高一数学教案第四章《函数模型的应用实例》北师大版必修1

合集下载

[推荐学习]年高中数学 4.2.3函数建模案例教案北师大版必修1

函数建模案例一、教材地位与作用本节课是上一节“函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。

它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.二、教学目标1.知识与技能：（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.（2）能拟合函数解决实际问题.2.过程与方法：（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.3.情感、态度与价值观：（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.三、教学重难点教学重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点：（1）对数据进行整合，选择最佳函数模型拟合。

（2）建立确定性函数模型解决实际问题，并进行简单的分析评价。

四、教法学法与教具本课是通过做实验收集数据，对数据进行分析、处理，进而建立数学模型，进行问题解决的，所以应采用“实践——建模”的教学方式。

教具：多媒体五、教学过程：一、问题提出现在许多家庭都以燃气为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题，怎样烧开水最省气？二、分析理解省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量最少.一般来说，烧水时是通过灶上的旋钮来控制燃气流量的，流量是随着旋钮位置的变化而变化.燃气用量与旋钮的位置是函数关系.旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？三、建立数学模型解决问题的方案1.给定燃气灶和一只水壶;2.选好五个位置上分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量;3.利用数据拟合函数,建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式;4.利用函数解析式求最小用气量;5.对结果的合理性作出检验分析.四、实施方案1.实验: 燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量设计意图：学生可能遇到的困难是：①不知如何寻找温度与时间的函数关系. ②图形计算器的使用不熟练. ③不能恰当的选择函数模型④在选择模型遇到挫折时容易灰心，产生放弃的念头. ④用指数模型时只从数学角度考虑却很难想到水温不可能降到室温以下，指数型函数图像的渐近线不是x轴.⑤当图形计算器没有所需要的函数模型时不会转化.面对这些困难我将采取如下策略：①独立思考②小组讨论③互帮互学④及时鼓励⑤合作交流⑥成果展示⑦启发诱导等方式进行。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》优质课教案_6

《函数模型的应用实例》设计§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计一、教学内容解析1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。

2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。

本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。

它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。

3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.二、教学目标设置1、知识与技能：（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.（2）能拟合函数解决实际问题.2、过程与方法：（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.3、情感、态度与价值观：（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.三、学生学情分析1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。

《函数模型的应用实例》教案

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教案

3.2.2函数模型的应用实例教案教学目标知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。

过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。

情感、态度与价值观通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。

教学重点与难点:函数模型的选取与求解。

教学过程设计第一课时已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。

解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 +65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。

（2）根据上图，有502004,0180(1)2054,1290(2)2134,2375(3)2224,3465(4)2299,45t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩，这个函数的图象如右图所示。

h VH 小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。

练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）(A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

高中数学第四章函数应用教案北师大版必修1

第四章函数应用§1函数与方程1．1 利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(2)掌握函数零点存在的方法．(3)能结合图像求解函数零点问题．2．过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．●重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．(教师用书独具)●教学建议教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．●教学流程通过实例分析：判断方程x2－x－6＝0解的存在性，引出本节课课题⇒抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练⇒函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过x轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解⇒导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练⇒根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3．能结合图像求解零点问题．(难点)函数的零点及判定定理【问题导思】给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(－3,0)，(1,0)．3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等．4．通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函数值符号异号．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y ＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点(1)f(x)＝－2x－1；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝3x－9；(4)f(x)＝1－log3x.【思路探究】求函数y＝f(x)的零点，即求方程f(x)＝0的根．因此令f(x)＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．【自主解答】(1)因为方程－2x－1＝0无实数解，所以函数f(x)＝－2x－1无零点．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．(3)令3x －9＝0，则3x ＝9即3x ＝32，则x ＝2，所以函数f (x )＝3x－9的零点是2.(4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.1．求函数y ＝f (x )的零点，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数解，则函数f (x )存在零点，该方程的实数解就是函数f (x )的零点，否则函数f (x )不存在零点．2．求函数y ＝f (x )的零点通常有两种办法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．(1)函数f (x )＝4x－16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】 (1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2.(2)令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2，故有两个．【答案】 (1)x ＝2 (2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)【思路探究】依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解．【自主解答】 ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0，∴零点在(14，12)上．【答案】 C1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反． 2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)【解析】 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0. ∴f (x )在(2,3)内有零点．【答案】 B函数零点的应用当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．【思路探究】分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果．【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为(34，1)．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． 2．结合草图考虑三个方面： (1)Δ与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系； (3)端点的函数值与零的关系． 3．写出由题意得到的不等式．4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．设函数f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围．【解】 ∵f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点， ∴f (－2)·f (1)≤0，即(a ＋1)(4a ＋1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，4a ＋1≤0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，4a ＋1≥0，∴－1≤a ≤－14.因此，实数a 的取值范围是[－1，－14].函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【思路点拨】首先构造函数f (x )＝x 3－(12)x －2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间．【规范解答】令f (x )＝x 3－(12)x －2，由基本初等函数单调性知f (x )在R 上是增函数．∵f (0)＝－4，f (1)＝1－(12)1－2＝－1，f (2)＝8－1＝7，∴f (1)·f (2)<0，故函数f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点在区间(1,2)内．【答案】 B判断两函数h (x )，g (x )图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f (x )＝h (x )－g (x )的零点所在的区间．1．判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．2．函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围．(见学生用书第65页)1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为( )A．3,1；(－1，－4) B．－3，－1；(－1,4)C．－3,1；(1，－4) D．－3,1；(－1，－4)【解析】令x2＋2x－3＝0，得x＝－3或1，将y＝x2＋2x－3配方可知顶点坐标为(－1，－4)．【答案】 D2．若x0是函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点，则x0属于区间( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0.且函数f(x)在[2,3]上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)．【答案】 B3．函数y ＝2x 2－4x －3的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定【解析】由于方程2x 2－4x －3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点．【答案】 C4．若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的值．【解】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图像与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点． (2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上所述，a 的值为0或－14.(见学生用书第121页)一、选择题1．y ＝x －1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．1，(1,0) B ．(1,0)，0 C ．(1,0)，1 D ．1,1【解析】由y ＝x －1＝0，得x ＝1，故交点坐标为(1,0)，零点是1. 【答案】 C2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D．a ≥1【解析】由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 【答案】 B3．(2013·延安高一检测)函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)【解析】 ∵f (12)＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (12)·f (1)<0，∴f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是(12，1)．【答案】 B4．设f (x )在区间[a ，b ]上是连续的单调函数，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在闭区间[a ，b ]内( ) A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一实根【解析】由题意知，函数f (x )在[a ，b ]内与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝0在[a ，b ]内只有一个实根．【答案】 D5．已知函数y ＝f (x )的图像是连续的，有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在区间A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】 ∵f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．【答案】 B 二、填空题6．(原创题)函数f (x )＝kx －2x在(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 f (0)＝－1，f (1)＝k －2，由于f (0)·f (1)<0，则－(k －2)<0.∴k >2. 【答案】 (2，＋∞)7．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．【解析】由题意知2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.【答案】 0，－128．方程log 2x ＋2＝x 2的实数解的个数为________．【解析】方程log 2x ＋2＝x 2可变形为log 2x ＝x 2－2，构造函数f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.【答案】 2三、解答题9．求函数y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2(a ∈R)的零点．【解】令y ＝0并化为：(ax －1)(x －2)＝0. 当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a或x ＝2.10．函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 有一个零点在(1,2)内，求a 的取值范围．【解】函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f (1)·f (2)＜0，即(ln 1＋1－a )·(ln 2＋4－a )＜0，解得1＜a ＜4＋ln 2.故a 的取值范围为(1,4＋ln 2)．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．【解】令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f 4<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.故实数m 的取值范围为(－1913，0).(教师用书独具)若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a 的取值范围．【思路探究】至少有一点零点包含有一个或有两个零点．【自主解答】因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，①当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f(0)·f(4)<0或Δ＝4a2－8＝0，即2(18－8a)<0或a2＝2，解得a>94或a＝2；②当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－－2a2<4，f0≥0，f4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a2－4×2>0，0<a<4，2>0，18－8a≥0，解得2<a≤94.综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．1．本题易直接利用f(0)·f(4)<0，错解得a>94.2．连续函数f(x)在闭区间[a，b]上，若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之不一定成立．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝b＋2，a＋b＋3＝3，解得a＝1，b＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图像，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图像与x 轴有4个交点．由图像得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，114＋m <0，解得－3<m <－114，即实数m 的范围是(－3，－114)．人物介绍阿贝尔阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里．阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人．阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师．霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家．阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味．在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书．他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)．在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险——试图解决一般的五次方程．我们知道一元一次方程ax ＋b ＝0(a ≠0)的根是x ＝－ba，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次方程的根也可以用公式表示．求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno 和Ferrari 解决了．在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式．阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西．于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根．达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法．对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见．阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷．这个想象的解答当然根本不是正确的解答．这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的．后来他证明了一元五次方程不可解．那时他大约十九岁．1．2 利用二分法求方程的近似解(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系．(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解．(3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力．2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想．(2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想．3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣．(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解．难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.(教师用书独具)●教学建议教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．●教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维⇒利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．⇒通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练⇒师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤⇒用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练⇒利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．【提示】能．1．二分法对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3．f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．【答案】 C用二分法求方程的近似解求方程lg x－2－x＋1＝0的一个实数解(精度为0.1)．【思路探究】先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．【自主解答】令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.1－0.933 032 99110.50.9第2次0.1－0.933 032 9910.550.057 342 5610.45第3次0.325－0.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 5－0.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 75－0.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25 至此，区间lg x－2－x ＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)【解】记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1－1 1.50.8750.5第2次 1.25－0.296 875 1.50.8750.25第3次 1.25－0.296 875 1.3750.224 609 3750.125第4次 1.312 5－0.051 513 671 1.3750.224 609 3750.062 5 至此，我们得到，区间[1.312 5,1.375]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．二分法的实际应用如图4－1－1的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．图4－1－1(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0<x<7.5}；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0－150119 1第2次0.5－521190.5第3次0.75－13.311190.25第4次0.75－13.310.875 3.620.125第5次0.812 5－4.650.875 3.620.062 5一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.函数与方程的思想在二分法中的应用(12分)用二分法求5的近似值．(精确度0.1)【思路点拨】本题要求5的近似值，可首先把5确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值．【规范解答】设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16<0，2分f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.6分因为f(2.2)·f(2.3)<0，∴x0∈(2.2,2.3)8分再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).10分由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以5的近似值可取为2.25.12分1．对精确度的理解要正确，精确度ε满足的关系为|a－b|<ε，而不是|a－b|≤ε或|f(a)－f(b)|<ε.2．解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．1．二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.(见学生用书第67页)1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；函数f (x )的零点⇔f (x )＝0的根，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．【答案】 A2．函数f (x )的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定【解析】由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．【答案】 A3．求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．【解析】令f (x )＝x 3－2x －5，由于f (2)＝8－4－5＝－1＜0，f (3)＝27－6－5＝16，f (2.5)＝458＞0，故下一个有根区间是(2,2.5)．【答案】 (2,2.5)4．求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解．(精度为0.1) 【解】令f (x )＝ln x ＋x －3，即求函数f (x )在(2,3)内的零点．因为f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次 2 －0.306 85 3 1.098 61 第2次 2 －0.306 85 2.5 0.416 29 第3次 2 －0.306 85 2.25 0.060 93 第4次 2.125 －0.121 23 2.25 0.060 93 第5次2.187 5－0.029 742.250.060 93至此，我们得到区间ln x ＋x －3＝0的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln x ＋x －3＝0的一个近似解．。

高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模教案1北

为模拟函数较好．点评：这是一个如何选取函数模型的问题，通过数学计算，得到最优方案，十分实用．总结：应用题的基本步骤。 1．数学应用题的能力要求：阅读理解能力；抽象概括能力；数学语言的运用能力；分析、解决数学问题的能力 2．解答应用题的基本步骤：合理、恰当假设；抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；分析、解决数学问题；数学问题的解向实际问题的还原。实习报告：下面，我通过例题可向大家说明了实习作业的基本要求和方法，并给出了实习报告的规范格式。接下来，我们可以讨论一下，在我们的日常生活中，有哪些函数知识被实际所应用。我们的实习活动以什么样的方式和方法来进行。希望大家畅所欲言。例 6. 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口数 y （万人）与年份 x （年）的函数关系式；（2）计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人（精确到 1 年）；分析：此题是一道关于人口的典型问题，计划生育是我国的基本国策，通过此题可以
2
答：复利函数式为 y a(1 r ) x ，5 期后的本利和为 1117.68 元．点评：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受．创建的函数模型是指数函数型．
例 5.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1 .2 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量
y2 g ( x) abx c ，
p q r 1, ab c 1, 2 根据已知，得 4 p 2q r 1.2, 及 ab c 1.2, 9 p 3q r 1.3, ab3 c 1.3,

北师大版高中数学必修1第四章《函数模型的应用实例》参考课件

②我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间 (A)
③我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速 (B)
离家距离
离家距离
离家距离
离家距离
0
时间
0
时间 0
时间 0
时间
A
B
C
D
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。
2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买
教学方法：导学法
复习一次函数与二次函数模型学习例1，提高读图、建模能力设计练习，加强读图、建模能力的培养学习例2，提高读表、建模能力设计练习，加强读表、建模能力的培养
小结方法，形成知识系统布置作业
1.一次函数的解析式为__y____k_x____b_(_k____0_ ), 其图像是一条__直__线，
函数模型的应用实例
教学任务分析 1.培养学生阅读图形、表格的能力。 2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型，解决
实际问题。 3.强化一次函数、二次函数在实际问题中的应用。 4.让学生充分体会解决实际问题中建立函数模型的过程。
教学重点与难点重点：如何结合题意，利用函数模型解决实际问题难点：如何才能准确提取题目的数据，建立相应的函数模型
当________时，一次函数在 (,) 上增函数，当_______时，
一次函数在 (,)上为减函数。
2.二次函数的解析式为___y___a_x__2___b_x___c_(_a____0_), 其图像是一条 4ac b2

高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教学案

§3.2.2 函数模型的应用实例在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：⑴能够根据原始数据、表格，绘出散点图．⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．教科书中已经给出了三个典型的实例，读者可以通过这些例题的学习基本掌握函数模型应用的处理方法.下面再通过一个实例，进一步熟练过程，提高函数模型应用的操作能力.例随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表．表1(住房)上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．解：⑴方案一：先购房后买车．为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元．设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）×月数＝1+(0.5-0.15-2l×0.005728)x，即y＝1+0.229712x，（x N）选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为u=15(l-1%)x×30％，即u=4.5×0.99x（x∈N）．，则刚买车后家庭的结余资金为y1=买车前家庭积累资金-首付汽车款y1＝(1+0.229712x)-4.5×0.99x，即买车后家庭的结余资金为：=-4.5×0.99x＋0.229712x+1（x∈N）．y1用计算机作出其图象：可知x=12.86时，y=0．1说明购房13个月后该家庭有能力买车．但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:因为按此方案，汽车贷款为15(l-1%)x70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支＝0.019347×15(l-1%)x70%＋21×0.005728+0.15+0.1，即买车后家庭月支出为：v=0.203144×0.99x+0.370288 （x∈N）．因此，还清汽车贷款时的家庭结余为＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出] ×五年y2＝y1+60[0.5-v]＝( -4.5×0.99x＋0.229712x+1)+60[0.5-(0.203144×0.99x+0.370288)]，＝-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272即还清汽车贷款时的家庭结余为y2=-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272 （x∈N）．用计算机作出其图象：可知x=20.75时，y2=0．综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．方案二：先买车后购房．为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄10万元）还剩资金5.5万元．同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金y3＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）×月数＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5×0.019347)xy 3=5.5+0.0468565x（x∈N，60≤x），而此时购房需首付y4=30×(1+0.8%)x30%=9×1.008x刚买后家庭的结余资金为5y，则5y=买房前家庭积累资金-首付房款＝y3－y4＝5.5+0.0468565x－9×1.008x，即买房首付后家庭的结余资金为：5y=－9×1.008x+0.0468565x+5.5（x N）．用计算机作出其图象：由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．。

4.2.2【教学设计】《用函数模型解决实际问题》(北师大)

?用函数模型解决实际问题?◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第2节的内容。

函数根本模型的应用是本章的重点内容之一，教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进展练习。

教科书中还渗透了函数拟合的根本思想。

通过本节学习让学生进一步熟练函数根本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力。

◆教学目标【知识与能力目标】能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。

【过程与方法目标】感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。

【情感态度价值观目标】体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。

◆教学重难点◆【教学重点】运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。

【教学难点】将实际问题转变为数学模型。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入局部大约在一千五百年前，大数学家孙子在?孙子算经?中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？〞这四句的意思就是：有假设干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三十五个头；从下面数,有九十四只脚,求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼〞问题的吗？你有什么更好的方法？二、研探新知，建构概念白板投影出上面实例。

介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，那么每只鸡和兔就变成了“独脚鸡〞和“双脚兔〞. 这样，“独脚鸡〞和“双脚兔〞脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝232.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型有一次函数模型(y =kx +b,k ≠0，b ≠0)、二次函数模型(y =ax 2+bx +c,a ≠0)、正比例函数模型(y =kx,k ≠0)、反比例函数模型(y =kx ,k ≠0、分段函数模型、指数函数模型(y =k(1+a)x ,k ≠0,a >−1且a ≠0)、对数函数模型(y =k log a x +b,k ≠0,a >0且a ≠1)、幂函数模型〔y =kx n +b,k ≠0,x >0〕。

高中数学第四章函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大

高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1的全部内容。

4.2。

1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：(１)培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。

（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理,得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

（３)通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

2．过程与方法:（１)通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系.（２)通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力.３．情感、态度与价值观：（１)体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡.（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程,感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用,领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】常用简单函数模型的应用。

【教学难点】实际问题的函数刻画化归。

【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发,学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》优质课教案_2

§4.2.3 《函数建模案例》教学设计一、教材分析课题：北京师范大学出版社数学必修1第四章《函数应用》第二节《实际问题的函数建模》第三课《函数建模案例》教学内容：数学建模是数学核心素养的重要内容，是数学学习的本质，掌握数学建模能促使学生用数学知识表达世界，改造世界。

本节课是在学生掌握了实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题的基础上，进一步学习函数建模案例。

本课通过创设问题情境，对问题进行分析、数学实验、函数模型建立与求解、模型的检验、练习巩固、总结提升，使学生理解和把握函数建模的一般过程。

在解决问题的过程中,使学生领会科学运用信息技术处理数据（例如画散点图、解方程组等），将数学与信息技术进行整合。

二、学情分析学生已经掌握了函数的概念，掌握了二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，逐步建立应用函数知识的能力。

本课是解决与实际生活密切相关的数学问题，学生表现出浓厚的学习兴趣，同学们的积极性和主动性都很高。

学生良好的学习兴趣是培育数学建模能力的重要基础。

但限于学生们对数学知识掌握的局限性，且综合应用意识、应用能力比较弱。

函数建模案例体现的是数学知识的实际应用，是函数学习的重要内容，而这又是大多数学生的数学学习的难点。

数学建模需要正确运用数学知识解决实际问题，通过数学建模的学习不断提高学生的分析问题能力、抽象概括能力，较好的全局运筹能力和局部处理能力，这些要求对学生的学习造成了一定的困难。

因此在教学中要循序渐进，同时学生还要掌握基本的信息技术知识，能利用信息技术处理一些简单的数学问题。

三、设计思想课程标准提出高中数学六大核心素养其中数学建模是其重要内容，因此课程设置要提供实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程，使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

2019-2020年高中数学4.2.2函数建模案例教学设计北师大版必修1

019-2020年高中数学422函数建模案例教学设计北师大版必修1导入新课思路1.（事例导入）一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v o，加速度为a,那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们的函数解析式，它们分别属于哪1种函数模型？v = V o+ at, s = v o t + 2at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例.思路2.（直接导入）前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.推进新课新知探究提出问题①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长•已知xx年为第一年，头4年年产量f（x）（万件）如下表所示：1°画出xx年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映.（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.2° xx年（即x = 7）因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%试根据所建立的函数模型，确定xx年的年产量应该约为多少？②什么是函数拟合？③阅读教材节约用气的案例，总结建立函数模型解决实际问题的基本过程.讨论结果：①1°如图15,设f (x) = ax + b,代入(1,4) , (3,7),]a+ b= 4, 得|3a+ b= 7,3 5 解得a = , b= ^.一3 5…f(x) = 2x+ 空.检验：f (2) = 5.5, |5.58 - 5.5| = 0.08 < 0.1 ;f(4) = 8.5 , |8.44 - 8.5| = 0.06 V 0.1.•••模型f(x) = j x + 5能基本反映产量变化.2° f (7) = 13,13 X 70%F 9.1,xx 年年产量应约为9.1万件.图15② 函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图, 解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.③ 建立函数模型解决实际问题的基本过程为：实廊情境ZIZ提出问题* --*数学摸型卒倉乎实亦—系列I然后选择函数模型并求出函数图16 应用示例例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元，每桶水的进价是 5 S76数学结果元•销售单价与日均销售量的关系如下表所示:解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶•设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480 —40( x- 1) = 520 —40x(桶)•由于x> 0,且520 —40x> 0,即0v x v 13,于是可得2y= (520 —40x)x—200 = —40x + 520x—200,0 v x v 13.易知，当x = 6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1) 如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2) 增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：(1)设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384 —4x件，机器台数为80+ x, 由题意有y= (80 + x)(384 —4x).2(2) 整理得y = —4x + 64X+ 30 720 ,由y = —4x + 64x+ 30 720 ,得y = —4( x —8) + 30 976 ,所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件.点评：二次函数模型是现实生活中最常见的数学模型例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：/kg52 0 2 6 15 5 5（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重的 1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导：根据表中的数据画出散点图. 观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线. 根据这些点的分布情况，可以考虑用y = a- b x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重ykg 与身高x cm 的函数关系.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图17）.根据点的分布特征，可以考虑用y = a - b x 作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.7.9 = a - b 70,如果取其中的两组数据（70,7.90） , （160,47.25），代入y = a - b ：得仮47.25 = a - b .用计算器算得a -2, b -1.02.这样，我们就得到一个函数模型： y = 2X 1.02 x .的关系.由计算器算得y ~ 63.98. 由于 78-63.98 ~ 1.22 > 1.2 , 所以这个男生偏胖.变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 浓度分别比1989年增加了 1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CQ 浓度增加的可比单位数 y 与年份增加数x 的关将已知数据代入上述函数解析式, 或作出上述函数的图像（图18），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高⑵将 x = 175 代入 y = 2X 1.02x，得 y = 2X 1.02 175,图17系，模拟函数可选用二次函数或函数y= a - b x+ c（其中a, b, c为常数），且又知1994年大气中的CQ 浓度比1989年增加了 16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？2解：⑴ 若以f (x ) = px + qx + r 作模拟函数，p + q + r = 1，则依题意得；4p + 2q + r = 3,〔9p + 3q + r = 6,1 :p= 2，解得 iq = 2， r = 0,i 2 i 所以 f (X )=g x + q X .(2)若以g (x ) = a • b x + c 作模拟函数，「ab + c = 1,2则 3 ab + c = 3,、ab 3+ c = 6,8 a \所以g (x ) = 3 •易丿一3.⑶ 利用f (x )、g (x )对1994年CQ 浓度作估算，则其数值分别为：f (5) = 15可比单位，g (5) = 17.25可比单位，1 2 1 一•/ | f (5) — 16| v |g (5) — 16|，故选f (x ) = ^x +歹作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近•思路2例1某自来水厂的蓄水池有 400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120.6t 吨，其中0W t < 24.(1) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2) 若蓄水池中水量少于 80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导. 思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题.8 a= 3,解得b =3, 2' c =— 3,解：设供水t小时，水池中存水y吨，则⑴ y = 400 + 60t —120 6t = 60( t —6)2+ 40(1 < t < 24),当t = 6 时，y min= 40(吨)，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨.⑵依条件知妙芬讦2+40<80JW t < 24,8 32 32 8解得「t＜亍，訂3 = &故一天24小时内有8小时出现供水紧张.例2某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本•若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0 v x v 1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5 x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8X，已知日利润=(出厂价一成本)X日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1) 写出y与x的关系式；(2) 为使日利润有所增加，求x的取值范围.解：⑴由题意，得y= [60 X (1 + 0.5 x) —40X (1 + x)] X 1 000 X (1 + 0.8 x)=2 000( —4x2+ 3x + 10)(0 v x v 1).y —即—牝XI(2)要保证日利润有所增加，当且仅当*0<x<1,—4x2+ 3x>0,即*0<x<1.解得0v x v 4.3所以为保证日利润有所增加，x应满足0 v x v -.4点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体.知能训练某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；⑵若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%).问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x€ N k)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y i,•••饲料的保管与其他费用每天比前一天少200X 0.03 = 6(元).••• x天饲料的保管与其他费用共有26(X—1) + 6(x-2) +…+ 6 = 3x —3x(元).从而有3x2—3x+ 300) + 200X 1.8 =罟+ 3x + 357,y1=-(：可以证明y i= F 3x + 357,在(0,10)上为减函数，在(10 ,+^)上为增函数.x•••当x= 10时，y有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x>25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2,贝U1 2 300y2= (3x —3x + 300) + 200X 1.8 x 0.85 = + 3x+ 303( x>25).x x•••函数y2在［25，+s)上是增函数，•••当x= 25时，y2取得最小值为390.而390V417，•该厂应接受此优惠条件.拓展提升如何用函数模型解决物理问题？例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a, a2,…,a n共n个数据，我们规定所测量的物理量的"最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a, a3,…，a n推出的a= _________________________ .活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题.2 2解：由题意可知，所求a应使y= (a—aj +…+ (a—a n)最小，丄十 2 …x 2 z 2 2 2、由于y= na —2(a1 + a2 +…+ a n) a+ (a1+ a2+・・・+ a n).若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n>0, 二次函数f (a)的图像开口方向向上，1当a = -(a1 + a2+・・・+ a n)时，y有最小值，n1所以a= (a i+ a2+・・・+ a n)即为所求.n点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y = (a—a i)2+ (a—a2)2+^+ (a—a n)：然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.课堂小结1•巩固函数模型的应用.2•初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题.作业习题4—2 B组1,2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；思路1例1是函数模型的应用，例2是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注. 本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.备课资料［备选例题］【例1】某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q单位：件)的函数，满足关系式：400Q-比，O W QC 400,R= f(Q = i 280 000 , Q>400,求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？300Q-20 000 , 0W Q W 400,解：y= R—100Q-20 000 = 2(Q€ Z).〔60 000 - 100Q, Q>4001 2(1)0 W Q W 400 时，y = —2( Q- 300) + 25 000 ,•••当Q= 300 时，y max= 25 000.(2) Q> 400 时，y = 60 000 —100Q< 20 000 ,•••综合⑴(2)，当每年生产300件时利润最大为25 000元.【例2】康成塑料制品厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测作依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y= ax2+ bx+ c或函数y = a • b x+ c(其中a, b, c为常数，a*0),已知4 月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由.解：若模拟函数为y = ax2+ bx+ c,"a+ b+ c = 1,由已知得4a+ 2b+ c = 1.2 ,9a+ 3b+ c = 1.3 ,[a=—0.05 ,解得皆0.35 ,2= 0.7.则有y=—0.5 x2+ 0.35 x + 0.7 ,因此当x = 4时，y = 1.3.若模拟函数为y= a • b x+ c,ab+ c= 1,由已知得ab2+ c= 1.2 ,ab3+ c= 1.3 ,fa=—0.8 ,解得S b= 0.5 ,c = 1.4.x则有y= —0.8 X 0.5 + 1.4 ,因此当x = 4时，y = 1.35.•/ 1.35 比1.3 更接近1.37 ,•应将y = —0.8 X 0.5 x+ 1.4作为模拟函数.2019-2020年高中数学4.2.2圆与圆的位置关系全册精品教案新人教A版必修2(一)教学目标1 •知识与技能(1)理解圆与圆的位置的种类；(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.2. 过程与方法设两圆的连心线长为I，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当I > r i+「2时，圆G与圆G相离；(2)当I = r i+r2时，圆G与圆C2外切；(3)当| r i - T v l v r i+r2时，圆C与圆C2相交；(4)当I = | r i -中时，圆C与圆C2内切；(5)当I v | r i - r2|时，圆C i与圆C2内含.3. 情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想(二)教学重点、难点重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系(三)教学设想备选例题__ 2 2 2 2 2例1 已知圆G：x + y - 2 mx+ 4 y + m - 5 = 0 ，圆C2：x + y + 2 x - 2 my+m - 3 = 0 , m为何值时，(1)圆C与圆C2相外切；(2)圆C与圆C2内含.【解析】对于圆G,圆C2的方程，经配方后2 2 2 2G: (x - m + ( y + 2) = 9 , G: (x + 1) + ( y - m) = 4.(1)如果G与G外切，则有，所以m + 3 m - 10 = 0，解得m= 2 或-5.(2)如果G与G内含，则有，所以m + 3 m+ 2 v 0，得-2 v m<- 1.所以当m= - 5或m= 2时，G与G外切；当-2v n v- 1时，G与Q内含.例2 求过直线x + y + 4 = 0 与圆x + y + 4 x - 2y - 4 = 0 的交点且与y = x 相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2+ y2+ 4 x - 2 y - 4 + ( x + y + 4) = 0.l y = x联立方程组¥2 2l x - y 4x —2y「4：：U(x y 4) =0得：.因为圆与y = x相切，所以=0.即故所求圆的方程为x2+ y2+ 7 x + y + 8 = 0.2 2 2 2例3 求过两圆x + y + 6 x - 4 = 0 求x+y + 6 y - 28 = 0 的交点，且圆心在直线x - y - 4 = 0上的圆的方程.【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(-3, 0)和(0，- 3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.i解得八2所以所求圆的圆心坐标是设所求圆的方程是x2+ y2- x + 7 y + 由三个圆有同一条公共弦得m= - 32.故所求方程是X2+ y2- x + 7 y - 32m= 0 0.。

高一数学北师大版必修1教学教案第四章2-3函数建模案例(1)

《函数建模案例》教学设计【教材分析】本节课来自于北师大版高中数学必修一的第四章第二节，是在学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数之后，通过实例让学生感受到函数在实际中的应用。

通过本节课的学习，使学生能从实际情境中抽象出数学模型，培养了学生数学抽象，数学建模的核心素养，在学生收集数据，选择模型的过程中体现了数据分析，直观想象的核心素养，在学生求解模型、完善模型的过程中，渗透数学运算、逻辑推理的核心素养，总之通过建模过程，使学生体验数学建模的思想，培养学生数学核心素养，又强化学生应用数学的意识，也提高了学生的创新精神和应用数学的能力。

同时，本节课的内容为以后学生学习线性相关关系和回归分析做了很好的铺垫．【学情分析】学生通过前面的学习，已经理解了函数的概念，掌握基本初等函数的图象和性质，对函数知识有初步的应用能力．学生能用数学知识描述问题，能用数学模型解决实际问题，这为本节课的学习奠定了知识基础．而高一的学生数学建模能力较弱，不善于将实际问题抽象为数学问题来解决．因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析，在运用数学知识解决实际问题中，培养学生的数学建模和数学探究能力，渗透数学核心素养。

【设计理念】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准的基本理念之一。

为了践行该教学理念，在安排学生学习了基本初等函数后，学习本节内容，让学生经历把数学知识应用于生活实际的建模过程，目的是巩固函数概念，体现函数价值，强化学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力，增强学生的数学核心素养。

【教学目标】1.会从实际情境抽象出数学问题，建立恰当的函数模型并求解。

2.经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会数形结合的思想、函数与方程的思想、从特殊到一般的数学思想.3.通过运用信息技术画散点图，求拟合函数等，了解信息技术在解决数学问题中的辅助作用。

3.通过建立数学模型的过程，培养学生数学抽象、直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》示范课课件_3

b=
55 5
• c = 6850 3
因此得到 y = 250 55× ( 3
55)x
+
6850 3
5
师:还有求出其他指数函数解析式吗?
部分同学用以下几组点 (2,4000),(4,4500),(6,5200);(3,4300),(5,480 0),(7,6200)代入y=abx＋c.分别求得:
• a= 6250 7
2016年房价进行调查得到的数据：
能否从表中发现2010-2016年蚌埠房价增长的规律呢? 3.2 引导学生活动探究规律师:记从2010起第x年(2010年为第一年)的蚌埠房价为y(元/平方米),你能建立适当的函数模型, 使它能比较近似反映y与x的函数关系吗？师:请同学们在直角坐标系中描出表示y与x关系的点.请生1到黑板上画.其余同学在下面画.
• (1,3200),(6,5200)代入求得的解析式分别为y=550x＋ 2650; y =300x+3400; y = 400x＋2800.
生3 板演把点(1,3200),(3,4300),(5,4800) 分别代入y = abx＋c.列方程组求a,b,c得结果如下
• a= 250 55 3
•
师:观察以上散点图,可以选择什么样的函数模型来模拟这个实际问题呢？这时我在黑板上给出以下三种函数模型: 一次函数模型 y = kx＋b(k≠0) 二次函数模型 y = ax2 ＋ bx＋c(a≠0) 指数函数模型 y = abx＋c
生2:由于散点图与一次函数图象比较接近，所以用一次函数模型.
比如二套房限购,限售、提高房贷利率等.也就是说,房价除了受到以上因素影响,还受到国家政策的影响. • 于是学生很轻松的总结出我们得到的函数模型也不能解释蚌埠市将来房价的理由. • (现代的教学不能拘泥于课本的教学,教学过程中要注重对学生良好思维品质的培养,通过这些问题的设置及解决不但完成了本节课数学知识任务的教学也拓宽了学生的知识面.)

高中数学第四章函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1

4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。

（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

2．过程与方法：（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。

（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。

３．情感、态度与价值观：（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。

（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】常用简单函数模型的应用。

【教学难点】实际问题的函数刻画化归。

【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【课前准备】①多媒体课件；②坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．[课堂引入]有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。