+α）=- ，∴cosα= ，∴sin（ -2α）=cos2α=2cos2α-1=2× -1=- ． 故选：C． 由已知利用诱导公式可得 cosα= ，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所 求即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题．8. 解：双曲线 C： =1，a＞0，b＞0 的右顶点为 A（a，0），右焦点为 A（c，0），M 所在直线为 x=a，不妨设 M（a，b）， ∴MF 的中点坐标为（ ， ）．代入方程可得 - =1，∴= ，∴e2+2e-4=0，∴e= -1（负值舍去）．故选：A． 由题意可得过右顶点的直线，又可得 M 的坐标，进而求出 MF 的中点的坐标，代入双 曲线方程，可得 a，c 的关系，进而求出离心率． 本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．9. 解：i=1，S=1．运行第一次，S=1+lg =1-lg3＞0，i=3，不成立；运行第二次，S=1+lg +lg =1-lg5＞0，i=5，不成立；运行第三次，S=1+lg +lg +lg =1-lg7＞0，i=7，不成立；运行第四次，S=1+lg +lg +lg +lg =1-lg9＞0，i=9，不成立；运行第五次，S=1+lg +lg +lg +lg +lg =1-lg11＜0，i=11，成立，输出 i 的值为 11，结束， 故选：B． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题主要考查循环结构的框图，属于基础题．第 10 页，共 14 页10. 解：显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率 为 k，则直线 AB 的方程为y=kx+ ，联立方程，消去 y得：x2-2pkx-p2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=2pk， ∴， 由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线 CD 的斜率为：- ，∴|CD|=2p（- ）2+2p=，∴，∴2p+2pk2=4+4k2， ∴p=2， ∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=-1， 设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|， 而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为 2+1=3，如图所示： ∴|PF|+|PQ|的最小值为 3， 故选：C．显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=kx+ ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，因为 AB⊥CD，所以直线CD 的斜率为：- ，所以|CD|=2p（- ）2+2p=，所以，解得 p=2，设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最 小值为 2+1=3． 本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．11. 解：①幂函数 y=x3 为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当 a=0 时，函数 f（x）=x3-1 的图象的对称中心为（0，-1），即①正确． ②由题意知，f'（x）=3x2-a． 当-1＜x＜1 时，3x2＜3， 又 a≥3，所以 f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立， 所以函数 f（x）在（-1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f'（x）=3x2-a， 当 a≤0 时，f'（x）≥0，此时 f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，不合题意，故 a＞0．第 11 页，共 14 页令 f'（x）=0，解得．因为 f（x）在（-1，1）上不单调，所以 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，所以，解得 0＜a＜3，即③正确．④令 f'（x）=3x2-12=0，得 x=±2． 当 x∈[-4，5]时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5）， 因为 f（-2）=15，f（5）=64，所以最大值为 64，即④错误． 故选：C． ①根据幂函数 y=x3 与 f（x）=x3-1 的图象变换即可判断正误； ②求导 f'（x）=3x2-a，当 a≥3 时，f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立； ③求导 f'（x）=3x2-a，首先判断 a≤0 不符合题意，其次讨论当 a＞0 时，若 f（x）在（-1， 1）上不单调，则 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，即可得解； ④当 a=12 时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5），然后比较 f（-2）和 f（5）的大小即可得解． 本题考查函数的性质及导数的应用，熟练运用导数解决函数的单调性、最值问题是解题 关键，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．12. 解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大， 可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B． 如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最 大．即可得出此时该四棱锥的体积． 本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 解：由题意可得，∴，解得，∴．故答案为：3．依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14. 解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了 2 场， 故答案为：2．第 12 页，共 14 页根据题意，画出图形，即可得到目前（五）班已经赛了 2 场． 本题主要考查逻辑推理，是基础题．15. 解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则 = ，解得 h= - r．故 S 侧=2πrh=2πr（ - r）= πr（2-r）≤ π=．当 r=1 时，S 侧的最大值为 ． 故答案为： ．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，由=，解得 h= - r．可得 S 侧=2πrh=2πr（ - r），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．16. 解：由圆内接四边形的性质可得∠C=π-∠A，∠D=π-∠B．连接 BD，在△ABD 中，有 BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA． 在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC， 所以，AB2+AD2-2AB•ADcosA=BC2+CD2+2BC•CDcosA，cosA===，所以 sinA===，连接 AC，同理可得 cosB===，所以 sinB===．所以==．结合圆内接四边形的性质及余弦可分别求解 cosA，cosB，然后结合同角平方关系可求 sinA，sinB，进而可求． 本题主要考查余弦定理，同角平方关系及圆内接四边形的性质的应用．17. 本题第（I）题对递推式进行转化，因式分解，根据题意可得数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题根据第（I）题的结果 写出数列{bn}的通项公式，然后根据[x]的特点转化为分段的通项公式，再求和即可得到 结果． 本题主要考查等比数列及数列的求和等相关基础知识．考查了方程思想，转化思想的应 用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18. （Ⅰ）运用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）运用线面垂直的判定定理和性质，以及棱锥的体积公式计算可得所求值． 本题主要考查线面平行线面垂直等线面位置关系以及几何体的体积．19. （Ⅰ）由已知求得 与 ，得到，结合 t=lgx，可得．取 x=10 时求得 y 值得答案．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数，设这两天分别 为 a，b，求出水果箱数在[80，120）内的天数，利用枚举法结合古典概型概率公式求恰第 13 页，共 14 页有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）直接由题意求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值． 本题主要考查线性回归方程、古典概型以及样本的平均值，考查计算能力，是中档题．20. （Ⅰ）由题意可得，解得 a，b，c，进而得椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 A（2，0），B（0， ），kAB=- ，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线 CD 与椭圆的方程得所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，代入 k1k2 化简可得结论． 本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系．21. （Ⅰ）设切点 P（x0，y0），则，即可求出 a；（Ⅱ）由 h（x）的解析式可知其至少有一个零点，又因为 h′（x）=m- +（ - ）2，讨论①m≥ ②0＜m＜ 两种情况下均只有一个零点即可．本题考查导数的综合应用，考查利用导数表示曲线上某点切线，利用导数判断函数单调 区间等，属于综合题，中档题．22. （Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），分析可得曲线C2 的极坐标方程，变形可得答案；（Ⅱ）根据题意，设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，直线 l 的参数方程，（t 为参数），与 C2 的方程联立可得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0，由根与系数的关系分析可 得答案． 本题考查三种方程的转化，利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系，属于基础题．23. （Ⅰ）由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）分析可知，，三式相加即可得证． 本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式．第 14 页，共 14 页。
2020年河南省焦作市温县第一中学高三数学文测试题含解析
2020年河南省焦作市温县第一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是（）参考答案：D2. 某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是．参考答案：4根据题意画出相应的图形，如图所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC= 千米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得：，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），因此x的值为4千米．3. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A． B． C． D．参考答案：D略4. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】首先求出函数的定义域，然后判断奇偶性，再考虑时，函数的单调性，用排除法进行选择.【详解】函数的定义定义域为，，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，，故可排除C;当时，，显然当时，，函数是单调递减的，可排除D，故本题选A.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法.5. 已知上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B做出函数在区间上的图象，以及的图象，由图象可知当直线在阴影部分区域时，条件恒成立，如图，点,,所以，即实数a 的取值范围是，选B.6. 函数满足等于A．13 B．2 C．D．参考答案：D略7. 已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于（）A．B．C．D．参考答案：C8. 用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图）。
设水箱底面边长为分米，则（A）水箱容积最大为立方分米（B）水箱容积最大为立方分米（C）当在时，水箱容积随增大而增大（D）当在时，水箱容积随增大而减小参考答案：C设箱底边长为，则箱高，则，解得（舍），，时，单增，故选C9. 设函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）+g（x）是奇函数B．f（x）﹣g（x）是偶函数C．f（x）?g（x）是奇函数D．f（x）?g（x）是偶函数参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【分析】f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令F（x）=f（x）g（x），验证F（﹣x）与F（x）的关系．【解答】解：∵f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），令F（x）=f（x）g（x）F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣F（x）∴F（x）=f（x）g（x）为奇函数．故选：C．10. 已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝▲ .参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则.参考答案：将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.12. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：13. 已知函数的值域为,则实数的取值范围是参考答案：略14. 已知实数满足约束条件，则的最小值是．参考答案：约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.15. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．参考答案：福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，∴根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.16. 函数且）的图象必过点A，则过点A且与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程是____________________。
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）2．i是虚数单位，复数的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣75．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．则这4种说法中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+19．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为．15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=．16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b的值．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2020年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．[﹣1，1]C．（0，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合B，然后直接求出交集即可．【解答】解：集合A={x|x≤1}，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|x≤1}∩{x|0＜x＜2}=（0，1]，故选C．2．i是虚数单位，复数的虚部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子分母同乘分母的共轭复数1﹣i，化简后虚部可求．【解答】解：．所以复数z的虚部是﹣1．故选B．3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．4．在递增的等差数列{a n}中，a1+a5=1，a2a4=﹣12，则公差d为（）A．B．﹣C．或﹣D．7或﹣7【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意列关于首项和公差的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a1+a5=1，a2a4=﹣12，∴，即，解得：，或d=．∵数列为递增数列，∴d=．故选：A．5．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据指数的图象和性质，可得a＞1，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答案．【解答】解：若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y=log a|x|的图象大致是：故选：B．6．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；②绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；③一组数据的方差一定是正数；④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在（50，60）的汽车大约是60辆．则这4种说法中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图的特征，结合方差的意义，对题目中的命题进行分析，判断命题是否正确即可．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，命题正确，因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小；对于②，绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距，命题错误，频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率；对于③，一组数据的方差一定是正数，命题错误，根据方差的计算公式s2=[++…+]得出方差是非负数；对于④，根据分布直方图得，时速在（50，60）的汽车大约是200×0.03×10=60（辆）所以，命题正确；综上，错误的命题是②③，共2个．故选：B．7．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，由线性规划知识求得t的范围，则z=|x+2y ﹣3|的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，化为，由图可知，当直线过点O时，t有最小值为﹣3，过点A（0，1）时，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故选：A．8．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）A．y=2x﹣1B．y=C．y=D．y=2x+1【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据函数图象的平移变换法则和对称变换法则，结合平移后的函数解析式，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，∴函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得是y=的图象，∴函数f（x）的解析式为：y=，故选：B．9．函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数在区间（1，+∞）上一定（）A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】先由二次函数的性质可得a＜1，则=，分两种情况考虑：若a≤0，a＞0分别考虑函数g（x）在（1，+∞）上单调性【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，∴对称轴x=a＜1∵=若a≤0，则g（x）=x+﹣2a在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增若1＞a＞0，g（x）=x+﹣2a在（，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）单调递增综上可得g（x）=x+﹣2a在（1，+∞）上单调递增故选D10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．11．已知F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，从而得到|PF1|=，|PF2|=，由∠F1PF2=90°，得到|PF1|•|PF2|==2b2，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，∴不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a﹣|PF1|，2c成等差数列，∴2（2a﹣|PF1|）=|PF1|+2c，∴|PF1|=，|PF2|=2a﹣=，∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，又|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=4a2，∴|PF1|•|PF2|==2b2，整理，得5a2﹣7c2﹣2ac=0，∴7e2+2e﹣5=0，解得e=或e=﹣1（舍）．∴椭圆的离心率是．故选：D．12．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0．则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．【分析】由题意x∈（0，π）当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，以为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论【解答】解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣3π，3π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，∴x∈[0，]时，f（x）为单调减函数；x∈[，π]时，f（x）为单调增函数，∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：414．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出S值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始S=2，i=1；第一次循环S=﹣3，i=2；第二次循环S=﹣，i=3；第三次循环S=，i=4；第四次循环S=2，i=5；第五次循环a=﹣3，i=6；…∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2020=504×4+1，第2020次循环S=，i=2020；第2020次循环S=2，i=2020；∴输出的S=2．故答案为：2．15．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）．【考点】数列的求和．【分析】通过递推公式及前两项的值可知数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1=1，a2=2，=3，∴数列{a n}中奇数项构成以1为首项、3为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、3为公比的等比数列，∴数列{a2n+a2n}构成以3为首项、3为公比的等比数列，﹣1又∵n为偶数，∴S n==（﹣1），故答案为：（﹣1）．16．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积．【解答】解：球的体积为：，可得=，r=1，棱柱的高为：2，底面正三角形的内切圆的半径为：1，底面边长为：2=2，一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是：6×2=12．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0 （Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=，当f（B）=时，若a=，求b 的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知式子和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosC=，进而可得C=；（Ⅱ）化简可得f（x）=sin（x+）+，结合B的范围可得B=，再由正弦定理可得b==，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中ccosB﹣（2a﹣b）cosC=0，∴ccosB﹣2acosC+bcosC=0，由正弦定理可得sinCcosB﹣2sinAcosC+sinBcosC=0，∴2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosC=，∴角C=；（Ⅱ）化简可得f（x）==sinx+cosx+=sin（x+）+，∴f（B）=sin（B+）+=，∴sin（B+）=1，结合B的范围可得B=，由正弦定理可得b====218．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取PA中点G，连结DG，FG．则FG DF，故四边形EFDG是平行四边形，于是DG∥EF，将问题转化为证明DG⊥平面PAB即可；（II）由AB⊥平面PAB得AB⊥AD，AB⊥PH，故而PH⊥平面ABCD，AD⊥CD，于是E 到底面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】证明：（I）取PA中点G，连结DG，FG．∵E，G是PB，PA的中点，∴FG，又∵DF，∴FG DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴DG∥EF．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，∴AB⊥DG，∵AD=PD，G是PA的中点，∴DG⊥PA，又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，∴EF⊥平面PAB．解：（II）∵AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PH，AB⊥AD，又AB∥CD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，S△BCF==．∵E是PB的中点，∴E到平面ABCD的距离h==．∴V E=S△BCF•h==．﹣BFC19．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率为，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），由此利用已知条件能求出直线FM的斜率．（Ⅱ）椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，由此利用弦长公式能求出椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由离心率为，得，又由a2=b2+c2，得a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），由已知有（）2+（）2=（）2，解得k=．∴直线FM的斜率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线FM的方程为y=（x+c），两个方程联立，消去y，得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，），由|FM|==，解得c=1，∴椭圆的方程为．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2020年7月22日第21页（共21页）。
2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学(文)试题(解析版)
2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|04M x x =≤≤，{}|3,N x y x y M ==-∈，则M N ⋂= ( ) A ．[]0,3 B ．[]0,4C ．[]1,4-D ．[]1,3-【答案】A【解析】根据集合M ，求得集合N ，再根据集合的交运算求得结果即可. 【详解】依题意得034x ≤-≤，解得13x -≤≤，即{}|13N x x =-≤≤， 所以{}|03M N x x ⋂=≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2．已知复数z 满足 ()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( ) A ．47kg B ．51kgC ．66kgD ．70kg【答案】C【解析】根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算. 【详解】题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以[]24,29.9BMI ∈，所以此学生的体重范围为2224 1.5,29.9 1.5⎡⎤⨯⨯⎣⎦，即[]54,67.275， 故选：C. 【点睛】本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.4．若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行， 故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D. 【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 5．若21cos 52πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 10πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．12-C ．12D 3【答案】B【解析】根据2sin sin 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案. 【详解】Q 2sin sin 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos 52πα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.∴1sin 102πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换求值，解题关键是掌握诱导公式基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型2lg y x =进行拟合.在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该( ) A ．使x 增加1个单位 B ．使x 增加2个单位 C ．使x 增加到原来的2倍 D ．使x 增加到原来的10倍【答案】D【解析】根据y 的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果. 【详解】设y 的增加量为12y y y =-n ，x 的增加量为12x x x =-n ， 故可得1122222lg2x y lgx lgx x =-==n ，解得1210xx =， 故要使得y 增加2个单位，x 应增加到原来的10倍. 故选：D. 【点睛】本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.7．已知()()2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，且2a b =r r ，则向量a r 与b r的夹角为（ ）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．45︒【答案】C【解析】由()()2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，得2222cos ,0a b a b a b --⋅=r r r r r r，即可求得答案. 【详解】由()()2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，得2222cos ,0a b a b a b --⋅=r r r r r r.Q 2a b =r r ，∴1cos ,2a b =r r ，∴向量a r 与b r的夹角为60︒.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题.8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【答案】B【解析】将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果. 【详解】将展开图折成立体图形，如下图所示：然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC += 即AK CK +73故选：B. 【点睛】本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题. 9．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列说法正确的个数为( )①()70f =；②()f x 的一个周期为8；③()f x 图象的一个对称中心为()3,0；④()f x 图象的一条对称轴为2019x =. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果. 【详解】因为1x =是()f x 的对称轴，()1,0-是()f x 的对称中心， 所以()f x 是周期函数，且8为函数()f x 的一个周期，故②正确；()()710f f =-=，故①正确；因为每隔半个周期出现一个对称中心，所以()3,0是函数()f x 的对称中心，故③正确；201982523x ==⨯+，所以2019x =不是函数()f x 的图像的对称轴，故④错误.故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题.10．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点按照向量()(),00m a a =≠r 平移得到函数()g x 的图象，若3355f g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a 的最小值为( ) A ．415π B ．1330πC ．1315πD ．1715π【答案】C【解析】求出函数()f x 的对称轴，根据与35x π=最近的对称轴求得点33,55P f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于该对称轴的对称点，即可计算求得结果.【详解】 令32x k πππ+=+得()f x 图像的对称轴为()6x k k Z ππ=+∈，其中距离35x π=最近的对称轴为6x π=.点33,55P f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭关于直线6x π=对称的点为43',155P f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要使a 最小，则341351515a πππ=+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题.11．已知函数()1212log ,182,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象，设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈.由122log a k +=，2b k =，得212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.设函数()221log 2x x x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]2,4x ∈，结合函数图像，即可求得答案.【详解】函数()f x 的图象如下图所示.设()()f a f b k ==，则(]2,4k ∈.由122log a k +=，2b k =，得212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，∴221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.设函数()221log 2x x x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]2,4x ∈，Q ()g x 在(]2,4上单调递增，∴()()()24g g x g <≤，即()704g x <≤， ∴70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦.故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是掌握函数的基础知识，查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.12．如图所示，直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，且AOB ∆的面积为42，则E 的离心率为( )A ．BC ．2D 【答案】B【解析】设AOx θ∠=，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得tan θ，即可得,a b 的等量关系，再转化为离心率即可. 【详解】设02AOx πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题意可得cos24OA OB θ=-，1sin 22OA OB θ=所以sin 2tan 2cos 2θθθ==-22tan 1tan θθ=--可得tan θ=， 又因为tan b aθ=，所以c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，正余弦的倍角公式，属综合基础题.二、填空题13．已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++=______. 【答案】12【解析】根据等差中项公式，即可求得答案. 【详解】Q {}n a 是等差数列，根据等差中项公式∴48126129222412a a a a a a ++=+==.故答案为：12. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题.14．曲线()22xy x e =+在点()0,2处的切线方程为______.【答案】220x y -+=【解析】求出函数的导函数，解得()0f '，再用点斜式即可求得切线的方程. 【详解】由()()22xy f x x e ==+，得()()()2222'22xxxxe x e x x e f x +=++=+.所以()'02f =.所以曲线()22xy x e =+在点()0,2处的切线方程为()220y x -=-，即220x y -+=. 故答案为：220x y -+=. 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.15．已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：10x ay +-=与圆C 交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a =______. 【答案】1或17-【解析】根据三角形的形状，以及半径长度，即可求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得参数. 【详解】由题意得(),2C a ，圆C 的半径为2， 因为ABC ∆为等腰直角三角形， 所以圆心C 到直线l的距离d ==解得1a =或17a =-. 故答案为：1或17-.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属基础题.16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c C a B b A =+且b =，则B =______. 【答案】4π（或45︒） 【解析】根据正弦定理将2cos cos cos c C a B b A =+，化简为2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，结合已知，即可求得答案.【详解】由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+()sin sin A B C =+=，∴1cos 2C =， Q C 是三角形内角，∴3C π=.又Q 由sin sin b c B C =得sin sin 2b C B c ==， Q 2233B A ππ=-<， ∴4B π=.故答案为：4π（或45︒）. 【点睛】本题考查根据正弦定理解三角形，解题关键是掌握掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为82x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为23x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标.【答案】（1）380x y -+=，24y x =；（2）52，()3,23. 【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得. 【详解】（1）直线l 的普通方程为380x y -+=. 在曲线C 的参数方程中，22124y s x ==， 所以曲线C 的普通方程为24y x =. （2）设点()23,23P s s .点P 到直线l 的距离()2236831522s s s d -+-+==.当1s =时，min 52d =，所以点P 到直线l 的距离的最小值为52. 此时点P 的坐标为()3,23. 【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.三、解答题18．某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：个，n N ∈）.按[)550,650，[)650,750，[)750,850，[)850,950，[)950,1050分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中:::4:3:2:1a b c d =.（1）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；（2）若包子店想保证至少80%的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？ 【答案】（1）775（2）880个【解析】（1）由图可知，各分组的频率分别为16，14，13，16，112，即可求得答案；（2）设包子店每天至少做m 个包子，求得()850P n <和()950P n <，即可求得m 的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由图可知，各分组的频率分别为16，14，13，16，112. ∴包子日需求量平均数的估计值为111116007008009001000775643612⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设包子店每天至少做m 个包子. Q ()11130.86438540P n =++=<<， ()119500.812P n <=>，∴[)850,950m ∈.由频率分布直方图可知1600c =， 令85030.86004m -+=， 解得880m =.∴每天至少要做880个包子.【点睛】本题考查了频率分布直方图以及用样本估计总体的思想，属于基础题. 19．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +=+. （1）证明：数列{}1n S +是等比数列；（2）若关于n 的不等式22log n n S k a +<的解集中有6个正整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）1279,8⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】（1）由121n n S S +=+，得()1121n n S S ++=+，即1121n n S S ++=+，即可求得答案；（2）由22log n n S k a +<，得()211n k n -<+，结合函数21xy =-，()1y k x =+的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）由121n n S S +=+， 得()1121n n S S ++=+，即1121n n S S ++=+， ∴数列{}1n S +是首项为112a +=，公比为2的等比数列.（2）由（1）知数列{}1n S +的通项公式为12nn S +=，∴21n n S =-.当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，11a =也符合该式， ∴12n n a -=.由22log n n S k a +<，得()211nk n -<+，结合函数21xy =-，()1y k x =+的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，则()()6721612171k k ⎧-<+⎪⎨-≥+⎪⎩，解得91278k k >⎧⎪⎨≤⎪⎩.∴实数k 的取值范围为1279,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.20．如图，已知四棱锥S ABCD -，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SAD ∆是等边三角形，120BAD ∠=︒，2AB =.（1）证明：SC BC ⊥；（2）设点E 在棱SD 上，且SE SD λ=，若点E 到平面SBC 的距离为63，求λ的值. 【答案】（1）答案见解析（2）23λ=【解析】（1）要证SC BC ⊥，只需证AD ⊥平面SCH ，即可求得答案； （2）连接BD .因为2AB =，120BAD ∠=︒，可得1sin 32BCD S BC CD BCD ∆=⨯⨯⨯∠=.由（1）知SH AD ⊥，根据平面SAD ⊥平面ABCD ，可得 SH ⊥平面ABCD .结合已知，即可求得答案；【详解】（1）取AD 的中点H ，连接CH ，SH .Q SA SD =，∴SH AD ⊥.连接AC .Q 四边形ABCD 是菱形，且120BAD ∠=︒，∴AC CD =， ∴CH AD ⊥. Q SH CH H ⋂=，∴AD ⊥平面SCH ， ∴AD SC ⊥.又在菱形ABCD 中，//BC AD ，∴SC BC ⊥.（2）连接BD .Q 2AB =，120BAD ∠=︒，∴1sin 2BCD S BC CD BCD ∆=⨯⨯⨯∠=. 由（1）知SH AD ⊥，Q 平面SAD ⊥平面ABCD ，∴SH ⊥平面ABCD .∴113S BCD BCD V S SH -∆=⨯⨯=.由（1）知SC BC ⊥，∴12SBC S BC SC ∆=⨯⨯=， 设D 到平面SBC 的距离为h ， 由13S BCD D SBC SBC V V S h --∆==⨯⨯，解得2h =.根据相似知232λ==.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思想.21．设椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F，已知2AF =（1）求椭圆C 的方程；（2）抛物线()220y px p =>与直线2x =交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2. 【解析】（1）根据2a c +=221a c -=，解方程组即可求得椭圆方程； （2）根据题意，先求出点,P Q 的坐标，再写出直线AB 方程，联立椭圆方程，求得点B ，再根据向量0AP BQ ⋅=u u u r u u u r，即可得到p 的方程，求解即可得到结果.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则2AF a c =+=.又因为221a c -=，所以222a c a c a c--==+解得2a =，c =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）将2x =代入22y px =得y =±不妨取(2,P，(2,Q -，由（1）可知()2,0A -，从而直线AP的方程为)2y x =+.联立方程组)22214y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得21104p x px p +++-=. 设(),B B Bx y ，因为点B 异于点A ，由根与系数的关系得()4121Bp xp--=+，所以221B p x p -=+，)2B B y x =+=所以BQ uuu r4,1p p ⎛= +⎝⎭，AP u u ur(4,=. 因为BQ AP ⊥，所以AP BQ ⋅u u u r u u u r()4216011p p p p p+=-=++，解得2p =. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综合中档题.22．已知函数()ln xf x e a x =+，其中0a <.（1）若a e =-，求()f x 的单调区间； （2）设()f x 的最小值为m ，求m 的最大值.【答案】（1）单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）最大值为e . 【解析】（1）若a e =-，则()ln xf x e e x =-，定义域为()0,∞+.()'x xe xe ef x e x x-=-=.令()xg x xe e =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()10g =，即可求得答案；（2）()x xe a f x x+'=，0x >.令()xh x xe a =+，则()h x 在()0,∞+上单调递增.Q ()00h a =<，()()10a a h a ae a a e ---=-+=->，由存在()00x ∈+∞,，使得()00h x =，即00e 0x x a +=，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）若a e =-，则()ln xf x e e x =-，定义域为()0,∞+.()'x xe xe ef x e x x-=-=. 令()xg x xe e =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()10g =，∴在()0,1上，()0g x <，即()'0f x <；在()1,+∞上，()0g x >，即()'0f x >.∴()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）()x xe af x x+'=，0x >.令()xh x xe a =+，则()h x 在()0,∞+上单调递增.Q ()00h a =<，()()10a a h a ae a a e ---=-+=->，∴存在()00x ∈+∞,，使得()00h x =，即00e 0x x a +=.在()00,x 上，()0h x <，即()'0f x <； 在()0,x +∞上，()0h x >，即()'0f x >.∴()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()0000000ln ln x x x m f x e a x e x e x ==+=-()0001ln x e x x =-，令()()1ln xx e x x ϕ=-，则()()'1ln xx e x x ϕ=-+.Q 0x >，∴10x +>，又()'10ϕ=，∴在()0,1上，()'0x ϕ>，在()1,+∞上，()'0x ϕ<. ∴()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ∴()x ϕ的最大值为()1e ϕ=，∴m 的最大值为e .【点睛】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.23．已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明： （1）()()()21212127a b c +++≥；（2）()()()22211134a b c b a c c a b ++≤+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用均值不等式a b c ++≥即可求证； （2）利用()214aba b ≤+，结合1abc =，即可证明. 【详解】（1）∵211a a a +=++≥21b +≥21c +≥∴()()()21212127a b c +++≥=. （2）∵()22224a b a ab b ab +=++≥，∴()214aba b ≤+. 同理有()214aca c ≤+，()214bc b c ≤+. ∴()()()222111a b c b a c c a b +++++()()()222abc abc abc a b c b a c c a b =+++++()()()222bcacabb c a c a b =+++++11134444≤++=. 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及1的妙用，属综合性中档题.。
精品解析：2020届河南省焦作市高三年级第一次模拟数学文科试题(原卷版)
焦作市普通高中2019—2020学年（上）高三年级第一次模拟考试 文科数学考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|04M x x =≤≤，{}|3,N x y x y M ==-∈，则M N ⋂= ( ) A. []0,3B. []0,4C. []1,4-D. []1,3-2.已知复数z 满足 ()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i +B. 1i -+C. 1i -D. 1i --3.人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( ) A. 47kgB. 51kgC. 66kgD. 70kg4.若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A. 9B. 65C. 4D. 35.若21cos 52πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 10πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12-C.12D.6.某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型2lg y x =进行拟合.在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该( ) A. 使x 增加1个单位 B. 使x 增加2个单位 C. 使x 增加到原来的2倍D. 使x 增加到原来的10倍7.已知()()2a b a b a b +⋅-=⋅，且2a b =，则向量a 与b 的夹角为（ ） A. 120︒B. 90︒C. 60︒D. 45︒8.某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A.B.C.D.9.已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列说法正确的个数为( ) ①()70f =；②()f x 一个周期为8；③()f x 图象的一个对称中心为()3,0；④()f x 图象的一条对称轴为2019x =. A. 1B. 2C.3 D. 4.10.将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点按照向量()(),00m a a =≠平移得到函数()g x 的图象，若3355f g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a 的最小值为( ) A.415πB.1330πC.1315πD.1715π11.已知函数()1212log ,182,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D.150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦12.如图所示，直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-，且AOB ∆的面积为E 的离心率为( )A.B.C. 2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++=______. 14.曲线()22xy x e =+在点()0,2处的切线方程为______.15.已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：10x ay +-=与圆C 交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a =______.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c C a B b A=+且b =，则B =______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：个，n N ∈）.按[)550,650，[)650,750，[)750,850，[)850,950，[)950,1050分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中:::4:3:2:1a b c d =.（1）求包子日需求量平均数估计值（每组以中点值作为代表）；（2）若包子店想保证至少80%的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？ 18.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +=+. （1）证明：数列{}1n S +等比数列；（2）若关于n不等式22log n n S k a +<的解集中有6个正整数，求实数k 的取值范围.19.如图，已知四棱锥S ABCD -，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SAD ∆是等边三角形，120BAD ∠=︒，2AB =.（1）证明：SC BC ⊥；的（2）设点E 在棱SD 上，且SE SD λ=，若点E 到平面SBC，求λ的值. 20.设椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F，已知2AF =（1）求椭圆C 的方程；（2）抛物线()220y px p =>与直线2x =交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B（异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值. 21.已知函数()ln xf x e a x =+，其中0a <.（1）若a e =-，求()f x 的单调区间； （2）设()f x 的最小值为m ，求m 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为822x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为23x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标. 23.已知a ，b ，c 为正数，且1abc =，证明： （1）()()()21212127a b c +++≥；（2）()()()22211134a b c b a c c a b ++≤+++.。
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R【解答】解：由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【解答】解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+ii=1−i ， ∴z ＝﹣2﹣i ，∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．（5分）已知函数f(x)={(x −1)3，x ≤1lnx ，x ＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ） A ．1a +1＜1b +1B ．√a 3＞√b 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）【解答】解：易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√a 3＞√b 3正确． 故选：B ．4．（5分）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解：从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数g(x)=sin(2x +π4)的图象，则φ的最小值为（ ） A ．π4B ．3π8C ．π2D ．5π8【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−π4）的图象，即得到g(x)=sin(2x +π4)的图象， ∴2φ−π4=2k π+π4，k ∈Z ，∴φ的最小值为π4，故选：A ．6．（5分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣20【解答】解：根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2． 由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(a 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814． 根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．（5分）已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （π2−2α）＝（ ）A ．79B ．59C ．−59D ．−79【解答】解：由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23，∴cos α=√23，∴sin （π2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59．故选：C ．8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√5【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为F（c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ）， ∴MF 的中点坐标为（a+c 2，b2）．代入方程可得(a+c 2)2a −(b 2)2b =1，∴(a+c)24a 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？【解答】解：i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立；运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立；运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立；运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立；运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立，输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x1+x2＝2pk，∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：−1 k，∴|CD|＝2p（−1k）2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2＝4+4k2，∴p＝2，∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1，以下结论正确的个数为（）①当a＝0时，函数f（x）的图象的对称中心为（0，﹣1）；②当a≥3时，函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数；③若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a＜3；④当a＝12时，f（x）在[﹣4，5]上的最大值为15．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确．②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a ≥3，所以f '（x ）＜0在（﹣1，1）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）≥0，此时f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a ＞0． 令f '（x ）＝0，解得x =±√3a3．因为f （x ）在（﹣1，1）上不单调，所以f '（x ）＝0在（﹣1，1）上有解， 所以0＜√3a3＜1，解得0＜a ＜3，即③正确． ④令f '（x ）＝3x 2﹣12＝0，得x ＝±2．当x ∈[﹣4，5]时，f （x ）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣2）或f （5），因为f （﹣2）＝15，f （5）＝64，所以最大值为64，即④错误． 故选：C ．12．（5分）已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．√26B ．13C ．√23D ．1【解答】解：如图所示，由题意可得：ED ⊥平面ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．（5分）已知向量a →=（1，1），|b →|=√3，（2a →+b →）•a →=2，则|a →−b →|＝ 3 ． 【解答】解：由题意可得|a →|=√2，(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4， ∴a →⋅b →+4=2，解得a →⋅b →=−2，∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3． 故答案为：3．14．（5分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为 2 ． 【解答】解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．（5分）将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π ．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−ℎ√3=r 2，解得h =√3−√32r ． 故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√3r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(r+2−r )2=√3π．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3π． 故答案为：√3π．16．（5分）如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则2sinA+2sinB=4√103．【解答】解：由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ，cos A =AB 2+AD 2−BC 2−CD 22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =AB 2+BC 2−AD 2−CD 22(AB⋅BC+AD⋅CD)=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−cos 2B =√1−(119)2=6√1019． 所以2sinA+2sinB=2√10+6√10=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1＝2，且a n+1a n=2a n a n+1+1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝[lg （log 2a n ）]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1，求数列{b n }的前2020项和． 【解答】解：（I ）由题意，且a n+1a n=2a n a n+1+1，即a n+12−a n +1a n ﹣2a n 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数，∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n ．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n ）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤n ＜101，10≤n ＜1002，100≤n ＜10003，1000≤n ＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953．18．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，CC 1＝2，△ABC ，△ACC 1，均为正三角形，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC 1∥平面B 1CE ；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去三棱锥B 1﹣﹣CBE 后剩余部分的体积．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1∥平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ．因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为VB 1−BCE=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12， 而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^（其中a ^，b ^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中，b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ n i=1(t i −t)2，a ^=y −b t ．【解答】解（Ⅰ）根据题意，b=∑ni=1(t i−t)(y i−y)∑n i=1(t i−t)2=1.530.45=3.4，a=y−b t=6.8−3.4×0.54=4.964，∴y=3.4t+4.964．又t＝lgx，∴y=3.4lgx+4.964．∴x＝10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4，设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P=8 15．（ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为√3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32x +m ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{x 24+y 23=1y =−√32x +m，消去y 可得6x 2﹣4√3mx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3m 3，即x 1=2√3m3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=y 1x 1−2=−√32x 1+m x 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32x 2+m−√3x 2， 所以k 1k 2=−√32x 1+m x 1−2•−√32x 2+m−√3x 2，=34x 1x 2−√32m(x 1+x 2)+32x 1+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−√32m⋅2√3m 3+32(2√3m 3−x 2)+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−32x 2(x 1−2)x 2=34．故k 1k 2为定值．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=ax ，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点． h ′（x ）=1x 2x +m ＝m −116+（√x −14）2 ①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以1√x 1＞14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x14x 1＞0，所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，OP →=2OQ →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ）， 则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2， 设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα，（t 为参数）， 代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立， 此时l 的普通方程为x +y ﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：a 2+b 2+c 2≥13；（Ⅱ）求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2． 【解答】证明：（Ⅰ）∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|＝1， ∴a +b +c ≥1．∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ac ， ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝（a +b +c ）2≥1， ∴a 2+b 2+c 2≥13．（Ⅱ）∵a 2+b 2≥2ab ，2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b)，同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c)，√c 2+a 2≥√22(c +a)，三式相加，得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．。
2020年河南省焦作市温县第一高级中学高三数学文月考试卷含解析
2020年河南省焦作市温县第一高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={x∈N|5+4x﹣x2＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B等于（）A．? B．{1，2} C．[0，3）D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式解集的自然数解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，x∈N，解得：﹣1＜x＜5，x∈N，即A={0，1，2，3，4}，∵B={x|x＜3}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．2. 函数的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是 ( )A. B. C. D.参考答案：D略3. 设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选C．4. 设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出B，再根据定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．故选：B．5. 将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．B．C．D．参考答案：A将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，解得可得函数的增区间，当时，可得函数在区间单调递增。
河南省焦作市普通高中2019-2020学年上高三年级第一次模拟考试文科数学试题含详解
焦作市普通高中2019—2020学年（上）高三年级第一次模拟考试文科数学考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|04M x x =≤≤，{}|3,N x y x y M ==-∈，则M N =I （ ）A. []0,3B. []0,4C. []1,4-D. []1,3- 2. 若复数z 满足()211i i z+=-，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+3. 人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是（ ）A. 47kgB. 51kgC. 66kgD. 70kg4. 若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为（ ）A. 9B. 6.5C. 4D. 3 5. 若21cos 52πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 10πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 12- C. 12 D. 26. 某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型2lg y x =进行拟合.在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该（ ）A. 使x 增加1个单位B. 使x 增加2个单位C. 使x 增加到原来的2倍D. 使x 增加到原来的10倍 7. 已知()()2a b a b a b +⋅-=⋅r r r r r r ，且2a b =r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ） A. 120︒ B. 90︒ C. 60︒ D. 45︒8. 某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ） ①()70f =；②()f x 的一个周期为8；③()f x 图像的一个对称中心为()3,0；④()f x 图像的一条对称轴为2019x =.A. 1B. 2C. 3D. 410. 将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有的点按照向量()(),00m a a =≠u r 平移得到函数()g x 的图像，若3355f g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a 的最小值为（ ） A. 415π B. 1330π C. 1315π D. 1715π11. 已知函数()1212log ,182,12x x x x f x ⎧+≤<⎪⎨⎪≤≤⎩=，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦12. 如图所示，直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，且AOB ∆的面积为E 的离心率为（ ）A.B. C. 2D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++=______.14. 曲线()22x y x e =+在点()0,2处的切线方程为______. 15. 已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：10x ay +-=与圆C 交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a =______.16. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos C a B b A =+且b =，则B =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：个，n N ∈）.按[)550,650，[)650,750，[)750,850，[)850,950，[)950,1050分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中:::4:3:2:1a b c d =.。
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5．若Байду номын сангаас，则 （）
A． B． C． D．
6．某种微生物的繁殖速度 与生长环境中的营养物质浓度 相关，在一定条件下可用回归模型 进行拟合.在这个条件下，要使 增加2个单位，则应该( )
A．使 增加1个单位B．使 增加2个单位
C．使 增加到原来的2倍D．使 增加到原来的10倍
17．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求直线 和曲线 的普通方程；
（2）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最小值及此时 点的坐标.
三、解答题
18．某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量 （单位：个， ）.按 ， ， ， ， 分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中 .
因为 ， ，所以 ，
即 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题.
9．C
【分析】
根据 是偶函数， 是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.
【详解】
因为 是 的对称轴， 是 的对称中心，
所以 是周期函数，且8为函数 的一个周期，故②正确；
3．C
【分析】
根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算.
【详解】
题意得，体重＝BMI×身高 ，因为此人属于超标，所以 ，
所以此学生的体重范围为 ，
即 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.
4．D
【分析】
根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.
【详解】
2020届河南省焦作市高三年级第一次模拟数学文科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ( 为虚数单位），则复数 （ ）
A． B． C． D．
A．1B．2C．3D．4
10．将函数 图象上所有的点按照向量 平移得到函数 的图象，若 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．如图所示，直线 与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 ，且 的面积为 ，则 的离心率为( )
6．D
【分析】
根据 的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果.
【详解】
设 的增加量为 ， 的增加量为 ，
故可得 ，解得 ，
故要使得 增加2个单位， 应增加到原来的10倍.
故选：D.
【点睛】
本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.
7．C
【分析】
由 ，得 ，即可求得答案.
【详解】
由 ，
得 .
，
，
向量 与 的夹角为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题.
8．B
【分析】
将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果.
【详解】
将展开图折成立体图形，如下图所示：
然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.
不等式组所表示的可行域为下图中的 ，
因为目标函数与直线 平行，
故当目标函数对应的直线经过点 时， 取得最小值3.
故选：D.
【点睛】
本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.
5．B
【分析】
根据 ，即可求得答案.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换求值，解题关键是掌握诱导公式基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
，故①正确；
因为每隔半个周期出现一个对称中心，
所以 是函数 的对称中心，故③正确；
，所以 不是函数 的图像的对称轴，故④错误.
A． B． C．2D．
二、填空题
13．已知数列 是等差数列，且 ，则 ______.
14．曲线 在点 处的切线方程为______.
15．已知圆 ： ，直线 ： 与圆 交于 ， 两点，且 为等腰直角三角形，则实数 ______.
16． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且 ，则 ______.
（1）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；
（2）若包子店想保证至少 的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？
19．记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若关于 的不等式 的解集中有6个正整数，求实数 的取值范围.
20．如图，已知四棱锥 ，平面 平面 ，四边形 是菱形， 是等边三角形， ， .
7．已知 ，且 ，则向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1， 是线段 上的点，则在原三棱柱中， 的最小值为( )
A． B． C． D．
9．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列说法正确的个数为( )
① ；② 的一个周期为8；③ 图象的一个对称中心为 ；④ 图象的一条对称轴为 .
（2）设 的最小值为 ，求 的最大值.
23．已知 ， ， 为正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．A
【分析】
根据集合 ，求得集合 ，再根据集合的交运算求得结果即可.
【详解】
依题意得 ，
解得 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属基础题.
2．B
【解析】
因为 ，所以 ，选B.
3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高 （体重单位为 ，身高单位为 ）.其判定标准如下表：
BMI
18.5以下
18.5～23.9
24～29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标
某小学生的身高为 ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( )
A． B． C． D．
4．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为( )
（1）证明： ；
（2）设点 在棱 上，且 ，若点 到平面 的距离为 ，求 的值.
21．设椭圆 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，已知 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）抛物线 与直线 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于点 （异于点 ），若直线 与 垂直，求 的值.
22．已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求 的单调区间；