天然肠衣-数学建模

天然肠衣-数学建模摘要该题是以天然肠衣为背景，对其搭配问题进行探讨和研究，建立数学模型，利用lingo编程，得到符合实际问题的最优方案。

在给出了成品规格表和原料描述表等资料的基础上，采用整数线性规划，分别以最大捆数、最优方案、降级利用、时间限制四个方面为目标和约束条件建立最优模型，利用lingo编程，制作一套科学编程程序，整理合理的数据以及便利的搭配方案，从而达到提供生产效率的目的。

首先，通过分析题目中成品捆数越多越好的要求，建立最大捆数最优模型。

对给出的成品规格数据分类为A、B、C三类，对原料按长度分档，以0.5米为一档，共46档。

考虑到选择最短长度最长的成品越多方案越好以及剩余材料可以降级利用，我们采用“倒序（从大规格取到小规格）”方法。

其次，在上述建立的最优模型基础上，根据总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根这一约束条件，对不同规格建立约束条件函数并建立模型。

最后，综合以上两个模型，把得出的A规格余料降级至B规格中，再建立B 规格模型，依次类推，利用lingo求解，最后得出如下结果：C规格最大捆数总捆数136，出11种分配方式，并且把剩余材料降级至13.5米档使用。

B规格最大捆数总捆数34，出3种分配方式，剩余根材料降级为6.5米档使用。

A规格最大捆数总捆数17，出2种分配方式。

剩余材料为下表最后，得出最终捆数为17+34+136=187（捆），该lingo程序能在30分钟内产生。

关键字：整数规划 lingo编程搭配方案最优模型一、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表最短长度最大长度根数总长度3 6.5 20 897 13.5 8 8914 ∞ 5 89原料表。

表2为某批次原料描述。

表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.9 4-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根数43 59 39 41 27 28 34 21长度7-7.47.5-7.9 8-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根数24 24 20 25 21 23 21 18 长11-111.5-12-112.5-13-113.5-14-114.5-度 1.4 11.9 2.4 12.9 3.4 13.9 4.4 14.9 根数31 23 22 59 18 25 35 29长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根数30 42 28 42 45 49 50 64长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根数52 63 49 35 27 16 12 2长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数0 6 0 0 0 1方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

二、问题分析2.1 问题背景分析该题以肠衣制作加工为背景，由题意可知，目的为建立一种模型，通过计算，生成经过优化后满足成品规模要求的搭配方法，然后按照成品规格表，再根据“照方抓药”选择最优方案，以达到减少劳动强度、提高生产效率的目的。

2.2问题数据分析根据成品规格表，把成品规格分为三类，分别为A 、B 、C 三类。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推，共46个小档，在C 类中只有20个可用数据。

2.3问题要求分析题目要求装出的成品捆数越多越好，建立f(x)的函数，当∑=ix x f )(max 时，即可以达到最优解，以捆数最大为目标方案进行优化。

综合考虑到(2)(4)中的要求，所以先从大规格开始分析并且优先选择最长肠衣充分搭配，使剩余原料长度接近下一档的最长肠衣长度。

利用lingo 软件编程，求出最大捆数和每一规格在最大捆数下使用的具体根数。

如果出现了剩余原料，则考虑降级使用，如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格。

在优化过程中考虑到提高原料利用率，约束条件为总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根。

运用线性规划，以捆数最大为目标方案进行优化。

最后，在确定了最大捆数的具体根数情况下，就每规格的具体搭配建立通用搭配模型，分别就三种规格具体数据，利用lingo 软件编程，求出三种规格成品各个搭配方案。

三、模型假设(1) 假设在整理分配天然肠衣过程中不出现损坏情况。

(2) 假设组装整理任何时候机器和工人都正常并且不间断工作(3) 假设不考虑时间、温度、湿度等外界因素对肠衣质量的影响(4) 假设接口处长度忽略不计(5) 降级使用的原料不出现分割错误等问题该模型建立在一起理想化条件上，忽略外界因素对模型的影响四、符号说明X为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数；ii为第几种搭配方式；i表示第几种搭配方式，i=1,2,3,…N；j表示第几号材料,j=1,2,3,…24；R表示第i种搭配方式中，第j号材料的长度；ijL表示j号种材料的长度；jS表示表示j号材料的总根数。

如S1=35，表示14米档的材料根数为j35；五、模型建立长度 3 3.5 4 ……24.5 25 25.5根数43 59 39 ……0 0 1规格A；7-13.5米为规格B；14-25.5米为规格C。

某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

因此先从大规格开始分析求解。

例如：大规格C的材料有剩余，应降级算入规格B中，对材料降档处理。

5.1规格C：规格C类的材料为14-25.5米,所取根数范围为[4,5]，并且所取总长度范编 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112号 1 档类 14 14.515 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.519 19.5 数量 35 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 档类 20 20.521 21. 5 22 22. 5 23 23. 5 24 24.5 25 25. 5 数量 4935 2716 122 0 6 0 0 0 1 1、根据条件1对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数：∑=i x x f )(max （i=1,2,3,4,…N ）Xi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式； 2、根据条件3：为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，建立相应的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑④③②① j i ij j ij ij j ij s x r l r r s r ·5.89·5.88540 ①式表示i 种搭配方式中，各档材料的根数小于该材料的总根数；②式表示i 种搭配方式中，各档材料的根数之和为4或5根；③式表示i种搭配方式中，各档材料的长度和的范围是[88.5，89.5]；④式表示以i种搭配方式生产X捆成品，所需的各档材料数小于该材料的总数；用LINGGO软件进行优化求解（附录1），求得局部最优解，得到结果：1 4 14.51515.51616.51717.51818.51919.522.52121.52222.523.525.5捆数1 1 1 1 1 1 42 2 1 1 1 1 1 35 3 1 1 2 1 274 1 1 1 2 85 2 3 96 1 2 1 67 1 1 1 1 48 1 1 1 1 1 29 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 12 1 1 11规格C 的余料20米档 1根 21.5米档 2根 22.5米档 1根5.2规格B ：规格B 类的材料为7~13.5米，所取根数范围为[7,8]，所取总长度范围[88.5，89.5]，并考虑降级使用的材料，将材料进行归于13.5档。

对材料进行编号并制编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 档类7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 数量 24 24 20 25 21 23 21 18 31 23 22 59 18 35+4=39 1、根据条件1对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数：∑=i x x f )(max （i=1,2,3,4,…N ）Xi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式； 2、根据条件3：为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，建立相应的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑④③②① j i ij j ij ij j ij s x r l r r s r ·5.89·5.88870 用LINGGO 求解得（附录）：7 7.5 8 8.59 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 捆数 1 111 11 21222 1 1 2 1 1 2 9 31 21223规格B 及规格C 降级使用的余料7米档 2 9.5米档 23 7.5米档 24 10米档 9 8米档 11 11.5米档 1 9米档 15 13.5米档 15.3规格A ：规格A 类的材料为3-6.5米，所取根数范围为[19,20]，所取总长度范围[88.5，89.5]，并考虑降级使用的材料，将材料进行归于6.5档，考虑降级使用的材料，编号 1 2 3 4 5 6 7 8 档类 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 数量 43 59 39 41 27 28 34 1071、根据条件1对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，可建立相应的目标函数：∑=i x x f )(max （i=1,2,3,4,…N ）Xi 为某种搭配方式对应生产的肠衣捆数，i 为第几种搭配方式； 2、根据条件3：为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，建立相应的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤∑∑∑④③②① j i ij j ij ij j ij s x r l r r s r ·5.89·5.8820190 使用LINGGO 软件求解得：3 3.54 4.5 5 5.56 6.5 捆数1 3 42 1 1 2 2 4 142 0 13 9 3 0 2 1 3最终剩余材料：3米档1根4米档2根5米档4根6.5米档48根综上，整理最终得出总捆数为17+34+136=187六、模型优缺点优点：（1）该方案，形式简单，通俗易懂易，所有的数据已表格形式呈现，易于操作和查看。