球体积公式(数学史)
数学史选择题集锦知识分享
数学史选择题集锦1、首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。
A. 塔塔利亚B. 卡尔丹C. 费罗D.费拉里2、最先建立“非欧几何”理论的数学家是( B )。
A. 高斯B. 罗巴契夫斯基C. 波约D. 黎曼3、提出“集合论悖论”的数学家是( B )。
A.康托尔B.罗素C.庞加莱D.希尔伯特4、( 泰勒斯 )在数学方面的贡献是开始了命题的证明，被称为人类历史上第一位数学家A. 阿基米德B. 欧几里得C. 泰勒斯D. 庞加莱5、数学史上最后一个数学通才是( B )A、熊庆来B、庞加莱C、牛顿D、欧拉7、当今数学包括了约 A 多个二级学科。
A、400B、500C、600D、700。
1、秦九韶是“宋元四大家”之一，其代表作是（）。
（A）九章算术（B）九章算术注（C）数书九章（D）四元玉鉴2、下面哪位数学家最早得到了正确的球的体积公式（）。
（A）欧几里得（B）祖冲之（C）刘徽（D）阿基米德3、古代几何知识来源于实践，在不同的地区，不同的几何学的实践来源不尽相同，古代埃及的几何学产生于（A）测地（B）宗教（C）天文（D）航海4、“零号”的发明是对世界文明的杰出贡献，它是由下列国家发明的（）。
（A）中国（B）阿拉伯（C）巴比伦（D）印度5、最早发现圆锥曲线的是下列哪位数学家（）。
（A）欧几里得（B）阿波罗尼奥斯（C）毕达哥拉斯（D）梅内赫莫斯6、下列哪位数学家提出猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和（）。
（A）费马（B）欧拉（C）哥德巴赫（D）华林7、下列哪位数学家首先证明了五次和五次以上的代数方程的根式不可解性（）。
（A）拉格朗日（B）阿贝尔（C）伽罗瓦（D）哈密顿8、在非欧几何的先行者中中，最先对“第五公设能由其他公设证明”表示怀疑的数学家（）。
（A）克吕格尔（B）普罗克鲁斯（C）兰伯特（D）萨凯里9、下列数学家中哪位数学家被称作“现代分析学之父”（）。
（A）柯西（B）魏尔斯特拉斯（C）康托尔（D）黎曼10、在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（）。
数学史
1、简述数学的文化特点。
正确答案：数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识；数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向；数学是创造性活动的结果，追求艺术和美的特征。
2、简述欧几里德《原本》中所确立的公理化思想。
正确答案：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。
（2分）这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，（2分）而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。
这就是所谓的公理化思想。
3、简述数学符号化在近代的发展过程。
正确答案：【数学符号系统化首先归功于法国防大学数学家韦达，由于他的符号体系指点入导致代数性质上产生重大变革。
（2分）吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德的《实用分析术》继承了韦达的做法，使采用数学符号的风气流行起来。
（2分）笛卡尔对韦达所使用的代数符号进行了改进】3简述解析几何的基本思想。
正确答案：【解析几何的基本思想是在平面内引进所谓“坐标”的概念（2分）。
借助这种坐标概念，把平面上的点和有序实数对（x,y）之间建立一一对应的关系，即：每一对实数（x,y）都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标（x,y）。
（3分）这样，可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
】5、在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（）正确答案：【周脾算经】6、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期的()正确答案：【赵爽】7、发现不可公度量的是（）正确答案：【毕达哥拉斯学派】8、世界上第一个把π计算到3.11415926<π<3.1415927的数学家是（）正确答案：【祖冲之】9、几何原本的作者是（）正确答案：【欧几里得】10、世界上讲述方程最早的著作是（）正确答案：【中国的九章算术】11、人类关于数概念的认识大致经历过身体指代、集合指代、刻痕记事、语言表达、（）等五个阶段。
称出来的体积公式——球体积公式
称出来的体积公式——球体积公式两千多年前，发生了这样一个故事。
杠杆原理的发现者——古希腊科学泰斗阿基米德，利用杠杆原理＂称”出了球体积公式。
用一根长为球直径2倍的长杆，即为4r的杆，确定一个支点N。
将杆的中点支于支点。
两端点设为S、T。
NT的中点为O。
以O为心，以球半径r为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。
这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。
在离支点x处切一铅直狭条，宽度记为Δx。
旋转后得到的是厚为Δx的圆盘。
这些薄片体积的近似值分别是：球部分：πx(2r-x) Δx，圆柱部分：πr2Δx，圆锥部分：πx2Δx。
阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端点T，它们的合力矩（重力×重力臂）为2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx=4x·(πr2Δx)这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。
把从N到T所有割出的薄片加在一起，将球和圆锥用绳子吊在S点，其力臂是2r，把圆柱的重心吊在O点，它的力臂是r。
它们的力矩也应满足4倍关系，即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡，于是2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。
已知8πr3，圆锥体积=3圆柱体积=2πr3，代入后立得4πr3。
球体积=32。
由此公式可得球体积是它的外切正圆柱体积的3多么精彩的方法。
竟然用秤称出了球的体积公式。
当然阿基米德在秤得球体积公式以后，仍然用数学方法严密地证明了他的发现。
阿基米德的方法启示我们，数学定理与公式蕴藏在现实世界之中，它们往往与物理、化学、生物学…的规律联系在一起，我们可以通过物理的、化学的、生物的方法去发现它们。
我国古代数学家对球体积公式也有研究。
西汉末年成书的《九章算术》中，已经记载着柱、锥、台、球等各种体积的计算问题。
除了球以外，其他各体积公式都和现在一致。
由于球的体积比较3πR3，它难求，当时未能找到正确公式。
中国古代球体积公式的历史
图5 如图 5，考虑位于第一象限的八分之一即可。假设“牟合方盖”外接正方形的边长为 r ， 也同样地为其内接球的半径。 r
图6 如图 6，四边形 ABCD 为一个正方形， “勾股定理”得到 CO CB BO ，也就是说
2 2 2
r 2 h 2 CB 2
（1）
r 2 也表示底面大的正方形的面积， CB 2 表示的是正方形 ABCD 的面积，也就是说 h 2 表示
V球体 V牟合方盖
4
图1 图2 “牟合方盖” ，分离出来就如图 2 所示，从语言的角度上来说， “牟”就是相等， “盖”表 示伞；从外形看，其很像上下相合的两把雨伞，故取名为“牟合方盖” 。其实最早证明球体 积与表面积的人可能是阿基米德，他收录了他致伊拉托尼的一封信，里面就涉及到了“牟合 方盖” 这一个模型。 历史学家并没有兴趣去讨论在东亚的刘徽是否曾经读过来自地中海的阿 基米德的著术，但我们或许可以假设这两位古代数学家都是独立地想到同一个有趣的例题。 要发挥“牟合方盖”的作用，还要知道一个原理，即“刘徽原理” ：等高的两立体，在等
中国古代球体积公式的历史 黄越 （华东师范大学数学系 10141530121） 摘要：本文叙述了中国古代从刘徽到祖暅通过不断努力，最后通过“牟合方盖”推导出了 正确的球体积公式。并且诞生了伟大的“祖暅原理” ，还另外补充了阿基米德的证明方法， 指出祖暅和阿基米德两人证明的原理上是一样的。 关键词：刘徽、祖暅、牟合方盖、祖暅原理、阿基米德 球是一种完美的几何体， 在中国甚至是世界古代， 人们无时无刻不想探讨出球的表面积和 体积的计算公式，但是最后往往都无功而返。汉代以前，人们测得直径为一寸的金球与边长 为 1 寸的金立方体，其重量分别为 9 两和 16 两，由此得出两者的体积之比为 9:16，从而得 到近似公式：
数学史参考资料B
一、选择题：（一）单选题：（每小题2分，下面每个题目有一个正确的答案，请选出正确答案的序号填在括号中）1、秦九韶是“宋元四大家”之一，其代表作是（）。
（A）九章算术（B）九章算术注（C）数书九章（D）四元玉鉴2、下面哪位数学家最早得到了正确的球的体积公式（）。
（A）欧几里得（B）祖冲之（C）刘徽（D）阿基米德3、古代几何知识来源于实践，在不同的地区，不同的几何学的实践来源不尽相同，古代埃及的几何学产生于（）。
（A）测地（B）宗教（C）天文（D）航海4、“零号”的发明是对世界文明的杰出贡献，它是由下列国家发明的（）。
（A）中国（B）阿拉伯（C）巴比伦（D）印度5、最早发现圆锥曲线的是下列哪位数学家（）。
（A）欧几里得（B）阿波罗尼奥斯（C）毕达哥拉斯（D）梅内赫莫斯6、下列哪位数学家提出猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和（）。
（A）费马（B）欧拉（C）哥德巴赫（D）华林7、下列哪位数学家首先证明了五次和五次以上的代数方程的根式不可解性（）。
（A）拉格朗日（B）阿贝尔（C）伽罗瓦（D）哈密顿8、在非欧几何的先行者中中，最先对“第五公设能由其他公设证明”表示怀疑的数学家（）。
（A）克吕格尔（B）普罗克鲁斯（C）兰伯特（D）萨凯里9、下列数学家中哪位数学家被称作“现代分析学之父”（）。
（A）柯西（B）魏尔斯特拉斯（C）康托尔（D）黎曼10、在现存的中国古代数学着作中，最早的一部是（）。
（A）九章算术（B）周髀算经（C）墨经（D）孙子算经（二）多选题：（每小题3分，下面每个题目有多个正确的答案，请选出正确答案的序号填在括号中，多选，少选均不得分）1、在几个古代文明地区几何早期起源主要有以下哪些方面（）。
（A）测地（B）宗教（C）天文（D）航海（E）水利2、把“0”看成数域中一个元素可以独立施行运算的数，有下列哪些数学家（）。
（A）毕达哥拉斯（B）阿基米德（C）婆罗摩笈多（D）婆什迦罗（E）花拉子米3、下列哪些数学家对三、四次方程代数解法作出了贡献（）（A）塔塔利亚（B）花拉子米（C）卡尔丹（D）费拉里（E）吉拉德4、19世纪末希尔伯特第一次明确地提出了选择和组织公理系统原则是（ ）。
HPM视角下的小学数学教学
HPM视角下的小学数学教学在数学教学中，椭圆概念是一个重要的知识点，对于学生的数学思维和实际问题解决能力的培养具有重要意义。
从HPM（History and Problem of Mathematics）视角来看，椭圆概念的教学不仅涉及到数学知识的传授，还与数学历史和现实问题密切相关。
本文将探讨HPM 视角下椭圆概念教学的意义。
椭圆概念的教学过程中，融入数学史的内容可以让学生了解椭圆概念的发展历程和演变。
通过了解前人的探索过程和思考方式，学生可以更好地理解椭圆的本质和重要性。
同时，数学史的引入也可以激发学生对数学的兴趣和好奇心。
椭圆概念的教学不仅让学生掌握椭圆的定义和性质，更重要的是培养学生的数学思维和问题解决能力。
通过引导学生观察、分析、归纳椭圆的特征，教师可以帮助学生建立数学模型，培养他们的观察力和分析能力。
同时，通过让学生解决与椭圆相关的实际问题，可以锻炼他们的应用能力和问题解决能力。
在椭圆概念的教学过程中，融入数学文化的元素可以提高学生的数学素养。
通过了解椭圆在数学历史中的发展和应用，学生可以更好地理解数学与人类文明的关系。
同时，椭圆概念的演变过程可以让学生感受到数学的严谨性和逻辑性，培养他们的数学审美观。
HPM视角下椭圆概念教学具有重要的意义。
通过融入数学史和现实问题，教师可以帮助学生更好地理解椭圆的本质和重要性，培养他们的数学思维和问题解决能力。
数学文化的元素可以提高学生的数学素养，让他们更好地理解数学与人类文明的关系。
因此，在椭圆概念的教学中，教师应该注重HPM视角的引入，为学生提供更丰富、更具实际意义的教学内容。
在数学教学中，如何帮助学生理解并掌握复杂的数学概念和公式，一直是教师们的焦点。
特别是在等比数列求和公式的教学中，如何将这一抽象的数学概念具体化，使学生能够更好地理解和应用，是数学教师需要解决的重要问题。
HPM（History and Problem Oriented）视角为这一难题提供了新的解决思路。
《数学史》从刘徽到祖冲之
中国古代数学的发展
▪
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数
学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。
▪ 他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过 程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周 率为 157/50和 3927/1250。
中国古代数学的发展
▪ 据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个 结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在 圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；
中国古代数学的发展
▪
祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高
中国古代数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的发展
▪ 唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等 编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算 经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、 《九章算术》以和《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家 创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。
《数学史》从刘徽到祖冲之
中国古代数学的发展
▪
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的
“勾股圆方图和注”和“日高图和注”是十分重要的数学文献。
第3讲,中国数学(汉唐篇)
（2）乘法表 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献
中已有乘法口诀。次序与现代不同，由“九 九八十一”开始。因此又称乘法口诀或乘法 表为“九九”，这种次序流行了一千六、七 百年，直到南宋初才改为现今的顺序。
（3）战国技术手册《考工记》中的分数运算 “少半”：1/3；大半：2/3；半：1/2
（4）名家的思辨
宋 刻 本 《 九 章 算 术 》 书 影
《九章算术》的特点：
采用按类分章的数学问题集的形式； 算式都是从筹算记数法发展起来的； 以算术、代数为主，很少涉及图形性质； 重视应用，缺乏理论阐述等。
《九章算术》的内容：
第一章，「方田」：
平面图形面积的量法及算法，如矩形、三 角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式， 及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母， 分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约 分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平 均数等
包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面 积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的 引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般 二次方程解法等。
• 约分术：副置分母、子之数，以少减多，
更相减损，求其等也。以等数约之。
49
7
91
13
49 49 7 7 91 42 42 7
比例算法
• a:b=c:x
所有率 : 所求率 = 所有数 : 所求数
第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现
在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、 夹叉求零点、双假设法等。 第八章，「方程」：
有关一次方程组的内容，最后还有不定方 程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方 程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的 方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性 变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法 和正负数的加减法则。
球体积公式(数学史)
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿基米德突破希腊古 阿基米德这一成果， 典时期几何定性研究的 被古代传记作家普鲁塔 传统，重视定量研究， 克说：“几何学中不可 发现了球、球缺、椭球 能找到更难做的问题， 体体积公式及抛物线弓 也不可能找到更简练、 更清楚的陈述和证明。” 形面积公式，并给予严 格证明。
学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容 异” ——中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法” ——古希腊学者对球体积公式的发现与证明 三、异曲同工、弹奏千古名篇
——球体积公式与古代数学研究传统
牟合方盖
开立圆术的分解
(1)
(２ )
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖
冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可
谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究
之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数
4. 问题求解与因果论证
5. 几何代数化与微积分的应用
球体积公式的发现与证明
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。
（３）
正方体内切正交圆柱图
牟合方盖图
球体积公式的经典证明
球体积公式的经典证明作者：吴朝阳来源：《中国科技教育》2015年第03期将我国的战国时期与古希腊作比较研究是一件很有意义的事，那个时期的中西方在很多方面是很相像的。
以古代哲学为例，古希腊哲学中有“四元素说”，认为天下万物由水、火、土、气四大基本元素构成。
在中国，八卦中的四个正卦是天、地、水、火，恰好与四元素相对应。
对古希腊哲学的进一步考察可以发现，这一派哲学思想与阴阳八卦说其实颇为相似。
古代数学的中西方比较则更加有趣，与《墨子》、《九章算术》等传世文献相参证，近些年重见天日的岳麓书院藏秦简《数》、张家山汉简《算数书》等秦至汉初的竹简数学书证明：战国时期我国的数学与古希腊数学在知识范围、证明方式及具体结果方面，都几乎完全一致。
大体上说，双方都以整数的比例为主要代数工具，以割补法为几何证明的主要手法，得到了关于自然数及分数的主要古典成果，三角形及圆的主要公式，以及关于锥、柱、台的体积公式。
更有意思的是，中西方的不足之处也一样：在欧几里得所处的时代，双方都没有办法得到球的体积公式，也没有能够求得圆周率的高精度近似值。
也正是由于这个原因，推求球体的体积公式与求圆周率的高精度近似值一样，成为此后数百年里中西方古代数学领域的重要问题。
在确立球体积公式方面，中西方都做出了很有意思的工作。
西方的球体积公式由阿基米德于公元前200余年率先得到，而据唐初李淳风的记述，祖冲之的儿子祖暅之（后文依学界习惯称为祖暅）用刘徽提出的方法第1个推导出了正确的球体积公式。
这个问题的解决，虽然中国比西方迟了六七百年，但中西方2个证明都非常非常精彩。
因此，我们将在下文具体介绍这2个证明。
需要在这里说明的是，阿基米德原本用“物理”的方式来阐述他的证明，我们改用意思等价的“数学”方式来表述。
阿基米德证明球体积公式的做法祖暅的证明但是，这个公式是由错误的理论推导出来的错误结果。
据记载，这个公式具体的推导过程是：“因为正方形与内切圆的面积比为4/3，而球横竖都是圆形的，所以正方体与内切球的体积比为4/3的平方，因而球体积等于以其直径为边长之正方体体积的9/16。
祖冲之
祖冲之家世与生平祖冲之（429—500），是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械发明家。
字文远，范阳郡遒县（今河北涞源）人，刘宋元嘉六年（429）生于建康（今江苏南京）。
曾祖父祖台之，东晋时曾任侍中、光禄大夫等要职。
祖父祖昌任刘宋大匠卿，是主管土木工程的官员。
父亲祖朔之为奉朝请，学识渊博，很受时人敬重。
祖氏家庭的历代成员有较高的科学素养，大都对数学和天文历法有所研究。
祖冲之自幼受到科学气氛的薰陶和良好的家庭教育，青年时代曾到华林学省专门从事学术研究。
后来步入仕途，先后在刘宋朝和南齐朝担任南徐州（今江苏镇江）从事史、公府参军、娄县（今江苏昆山）令、谒者仆射、长水校尉等官职。
任职期间，曾写过《安边论》等讨论屯田、垦殖等方面应采取的政策的政论性文章。
晚年，齐明帝曾令他巡行四方，兴造大业，以利百姓，但因发生战争而作罢。
这时他已是风烛残年，老死将至，不久后即于南齐永元二年（500）逝世，享年七十二岁。
祖冲之从很小的时候起便对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。
他“专功数术，搜炼古今”，广泛收集从上古时代起直到6 世纪他生活的时代止的各种文献资料，进行了认真的考察。
他还“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，在公余之暇坚持进行天文观测和数学计算，积累了大量的新资料。
经过深入研究，他终于在数学、天文学和机械制造、交通工具等领域，获得许多极有价值的新成果，攀登上了他生活时代的科学技术高峰。
关于圆周率的计算祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。
中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。
这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。
但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。
随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。
因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。
在中国，据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是。
球体横截体积 r h 祖暅原理
球体横截体积 r h 祖暅原理
（最新版）
目录
1.球体横截体积公式
2.祖暅原理
正文
1.球体横截体积公式
球体横截体积是指一个球体被一个平面所切割的部分的体积。
球体的体积公式为 V=4/3πr，其中 r 是球体的半径。
当我们用一个平面去截球体时，截面的形状是一个圆，而这个圆的半径就是球体半径与平面距离的差值，记作 h。
所以，球体横截体积的公式可以表示为 V=πrh。
2.祖暅原理
祖暅原理，又称祖暅定理，是我国古代数学家祖暅提出的一个关于球体体积的著名原理。
祖暅原理的内容是：设一个球体的半径为 r，用一个平面去截球体，所得的截面圆的面积为πr，截面圆的周长为 2πr，那么球体被平面所切割的部分的体积就等于截面圆的面积乘以平面到球心的距离，即 V=πrh。
祖暅原理在我国古代数学史上具有重要地位，它为球体体积的计算提供了一种简便方法。
同时，祖暅原理也为后世的数学家们提供了启示，使得他们在研究立体几何时能够发现更多的规律。
总之，球体横截体积公式和祖暅原理为我们理解和计算球体体积提供了重要依据。
第1页共1页。
勾股定理、圆面积与球体积公式背后的数学史实
数学与软件科学学院 数学简史
20
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯本人以发 现勾股定理著称，其 实这个定理早为巴比 伦人和中国人所知， 不过最早的证明应归 功毕达哥拉斯。又由 此导致不可通约量的 发现。
数学与软件科学学院 数学简史
21
第一次数学危机
毕达哥拉斯认为任何量都可以表示成两个整数之比（ 某个有理量） 在几何上即指：对于任何两条给定的线段，总能找到 某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划 分为整数段。称这两条线段为“可公度量” 分为整数段。称这两条线段为“可公度量”。 但是，毕达哥拉斯学派后来发现：并不是任意两条线 段都是可公度的。存在不可公度线段。 例如，正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段 即不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形 ——不可通约悖论 不可通约悖论——数学史上的第一次危机 不可通约悖论 数学史上的第一次危机
数学与软件科学学院 数学简史
6
东西方的发展的不同线索
分成两条线索： 分成两条线索：
（一）勾股定理 1.中国 ——勾股定理 中国 勾股定理 2.古希腊 古希腊——毕达哥拉斯定理 欧几里得的贡献 毕达哥拉斯定理,欧几里得的贡献 古希腊 毕达哥拉斯定理 （二）圆面积的计算 1. 中国 中国——刘徽、祖冲之 刘徽、 刘徽 2.古希腊 古希腊——阿基米德 古希腊 阿基米德 球体积的计算——祖冲之父子 （三）球体积的计算 祖冲之父子
数学与软件科学学院 数学简史
23
亚历山大时期——欧几里得与几何《原本》
《原本》，原意是指一学科中具有 原本》 广泛应用的最重要定理。 广泛应用的最重要定理。欧几里得 在这本原著中用公理法对当时的数 学知识作了系统化、 学知识作了系统化、理论化的总结 全书共分13卷 书中包含了5条 。全书共分 卷。书中包含了 条“ 公理” 公理”、5条“公设”、23个定义和 条 公设” 个定义和 465个命题。构成了历史上第一个数 个命题。 个命题 学公理体系。在每一卷内容当中， 学公理体系。在每一卷内容当中， 欧几里得都采用了与前人完全不同 的叙述方式，即先提出公理、 的叙述方式，即先提出公理、公设 和定义， 和定义，然后再由简到繁地证明它 们。这使得全书的论述更加紧凑和 明快。 明快。
数学史复习资料1
1．英国哲学家培根将数学分为：纯粹数学和混合数学。
2．笛卡儿以为：凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。
3．恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
4．巴比伦楔形数字采用六十进制，玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系。
（P14）5．古代几何学起源于哪几个方面？○1古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。
○2古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关。
○3古代中国几何学起源更多的与天文观测相联系。
6．古埃及数学的特点？a)古埃及数学是实用数学。
b)古埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证。
7．古埃及数学衰落的原因？a)埃及文明在历代王朝更迭中表现出一种静止的特性，这种静止的特性也反映在埃及数学的发展中。
b)加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。
c)古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩。
8．如何评价美索不达米亚数学？（p31）答：1)美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。
2)美索不达米亚人长于计算。
3)美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。
4)美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度，在美索不达米亚泥版文书中已有三次方程的例子。
5)美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算。
总的说来，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样主要是解决各类具体问题的实际知识，处于各类算法的原始积累时期。
几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。
埃及纸草书和巴比伦泥版文书中汇集的各种几何图形的面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。
9．毕达哥拉斯学派的数学成就？（P32 ）1)勾股定理的发现和证明；2）正多面体作图；3）在数论方面的成就；4）关于形数的研究。
10．什么是“完全数”、过剩数和不足数？(p36)答：一个数是完全数、过剩数还是不足数，分别视其因数之和等于、大于或小于该数本身而定。
数学史
刘徽的数学人生摘要：本文首先简介刘徽的背景，然后从介绍刘徽的主要著作《九章算术注》和《海岛算经》及其产生，再之分别从代数、算术、几何三方面阐述刘徽在数学上的贡献和刘徽的贡献对后来人们研究数学的影响，最后讲明刘徽的贡献对当今数学教育的影响。
关键词：刘徽数学贡献数学著作刘徽，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，是中国数学史上非常伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出地位。
他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思维敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。
他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。
他虽然地位低下，但人格高尚。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
《九章算术》是我国古代数学园地中的一朵奇葩。
它的内容之丰富，水平之高,影响之大，堪称中国古代数学著作之最，可与欧几里得的《几何原本》媲美。
只是这部伟大的数学著作叙述得比较简略，特别是未能说明公式的来源或推导过程，因此令人费解。
魏晋时期数学家刘徽“幼习《九章》，长再详览。
观阴阳之割裂,总算术之根源，探嗽之暇遂悟其意。
”他在掌握《九章算术》全部内容的基础上，以他深厚的数学功底，卓越的数学才能,历尽艰辛，给《九章算术》作了全面、系统的注释。
在注释中，他不仅对一些公式和定理给出了逻辑的证明，还对一些概念给出了严格的定义，因而创立了完整的数学理论，使这部中国古代的数学著作熠熠生辉。
公元263（魏景元四年），刘徽的《九章算术注》终于问世了，书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。
《海岛算经》由刘徽于魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。
唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。
研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。
有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。
立体几何公式总结
立体几何公式总结立体几何，又称立体几何学，是数学中一门研究空间几何结构和变换的学科。
人们通过探索和研究空间几何从而获得几何知识和几何技能，以及通过几何技能来更好地理解空间关系的能力。
立体几何不仅仅是为了学习几何知识而创造的，它还能够用来解决复杂的实际问题，比如建筑设计、机器人技术、地质勘探等。
在几何理论的发展历史上，立体几何主要是欧几里德于公元前四世纪末提出的，他在《几何原本》中提出了空间距离，变换，以及垂直于两线段的规律，这些都是立体几何的基础。
欧几里德由此创立了空间几何学，开创了数学史上的新纪元。
此后，许多数学家和几何学家都延续和改善了欧几里德的理论，其中著名的代表人物有哥白尼、牛顿、科学家们等。
立体几何通常被归类为初等几何学，有时也被归类为中等几何学，重点探究空间几何问题，其中包括三角学、圆锥体学、球学、投影学、视线学等空间几何问题。
一般情况下，我们可以从以下几种方式总结立体几何的相关理论：一、距离公式。
距离公式用于测量两个点之间的距离，公式如下： d=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)其中，x1，y1，z1分别表示第一个点的横纵坐标，x2，y2，z2分别表示第二个点的横纵坐标。
二、体积公式。
这是用于计算物体体积的常见公式，其中有三种形式：1、立方体体积公式：V=a^3 (其中a表示立方体的边长)2、圆柱体体积公式：V=πr^2h (其中r表示圆柱体的底面半径，h表示容器的高度)3、球体体积公式：V=4/3πr^3 (其中r表示球体的半径)三、面积公式。
面积公式是用于计算物体面积的概念，其中有多种形式：1、三角形面积公式：S=1/2ab (其中a、b分别表示三角形的两条边长)2、圆形面积公式：S=πr^2 (其中r表示圆形的半径)3、矩形面积公式：S=ab (其中a、b分别表示矩形的长宽)4、平面圆弧面积公式：S=πr^2α (πr^2表示弧度所在圆形的面积，α表示弧度的大小)四、投影公式。
《数学史》从刘徽到祖冲之解析
中国古代数学的发展
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和 墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概 念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”， 才能使数学著作简明严密，利于读者。 他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公 式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中 有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明 圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。
中国古代数学的发展
唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有 算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注 释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考 试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》， 对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是 很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及 《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时 期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插 法，丰富了中国古代数学的内容。
中国古代数学的发展
魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较 活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这 些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀 算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘 徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个 时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理 论基础。
中国古代数学的发展
隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝 通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工 程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个 时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立 出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后 来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法， 王孝通也是用数字三次方程解决的。
球体积的推导过程
球体积的推导过程
设球的半径为r。
我们可以将球体切割成无数个无限小的圆盘，每个圆盘的直
径是r，厚度很小，可以近似为无穷小。
考虑一个圆盘，它的半径为r，厚度为Δh。
这个圆盘的体积可以表示为V=πr^2Δh，其中π是圆周率。
将所有圆盘的体积累加起来，即可得到球体的体积。
令Δh趋近于0，表示圆盘的厚度无限小，即Δh→0。
这样，球体的体积可以表示为积分形式：V=∫πr^2dh。
积分的上下限为球心到球体表面的距离，即0到r。
进行积分运算，我们有：V=∫πr^2dh=πr^2h，上下限为
0到r。
因为h=r，所以V=πr^2r=4/3πr^3。
因此，球的体积公式为V=4/3πr^3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
格证明。
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖 冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可 谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究 之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数 学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
（１）
牟合方盖内切半球图
（２）
正方形内切圆
牟合方盖“内棋” 图
合盖“外棋”分解图
合盖“外棋”截面图
倒立阳马图
（１）
等轴圆柱及内切球
（２）
球体切割图
力学原理与球体积计算
1. 数学研究中的算法倾向与演绎倾向 2. “以棋验术”的直觉方法与“数学物理”方
法 3. “截面原理”与“有限迭加” 4. 问题求解与因果论证 5. 几何代数化与微积分的应用
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿阿基基米米德德突这破一希成腊果古， 被典古时代期传几记何作定家性普研鲁究塔的 克传说统：，“重几视何定学量中研不究可，
能发找现到了更球难、做球的缺问、题椭，球
也体不体可积能公找式到及更抛简物练线、弓
更形清面楚积的公陈式述，和并证给明予。严”
球体积公式的发现与证明
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球体积公式
图2 用切割法证明球体积公式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。
一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容 异”
——中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法”
——古希腊学者对球体积公式的发现与证明 三、异曲同工、弹奏千古名篇
——球体积公式与古代数学研究传统
牟合方盖
开立圆术的分解
(1)
正方体内切正交圆柱图
(２)
牟合方盖图
（３）
１／８牟合方盖
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
19