时间序列分析入门概述
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• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
(1) 滑动平均模型
yˆt
yt
yt1 N
ytN 1
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
yˆtw
a0 yt
a1 yt1
N
a y N 1 tN 1
N 1
ai
其中 i0 1 N
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var(xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
Leabharlann Baidu
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 k 1 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt
yˆt
yˆt1 N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
两边同除以r0 • 自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
AR(p)的自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2
p k p
k k , 0 1
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt1 t
k k1 k1 k2
k k
例： AR(2)的自相关函数
xt 1xt1 2 xt2 t
k 1k1 2 k2
取k=1
1 10 2 1
1
1 12
取k=2 取k=3
2)
Varxt
2 (与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t
r0
E[( xt
)
2
]
2 x
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
0 1, k k , k 1
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 2 xtk2 p xtk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext xp tk p 1 rk1 2rk2 prk p
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
rt,t Var(xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t，
Ex2 ，且满足以下条件： t
1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数)
Ext 0
r0
2 x
rk 0(k 0)
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
3. 随机时间序列模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
自相关函数的估计
T
ˆx
(xt x)(xtk x)
t 1
T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
ρk
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )(xs Exs ) rt,s rs,t
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
(1) 滑动平均模型
yˆt
yt
yt1 N
ytN 1
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
yˆtw
a0 yt
a1 yt1
N
a y N 1 tN 1
N 1
ai
其中 i0 1 N
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var(xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
Leabharlann Baidu
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 k 1 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt
yˆt
yˆt1 N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
两边同除以r0 • 自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
AR(p)的自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2
p k p
k k , 0 1
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
例：求AR(1)的自相关函数
xt xt1 t
k k1 k1 k2
k k
例： AR(2)的自相关函数
xt 1xt1 2 xt2 t
k 1k1 2 k2
取k=1
1 10 2 1
1
1 12
取k=2 取k=3
2)
Varxt
2 (与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t
r0
E[( xt
)
2
]
2 x
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
0 1, k k , k 1
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 2 xtk2 p xtk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext xp tk p 1 rk1 2rk2 prk p
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
rt,t Var(xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t，
Ex2 ，且满足以下条件： t
1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数)
Ext 0
r0
2 x
rk 0(k 0)
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
3. 随机时间序列模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
自相关函数的估计
T
ˆx
(xt x)(xtk x)
t 1
T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
ρk
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )(xs Exs ) rt,s rs,t