轴对称与中心对称

轴对称与中心对称◆课前热身1.下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是（）2.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（） A．45° B．60° C．90° D．120°3.如图，镜子中号码的实际号码是___________．4.请写出一个是轴对称图形的图形名称．答：．【参考答案】1. D2. B3.32654.圆、矩形等◆考点聚焦1．理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，•会判断一个图形是否是轴对称图形或中心对称图形．2．掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）．3．能用轴对称和中心对称的性质设计图案．◆备考兵法1．本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料，判断是否是轴对称图形或中心对称图形，所以应熟练掌握基本图形的轴对称性，结合实际图形进行辨认．2．在解轴对称和折叠类问题时，应知道折叠问题要用轴对称解决，•折痕就是两个重叠部分的对称轴，往往需要设未知数，利用勾股定理建立方程（组）解决．3．平面上的最短距离问题，往往要作出对称点，•利用“两点之间线段最短”解决． ◆考点链接1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 . ◆典例精析例1（内蒙古包头）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的图形.故同时符合上面两个条件的是第1、3和4个图形，正确答案选B.例2如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均与x 轴垂直，以O•为顶点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的C ，E 和D ，F ，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】2π【解析】 由题可知，半圆A 与半圆B 关于y 轴对称，两条抛物线关于x 轴对称，∴S 1=S 3，S 2=S 4，∴图中阴影部分的面积实际为半圆A 的面积．例3如图，已知折叠矩形的一边AD ，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长．【答案】解：由折叠性质知， AF=AD=10cm ，EF=DE ． 设EC=xcm ，则DE=（8-x ）cm ． 在Rt △ABF 中，BF=22108-=6， ∴FC=BC-BF=10-6=4cm ． 在Rt△CEF 中，EF 2=EC 2+FC 2， ∴（8-x ）2=x 2+42， ∴x=3．即EC 的长为3cm ．【点拨】 ①折叠问题中注意它的对称性即对应边（角）的相等性；②求这类问题中的未知线段长，常设所求线段长为x ，把其他线段用含x 的代数式表示，选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程的思想求解．拓展变式1 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC 对折，点D 落在D ′处，•求：（1）线段CF 的长；（2）△AFC 的面积．答案 （1）CF=5 （2）S △AFC =10拓展变式2 如图，ABCD 是矩形，AB=4cm ，AD=3cm ，把矩形沿直线AC 重叠，点B•落在E 处，连结DE ．四边形ACED 是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长是多少？ 答案 四边形ACED 是等腰梯形．（理由略） 面积为19225cm 2．周长为265cm ．◆迎考精练一、选择题1.（四川内江）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）2.（辽宁锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D3.（湖北荆门）如图，Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°4.（广东深圳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A B C D5.（山东烟台）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似6.（浙江嘉兴）判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对称图形，结果（▲）A．①②都正确 B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确7.（黑龙江哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．8.（广东省）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（）二、填空题1.（湖北孝感）在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．2.（北京市）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ,且n 为整数），则A ′N=（用含有n 的式子表示）A'NM BCADE3.（湖南娄底）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .4.(陕西省) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______．三、解答题1.（湖南娄底）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 .（2）画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA 2B 2C 2，并求出点C 旋转到点C 2经过的路径的长度.2.（吉林长春）图①、图②均为76 的正方形网格，点A B C 、、在格点上．（1）在图①中确定格点D ，并画出以A B C D 、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（3分）（2）在图②中确定格点E ，并画出以A B C E 、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）（3分）AB C图①AB C图②3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.（广西南宁）已知ABC △在平面直角坐标系中的位置如图10所示． （1）分别写出图中点A C 和点的坐标；（2）画出ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90A B C '''°后的△； （3）求点A 旋转到点A '所经过的路线长（结果保留π）．5.（湖南益阳）如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.【参考答案】选择题1. D2. B3.D解析：本题考查轴对称的有关知识，由折叠可知，∠ACD=∠A′CD=45°，∠A=∠CA′D=50°，∴∠ADC=∠A′DC=85°，∴∠A′DB=10°，故选D．4. D5. D6. C7. D【解析】A、B均是轴对称图形但不是中心对称图形，C是中心对称图形但不是轴对称图形.只有D即是轴对称图形又是中心对称图形8.C填空题1.25-(或–0.4)2.32，21nn-（2n≥，且n为整数）3.2π4.4解答题1. 解：（1）如图：B1的坐标是（-6，2）（2）如图：L=903180π⨯⨯=32π2. 解：（1）有以下答案供参考：（2）有以下答案供参考：3. 解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10, ∴AC=30在Rt △ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40∴ BP=24022=+BC CPS 1=10240+⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C=50，又BC=40∴BA'=4110504022=+由轴对称知：PA=PA'∴S 2=BA'=4110∴1S ﹥2S(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S 2=BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'， 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=5505010022=+∴所求四边形的周长为55050+P XBA QYB'A'4. 解：（1）()04A ，、()31C ，；（2）图略．（3）32AC =¼9032πAA ⨯⨯'= 32π2= 5. (1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF .∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°，∴∠EAF ＝90°.又∵AD ⊥BC∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90°.又∵AE ＝AD ，AF ＝AD∴AE ＝AF .∴四边形AEGF是正方形.(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x.∵BD＝2，DC＝3∴BE＝2 ，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3.在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2∴( x－2)2＋(x－3)2＝52.化简得，x2－5x－6＝0解得x1＝6，x2＝－1（舍）所以AD＝x＝6。